Theorem mapdrn2 39652

Description: Range of the map defined by df-mapd 39626. TODO: this seems to be needed a lot in hdmaprnlem3eN 39859 etc. Would it be better to change df-mapd 39626 theorems to use LSubSp‘𝐶 instead of ran 𝑀? (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdrn2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdrn2.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn2.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdrn2.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐶)
mapdrn2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
mapdrn2	⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = 𝑇)

Proof of Theorem mapdrn2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdrn2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdrn2.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) = (LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
9		eqid 2738	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓)}
10		mapdrn2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mapdrn 39650	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = ((LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∩ 𝒫 {𝑓 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓)}))
12		mapdrn2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdrn2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐶)
14	1, 2, 12, 13, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lcdlss 39620	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((LSubSp‘(LDual‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) ∩ 𝒫 {𝑓 ∈ (LFnl‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓))) = ((LKer‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))‘𝑓)}))
15	11, 14	eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   ∩ cin 3887  𝒫 cpw 4535  ran crn 5587  ‘cfv 6428  LSubSpclss 20182  LFnlclfn 37058  LKerclk 37086  LDualcld 37124  HLchlt 37351  LHypclh 37985  DVecHcdvh 39079  ocHcoch 39348  LCDualclcd 39587  mapdcmpd 39625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937  ax-riotaBAD 36954

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-tpos 8031  df-undef 8078  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8487  df-map 8606  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-4 12027  df-5 12028  df-6 12029  df-n0 12223  df-z 12309  df-uz 12572  df-fz 13229  df-struct 16837  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-ress 16931  df-plusg 16964  df-mulr 16965  df-sca 16967  df-vsca 16968  df-0g 17141  df-mre 17284  df-mrc 17285  df-acs 17287  df-proset 18002  df-poset 18020  df-plt 18037  df-lub 18053  df-glb 18054  df-join 18055  df-meet 18056  df-p0 18132  df-p1 18133  df-lat 18139  df-clat 18206  df-mgm 18315  df-sgrp 18364  df-mnd 18375  df-submnd 18420  df-grp 18569  df-minusg 18570  df-sbg 18571  df-subg 18741  df-cntz 18912  df-oppg 18939  df-lsm 19230  df-cmn 19377  df-abl 19378  df-mgp 19710  df-ur 19727  df-ring 19774  df-oppr 19851  df-dvdsr 19872  df-unit 19873  df-invr 19903  df-dvr 19914  df-drng 19982  df-lmod 20114  df-lss 20183  df-lsp 20223  df-lvec 20354  df-lsatoms 36977  df-lshyp 36978  df-lcv 37020  df-lfl 37059  df-lkr 37087  df-ldual 37125  df-oposet 37177  df-ol 37179  df-oml 37180  df-covers 37267  df-ats 37268  df-atl 37299  df-cvlat 37323  df-hlat 37352  df-llines 37499  df-lplanes 37500  df-lvols 37501  df-lines 37502  df-psubsp 37504  df-pmap 37505  df-padd 37797  df-lhyp 37989  df-laut 37990  df-ldil 38105  df-ltrn 38106  df-trl 38160  df-tgrp 38744  df-tendo 38756  df-edring 38758  df-dveca 39004  df-disoa 39030  df-dvech 39080  df-dib 39140  df-dic 39174  df-dih 39230  df-doch 39349  df-djh 39396  df-lcdual 39588  df-mapd 39626

This theorem is referenced by:  mapdcl2  39657  mapdcv  39661  mapdincl  39662  mapdin  39663  mapdlsmcl  39664  mapdcnvatN  39667  hdmaprnlem3N  39851  hdmaprnlem3uN  39852  hdmaprnlem9N  39858  hdmaprnlem3eN  39859  hdmaprnlem16N  39863