Theorem rngunsnply1 34242

Description: Adjoining one element to a ring results in a set of polynomial evaluations. Generalization of rngunsnply 26682. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngunsnply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngunsnply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
rngunsnply1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
rngunsnply1.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
rngunsnply1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rngunsnply1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
rngunsnply1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngunsnply1.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rngunsnply1	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑈 𝑉 = ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝑈,𝑝   𝑉,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Proof of Theorem rngunsnply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngunsnply1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2	1	crngringd 20515	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		rngunsnply1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		rngunsnply1.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
6	3	subrgss 20866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		rngunsnply1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	snssd 4747	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
10	7, 9	unssd 4193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝐵)
11		rngunsnply1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
13		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
14		rngunsnply1.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
15		rngunsnply1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
16		rngunsnply1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)) = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋))
18	14, 15, 3, 16, 1, 5, 8, 17	evls1maprhm 22738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
19		rnrhmsubrg 20899	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)) ∈ (𝑃 RingHom 𝑅) → ran (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)) ∈ (SubRing‘𝑅))
20	18, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)) ∈ (SubRing‘𝑅))
21	14, 15, 3, 16, 1, 5, 8, 17	evls1maprnss 22740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ran (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)))
22		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
23		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
24	22, 5, 23, 15, 16	subrgvr1cl 22625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) ∈ 𝑈)
25	22, 5, 23	subrgvr1 22624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
26	25	fveq2d 6918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(var1‘𝑅)) = (𝑄‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
27	26	fveq1d 6916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(var1‘𝑅))‘𝑋) = ((𝑄‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))‘𝑋))
28		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
29	14, 28, 23, 3, 1, 5	evls1var 22700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = ( I ↾ 𝐵))
30	29	fveq1d 6916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))‘𝑋) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑋))
31		fvresi 7207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑋) = 𝑋)
32	8, 31	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑋) = 𝑋)
33	27, 30, 32	3eqtrrd 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝑄‘(var1‘𝑅))‘𝑋))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (var1‘𝑅)) → 𝑋 = ((𝑄‘(var1‘𝑅))‘𝑋))
35		fveq2 6914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (var1‘𝑅) → (𝑄‘𝑝) = (𝑄‘(var1‘𝑅)))
36	35	fveq1d 6916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (var1‘𝑅) → ((𝑄‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑄‘(var1‘𝑅))‘𝑋))
37	36	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (var1‘𝑅)) → ((𝑄‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑄‘(var1‘𝑅))‘𝑋))
38	34, 37	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 = (var1‘𝑅)) → 𝑋 = ((𝑄‘𝑝)‘𝑋))
39	17, 24, 8, 38	elrnmptdv 5957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)))
40	39	snssd 4747	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ ran (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)))
41	21, 40	unssd 4193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {𝑋}) ⊆ ran (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)))
42	2, 4, 10, 12, 13, 20, 41	rgspnmin 20909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ⊆ ran (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)))
43	42	sseld 3912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) → 𝑉 ∈ ran (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋))))
44		fvex 6927	. . . 4 ⊢ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋) ∈ V
45	17, 44	elrnmpti 5954	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ ran (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑈 𝑉 = ((𝑄‘𝑝)‘𝑋))
46	43, 45	imbitrdi 254	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) → ∃𝑝 ∈ 𝑈 𝑉 = ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)))
47	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
48	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
49	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
50		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → 𝑝 ∈ 𝑈)
51	3, 15, 16, 14, 47, 48, 49, 11, 50	evls1rgspncl 34241	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → ((𝑄‘𝑝)‘𝑋) ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
52		eleq1 2852	. . . 4 ⊢ (𝑉 = ((𝑄‘𝑝)‘𝑋) → (𝑉 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ↔ ((𝑄‘𝑝)‘𝑋) ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋}))))
53	51, 52	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑈) → (𝑉 = ((𝑄‘𝑝)‘𝑋) → 𝑉 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋}))))
54	53	rexlimdva 3167	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝑈 𝑉 = ((𝑄‘𝑝)‘𝑋) → 𝑉 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋}))))
55	46, 54	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑈 𝑉 = ((𝑄‘𝑝)‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588   ↦ cmpt 5190   I cid 5550  ran crn 5657   ↾ cres 5658  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  Basecbs 17428   ↾_s cress 17449  CRingccrg 20502   RingHom crh 20741  SubRingcsubrg 20863  RingSpancrgspn 20904  var₁cv1 22538  Poly₁cpl1 22539   evalSub₁ ces1 22675

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-ofr 7724  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-sup 9469  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-hash 14514  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-hom 17493  df-cco 17494  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-prds 17659  df-pws 17661  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-mhm 19019  df-submnd 19020  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-sbg 19190  df-mulg 19319  df-subg 19374  df-ghm 19469  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-srg 20455  df-ring 20503  df-cring 20504  df-rhm 20744  df-subrng 20840  df-subrg 20864  df-rgspn 20905  df-lmod 21179  df-lss 21249  df-lsp 21289  df-assa 22205  df-asp 22206  df-ascl 22207  df-psr 22261  df-mvr 22262  df-mpl 22263  df-opsr 22265  df-evls 22427  df-evl 22428  df-psr1 22542  df-vr1 22543  df-ply1 22544  df-coe1 22545  df-evls1 22677  df-evl1 22678

This theorem is used by:  rngunsnply1chr2  34246