Theorem evls1rgspncl 34241

Description: Closure of the subring polynomial evaluation in a generated ring. Generic version of cnsrplycl 26681. See also evls1fldgencl 34406. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngunsnply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngunsnply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
rngunsnply1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
rngunsnply1.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
rngunsnply1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rngunsnply1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
rngunsnply1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngunsnply1.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
evls1rgspncl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
evls1rgspncl	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑋) ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))

Proof of Theorem evls1rgspncl

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7457	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))
2	1	oveq2d 7465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((coe1‘𝐹)‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)) = (((coe1‘𝐹)‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋)))
3	2	mpteq2dv 5203	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))))
4	3	oveq2d 7465	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋)))))
5		rngunsnply1.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
6		rngunsnply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rngunsnply1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
9		rngunsnply1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
10		rngunsnply1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11		rngunsnply1.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
12		evls1rgspncl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
16	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	evls1fpws 22731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))))))
17		rngunsnply1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		ovexd 7484	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋)))) ∈ V)
19	4, 16, 17, 18	fvmptd4 7047	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋)))))
20		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21	10	crngringd 20515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
22	21	ringabld 20554	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
23		nn0ex 12650	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
25	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
26	6	subrgss 20866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
27	11, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
28	17	snssd 4747	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
29	27, 28	unssd 4193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝐵)
30		rngunsnply1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
32		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
33	21, 25, 29, 31, 32	rgspncl 20907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ∈ (SubRing‘𝑅))
34		subrgsubg 20871	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ∈ (SubGrp‘𝑅))
35	33, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ∈ (SubGrp‘𝑅))
36	33	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ∈ (SubRing‘𝑅))
37	21, 25, 29, 31, 32	rgspnssid 20908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
38	37	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
39	38	unssad 4194	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 ⊆ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
40		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))
41	15, 9, 7, 40	coe1fvalcl 22574	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑈 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘𝑖) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
42	12, 41	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘𝑖) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
43	8, 6	ressbas2 17457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
44	27, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
45	44	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
46	42, 45	eleqtrrd 2867	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘𝑖) ∈ 𝑆)
47	39, 46	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘𝑖) ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
48		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
49	48	subrgsubm 20879	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
50	33, 49	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
51	50	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
52		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
53		ssun2 4180	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑋} ⊆ (𝑆 ∪ {𝑋})
54		snidg 4621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ {𝑋})
55	17, 54	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑋})
56	53, 55	sselid 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆 ∪ {𝑋}))
57	37, 56	sseldd 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
58	57	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
59	14	submmulgcl 19368	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋}))) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
60	51, 52, 58, 59	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
61	13, 36, 47, 60	subrgmcld 33881	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐹)‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋)) ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
62	61	fmpttd 7145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))):ℕ0⟶(𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
63	8	subrgring 20868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
64	11, 63	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
65		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆))
66	7, 9, 65	mptcoe1fsupp 22577	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝐹)‘𝑖)) finSupp (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
67	64, 12, 66	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝐹)‘𝑖)) finSupp (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
68		ringmnd 20512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
69	21, 68	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
70		subrgsubg 20871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
71	11, 70	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
72		subgsubm 19400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑅))
73	20	subm0cl 19047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑆)
74	71, 72, 73	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝑆)
75	8, 6, 20	ress0g 18995	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
76	69, 74, 27, 75	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
77	67, 76	breqtrrd 5137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝐹)‘𝑖)) finSupp (0g‘𝑅))
78	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
79		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
80	6, 13, 20, 78, 79	ringlzd 20568	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅))
81	6	subrgss 20866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ⊆ 𝐵)
82	33, 81	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ⊆ 𝐵)
83	82	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})) ⊆ 𝐵)
84	83, 60	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋) ∈ 𝐵)
85	77, 80, 42, 84, 74	fsuppssov1 9411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))) finSupp (0g‘𝑅))
86	20, 22, 24, 35, 62, 85	gsumsubgcl 20176	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑖)(.r‘𝑅)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋)))) ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
87	19, 86	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑋) ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   finSupp cfsupp 9389  ℕ₀cn0 12644  Basecbs 17428   ↾_s cress 17449  ._rcmulr 17470  0_gc0g 17651   Σ_g cgsu 17652  Mndcmnd 18964  SubMndcsubmnd 19018  ._gcmg 19318  SubGrpcsubg 19371  mulGrpcmgp 20402  Ringcrg 20501  CRingccrg 20502  SubRingcsubrg 20863  RingSpancrgspn 20904  Poly₁cpl1 22539  coe₁cco1 22540   evalSub₁ ces1 22675

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-ofr 7724  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-sup 9469  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-hash 14514  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-hom 17493  df-cco 17494  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-prds 17659  df-pws 17661  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-mhm 19019  df-submnd 19020  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-sbg 19190  df-mulg 19319  df-subg 19374  df-ghm 19469  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-srg 20455  df-ring 20503  df-cring 20504  df-rhm 20744  df-subrng 20840  df-subrg 20864  df-rgspn 20905  df-lmod 21179  df-lss 21249  df-lsp 21289  df-assa 22205  df-asp 22206  df-ascl 22207  df-psr 22261  df-mvr 22262  df-mpl 22263  df-opsr 22265  df-evls 22427  df-evl 22428  df-psr1 22542  df-vr1 22543  df-ply1 22544  df-coe1 22545  df-evls1 22677  df-evl1 22678

This theorem is used by:  rngunsnply1  34242