Theorem rngunsnply1chr2lem1 34243

Description: Lemma for rngunsnply1chr2 . (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngunsnply1chr2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
rngunsnply1chr2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
rngunsnply1chr2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
rngunsnply1chr2.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
rngunsnply1chr2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rngunsnply1chr2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
rngunsnply1chr2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
rngunsnply1chr2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
rngunsnply1chr2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∪ {𝑋})))
rngunsnply1chr2.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
rngunsnply1chr2.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
rngunsnply1chr2.3	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngunsnply1chr2.4	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
rngunsnply1chr2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
rngunsnply1chr2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
rngunsnply1chr2.5	⊢ (𝜑 → (2 ↑ 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) + 𝐵))
rngunsnply1chr2lem.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
rngunsnply1chr2lem.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))
rngunsnply1chr2lem.g	⊢ 𝐺 = ((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(-g‘𝑃)((𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵)))
rngunsnply1chr2lem.h	⊢ 𝐻 = (𝐹𝐸𝐺)
rngunsnply1chr2lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rngunsnply1chr2lem1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 2)

Proof of Theorem rngunsnply1chr2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
2		rngunsnply1chr2lem.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		rngunsnply1chr2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
4		rngunsnply1chr2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5		rngunsnply1chr2lem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(-g‘𝑃)((𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵)))
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
7		rngunsnply1chr2.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	1	subrgring 20868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
10	3	ply1ring 22609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
12	11	ringgrpd 20511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
13		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
14	13, 4	mgpbas 20407	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
15		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
16	13	ringmgp 20507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
17	11, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
18		2nn0 12661	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
20		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
21	20, 7, 1, 3, 4	subrgvr1cl 22625	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) ∈ 𝑈)
22	14, 15, 17, 19, 21	mulgnn0cld 19346	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ 𝑈)
23		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
24		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
25		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
26		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
27	3	ply1lmod 22613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
28	9, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
29		rngunsnply1chr2.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
30	1	subrgbas 20875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
31	7, 30	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
32		ovex 7482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ V
33	3	ply1sca 22614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ V → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝑃))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝑃)
35	34	fveq2i 6917	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
36	31, 35	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
37	29, 36	eleqtrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
38	4, 24, 25, 26, 28, 37, 21	lmodvscld 21196	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) ∈ 𝑈)
39		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
40		rngunsnply1chr2.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
41		rngunsnply1chr2.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
42	3, 1, 39, 4, 40, 7, 41	ressasclcl 34199	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘𝐵) ∈ 𝑈)
43	4, 23, 12, 38, 42	grpcld 19199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵)) ∈ 𝑈)
44	4, 6, 12, 22, 43	grpsubcld 33691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(-g‘𝑃)((𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵))) ∈ 𝑈)
45	5, 44	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
46	1, 2, 3, 4, 45, 7	ressdeg1 34194	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘𝐺))
47	5	fveq2i 6917	. . 3 ⊢ ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘𝐺) = ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(-g‘𝑃)((𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵))))
48	47	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘𝐺) = ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(-g‘𝑃)((𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵)))))
49		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
50	49, 3, 4	deg1xrcl 26444	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵)) ∈ 𝑈 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵))) ∈ ℝ*)
51	43, 50	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵))) ∈ ℝ*)
52		1xr 11405	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
54	49, 3, 4	deg1xrcl 26444	. . . . . 6 ⊢ ((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ 𝑈 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ ℝ*)
55	22, 54	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ ℝ*)
56	20, 7, 1	subrgvr1 22624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
57	56, 21	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∈ 𝑈)
58	14, 15	mulg1 19332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∈ 𝑈 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
60	59, 56	eqtr4d 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (var1‘𝑅))
61	60	oveq2d 7465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) = (𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))
62	61	fveq2d 6918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))) = ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
63	29, 31	eleqtrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
64		1nn0 12660	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
65	64	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
66		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))
67		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
68	49, 66, 3, 67, 25, 13, 15	deg1tmle 26480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))) ≤ 1)
69	9, 63, 65, 68	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))) ≤ 1)
70	62, 69	eqbrtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) ≤ 1)
71	49, 3, 4	deg1xrcl 26444	. . . . . . . 8 ⊢ (((algSc‘𝑃)‘𝐵) ∈ 𝑈 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((algSc‘𝑃)‘𝐵)) ∈ ℝ*)
72	42, 71	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((algSc‘𝑃)‘𝐵)) ∈ ℝ*)
73		0xr 11393	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
74	73	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
75	41, 31	eleqtrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
76	49, 3, 66, 39	deg1sclle 26474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆))) → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((algSc‘𝑃)‘𝐵)) ≤ 0)
77	9, 75, 76	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((algSc‘𝑃)‘𝐵)) ≤ 0)
78		0lt1 11876	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
79	78	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
80	72, 74, 53, 77, 79	xrlelttrd 13327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((algSc‘𝑃)‘𝐵)) < 1)
81	72, 53, 80	xrltled 13317	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((algSc‘𝑃)‘𝐵)) ≤ 1)
82	3, 49, 9, 4, 23, 38, 42, 53, 70, 81	deg1addle2 26464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵))) ≤ 1)
83		1lt2 12553	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
84	56	oveq2d 7465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
85	84	fveq2d 6918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) = ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))))
86		rngunsnply1chr2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
87	1	subrgnzr 20888	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing)
88	86, 7, 87	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing)
89	49, 3, 67, 13, 15	deg1pw 26483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ NzRing ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) = 2)
90	88, 19, 89	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) = 2)
91	85, 90	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) = 2)
92	83, 91	breqtrrid 5147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
93	51, 53, 55, 82, 92	xrlelttrd 13327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵))) < ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
94	3, 49, 9, 4, 6, 22, 43, 93	deg1sub 26470	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(-g‘𝑃)((𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵)))) = ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘(2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
95	94, 91	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))‘((2(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(-g‘𝑃)((𝐴( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))(+g‘𝑃)((algSc‘𝑃)‘𝐵)))) = 2)
96	46, 48, 95	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 2)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  0cc0 11237  1c1 11238  ℝ^*cxr 11379   < clt 11380   ≤ cle 11381  2c2 12435  ℕ₀cn0 12644  Basecbs 17428   ↾_s cress 17449  +_gcplusg 17469  ._rcmulr 17470  Scalarcsca 17472   ·_𝑠 cvsca 17473  Mndcmnd 18964  -_gcsg 19187  ._gcmg 19318  mulGrpcmgp 20402  Ringcrg 20501  CRingccrg 20502  NzRingcnzr 20804  SubRingcsubrg 20863  RingSpancrgspn 20904  LModclmod 21177  algSccascl 22204  var₁cv1 22538  Poly₁cpl1 22539   evalSub₁ ces1 22675  deg₁cdg1 26416  rem_1pcr1p 26491

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-ofr 7724  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-tpos 8279  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-sup 9469  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-hash 14514  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-prds 17659  df-pws 17661  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-mhm 19019  df-submnd 19020  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-sbg 19190  df-mulg 19319  df-subg 19374  df-ghm 19469  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-ring 20503  df-cring 20504  df-oppr 20609  df-dvdsr 20629  df-unit 20630  df-invr 20660  df-nzr 20805  df-subrng 20840  df-subrg 20864  df-rlreg 20988  df-lmod 21179  df-lss 21249  df-cnfld 21721  df-ascl 22207  df-psr 22261  df-mvr 22262  df-mpl 22263  df-opsr 22265  df-psr1 22542  df-vr1 22543  df-ply1 22544  df-coe1 22545  df-mdeg 26417  df-deg1 26418

This theorem is used by:  rngunsnply1chr2lem2  34244  rngunsnply1chr2lem3  34245