Theorem hdmapcl 39467

Description: Closure of map from vectors to functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapcl.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapcl.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapcl.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapcl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapcl	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem hdmapcl

Dummy variables 𝑦 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
3		hdmapcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
6		hdmapcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmapcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((HVMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmapcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		hdmapcl.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	hdmapval 39465	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (℩ℎ ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (¬ 𝑦 ∈ (((LSpan‘𝑈)‘{⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}) ∪ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) → ℎ = (((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)‘⟨𝑦, (((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)‘⟨⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩, (((HVMap‘𝐾)‘𝑊)‘⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩), 𝑦⟩), 𝑇⟩))))
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
17		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
18		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
19	1, 17, 18, 3, 4, 14, 2, 11	dvheveccl 38749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
20	1, 3, 4, 14, 5, 6, 15, 16, 8, 11, 19	mapdhvmap 39406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(((HVMap‘𝐾)‘𝑊)‘⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩)}))
21		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
22	1, 3, 4, 14, 6, 7, 21, 8, 11, 19	hvmapcl2 39403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((HVMap‘𝐾)‘𝑊)‘⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩) ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
23	22	eldifad 3855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((HVMap‘𝐾)‘𝑊)‘⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩) ∈ 𝐷)
24	1, 3, 4, 14, 5, 6, 7, 15, 16, 9, 11, 20, 19, 23, 12	hdmap1eu 39461	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!ℎ ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (¬ 𝑦 ∈ (((LSpan‘𝑈)‘{⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}) ∪ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) → ℎ = (((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)‘⟨𝑦, (((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)‘⟨⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩, (((HVMap‘𝐾)‘𝑊)‘⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩), 𝑦⟩), 𝑇⟩)))
25		riotacl 7145	. . 3 ⊢ (∃!ℎ ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (¬ 𝑦 ∈ (((LSpan‘𝑈)‘{⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}) ∪ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) → ℎ = (((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)‘⟨𝑦, (((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)‘⟨⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩, (((HVMap‘𝐾)‘𝑊)‘⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩), 𝑦⟩), 𝑇⟩)) → (℩ℎ ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (¬ 𝑦 ∈ (((LSpan‘𝑈)‘{⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}) ∪ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) → ℎ = (((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)‘⟨𝑦, (((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)‘⟨⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩, (((HVMap‘𝐾)‘𝑊)‘⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩), 𝑦⟩), 𝑇⟩))) ∈ 𝐷)
26	24, 25	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩ℎ ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (¬ 𝑦 ∈ (((LSpan‘𝑈)‘{⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}) ∪ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) → ℎ = (((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)‘⟨𝑦, (((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)‘⟨⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩, (((HVMap‘𝐾)‘𝑊)‘⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩), 𝑦⟩), 𝑇⟩))) ∈ 𝐷)
27	13, 26	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3053  ∃!wreu 3055   ∪ cun 3841  {csn 4516  ⟨cop 4522  ⟨cotp 4524   I cid 5428   ↾ cres 5527  ‘cfv 6339  ℩crio 7126  Basecbs 16586  0_gc0g 16816  LSpanclspn 19862  HLchlt 36987  LHypclh 37621  LTrncltrn 37738  DVecHcdvh 38715  LCDualclcd 39223  mapdcmpd 39261  HVMapchvm 39393  HDMap1chdma1 39428  HDMapchdma 39429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-riotaBAD 36590

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-undef 7968  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-0g 16818  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-p1 17766  df-lat 17772  df-clat 17834  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-cntz 18565  df-oppg 18592  df-lsm 18879  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-dvr 19555  df-drng 19623  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-lvec 19994  df-lsatoms 36613  df-lshyp 36614  df-lcv 36656  df-lfl 36695  df-lkr 36723  df-ldual 36761  df-oposet 36813  df-ol 36815  df-oml 36816  df-covers 36903  df-ats 36904  df-atl 36935  df-cvlat 36959  df-hlat 36988  df-llines 37135  df-lplanes 37136  df-lvols 37137  df-lines 37138  df-psubsp 37140  df-pmap 37141  df-padd 37433  df-lhyp 37625  df-laut 37626  df-ldil 37741  df-ltrn 37742  df-trl 37796  df-tgrp 38380  df-tendo 38392  df-edring 38394  df-dveca 38640  df-disoa 38666  df-dvech 38716  df-dib 38776  df-dic 38810  df-dih 38866  df-doch 38985  df-djh 39032  df-lcdual 39224  df-mapd 39262  df-hvmap 39394  df-hdmap1 39430  df-hdmap 39431

This theorem is referenced by:  hdmapval2  39469  hdmap10lem  39476  hdmapeq0  39481  hdmapnzcl  39482  hdmapneg  39483  hdmapsub  39484  hdmap11  39485  hdmaprnlem3N  39487  hdmaprnlem3uN  39488  hdmaprnlem7N  39492  hdmaprnlem8N  39493  hdmaprnlem9N  39494  hdmaprnlem3eN  39495  hdmaprnN  39501  hdmap14lem2a  39504  hdmap14lem2N  39506  hdmap14lem3  39507  hdmap14lem4a  39508  hdmap14lem6  39510  hdmap14lem8  39512  hgmapval0  39529  hgmapval1  39530  hgmapadd  39531  hgmapmul  39532  hgmaprnlem1N  39533  hgmaprnlem2N  39534  hgmaprnlem4N  39536  hdmapipcl  39542  hdmapln1  39543  hdmaplna1  39544  hdmaplns1  39545  hdmaplnm1  39546  hdmaplna2  39547  hdmapglnm2  39548  hdmaplkr  39550  hdmapellkr  39551  hdmapip0  39552  hdmapinvlem1  39555  hdmapinvlem3  39557