Theorem hdmap14lem1 41867

Description: Prior to part 14 in [Baer] p. 49, line 25. (Contributed by NM, 31-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap14lem1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem1.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑅)
hdmap14lem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem2.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap14lem2.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem2.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem2.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑃)
hdmap14lem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem1	⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑋)}) = (𝐿‘{(𝑆‘(𝐹 · 𝑋))}))

Proof of Theorem hdmap14lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem1.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem1.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem1.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap14lem1.t	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
5		hdmap14lem1.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		hdmap14lem1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		hdmap14lem1.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap14lem2.e	. 2 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
9		hdmap14lem1.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
10		hdmap14lem2.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
11		hdmap14lem2.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
12		hdmap14lem1.s	. 2 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmap14lem1.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14		hdmap14lem3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15	14	eldifad 3917	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
16		hdmap14lem1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {𝑍}))
17	16	eldifad 3917	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
18		hdmap14lem1.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑅)
19		eldifsni 4744	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {𝑍}) → 𝐹 ≠ 𝑍)
20	16, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝑍)
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 20	hdmap14lem1a 41865	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑋)}) = (𝐿‘{(𝑆‘(𝐹 · 𝑋))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3902  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17139  Scalarcsca 17183   ·_𝑠 cvsca 17184  0_gc0g 17362  LSpanclspn 20893  HLchlt 39348  LHypclh 39983  DVecHcdvh 41077  LCDualclcd 41585  HDMapchdma 41791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-riotaBAD 38951

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-0g 17364  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-subg 19021  df-cntz 19215  df-oppg 19244  df-lsm 19534  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-dvr 20305  df-nzr 20417  df-rlreg 20598  df-domn 20599  df-drng 20635  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894  df-lvec 21026  df-lsatoms 38974  df-lshyp 38975  df-lcv 39017  df-lfl 39056  df-lkr 39084  df-ldual 39122  df-oposet 39174  df-ol 39176  df-oml 39177  df-covers 39264  df-ats 39265  df-atl 39296  df-cvlat 39320  df-hlat 39349  df-llines 39497  df-lplanes 39498  df-lvols 39499  df-lines 39500  df-psubsp 39502  df-pmap 39503  df-padd 39795  df-lhyp 39987  df-laut 39988  df-ldil 40103  df-ltrn 40104  df-trl 40158  df-tgrp 40742  df-tendo 40754  df-edring 40756  df-dveca 41002  df-disoa 41028  df-dvech 41078  df-dib 41138  df-dic 41172  df-dih 41228  df-doch 41347  df-djh 41394  df-lcdual 41586  df-mapd 41624  df-hvmap 41756  df-hdmap1 41792  df-hdmap 41793

This theorem is referenced by:  hdmap14lem2N  41868  hdmap14lem3  41869