Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1euOLDN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1euOLDN 41350
Description: Convert mapdh9aOLDN 41315 to use the HDMap1 notation. (Contributed by NM, 15-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1eu.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap1eu.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1eu.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap1eu.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmap1eu.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmap1eu.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1eu.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmap1eu.l 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
hdmap1eu.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1eu.i 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1eu.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap1eu.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (πΏβ€˜{𝐹}))
hdmap1eu.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap1eu.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1eu.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmap1euOLDN (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐢   𝑦,𝐷,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐿,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝑦, 0 ,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,π‘ˆ,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑦,𝑧)   π‘Š(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem hdmap1euOLDN
Dummy variables 𝑔 β„Ž 𝑀 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap1eu.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap1eu.u . 2 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap1eu.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2725 . 2 (-gβ€˜π‘ˆ) = (-gβ€˜π‘ˆ)
5 hdmap1eu.o . 2 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
6 hdmap1eu.n . 2 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
7 hdmap1eu.c . 2 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hdmap1eu.d . 2 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
9 eqid 2725 . 2 (-gβ€˜πΆ) = (-gβ€˜πΆ)
10 eqid 2725 . 2 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
11 hdmap1eu.l . 2 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
12 hdmap1eu.m . 2 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 hdmap1eu.i . 2 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 hdmap1eu.k . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15 hdmap1eu.mn . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (πΏβ€˜{𝐹}))
16 hdmap1eu.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
17 hdmap1eu.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
18 hdmap1eu.t . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
19 eqid 2725 . . 3 (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , (0gβ€˜πΆ), (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (πΏβ€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯))(-gβ€˜π‘ˆ)(2nd β€˜π‘₯))})) = (πΏβ€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))(-gβ€˜πΆ)β„Ž)}))))) = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , (0gβ€˜πΆ), (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (πΏβ€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯))(-gβ€˜π‘ˆ)(2nd β€˜π‘₯))})) = (πΏβ€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))(-gβ€˜πΆ)β„Ž)})))))
2019hdmap1cbv 41327 . 2 (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , (0gβ€˜πΆ), (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (πΏβ€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯))(-gβ€˜π‘ˆ)(2nd β€˜π‘₯))})) = (πΏβ€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))(-gβ€˜πΆ)β„Ž)}))))) = (𝑀 ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘€) = 0 , (0gβ€˜πΆ), (℩𝑔 ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘€)})) = (πΏβ€˜{𝑔}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘€))(-gβ€˜π‘ˆ)(2nd β€˜π‘€))})) = (πΏβ€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘€))(-gβ€˜πΆ)𝑔)})))))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20hdmap1eulemOLDN 41348 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒ!wreu 3362  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3938  ifcif 4525  {csn 4625  {cpr 4627  βŸ¨cotp 4633   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  β„©crio 7368  (class class class)co 7413  1st c1st 7985  2nd c2nd 7986  Basecbs 17174  0gc0g 17415  -gcsg 18891  LSpanclspn 20854  HLchlt 38874  LHypclh 39509  DVecHcdvh 40603  LCDualclcd 41111  mapdcmpd 41149  HDMap1chdma1 41316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-riotaBAD 38477
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17417  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-p1 18412  df-lat 18418  df-clat 18485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-oppg 19296  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-lsatoms 38500  df-lshyp 38501  df-lcv 38543  df-lfl 38582  df-lkr 38610  df-ldual 38648  df-oposet 38700  df-ol 38702  df-oml 38703  df-covers 38790  df-ats 38791  df-atl 38822  df-cvlat 38846  df-hlat 38875  df-llines 39023  df-lplanes 39024  df-lvols 39025  df-lines 39026  df-psubsp 39028  df-pmap 39029  df-padd 39321  df-lhyp 39513  df-laut 39514  df-ldil 39629  df-ltrn 39630  df-trl 39684  df-tgrp 40268  df-tendo 40280  df-edring 40282  df-dveca 40528  df-disoa 40554  df-dvech 40604  df-dib 40664  df-dic 40698  df-dih 40754  df-doch 40873  df-djh 40920  df-lcdual 41112  df-mapd 41150  df-hdmap1 41318
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator