Theorem hdmap1euOLDN 41786

Description: Convert mapdh9aOLDN 41751 to use the HDMap1 notation. (Contributed by NM, 15-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap1eu.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1eu.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eu.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap1eu.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1eu.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eu.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1eu.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1eu.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eu.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eu.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap1eu.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1eu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eu.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1eu.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmap1euOLDN	⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐶   𝑦,𝐷,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐿,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝑦, 0 ,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑦,𝑧)   𝑊(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem hdmap1euOLDN

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap1eu.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap1eu.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap1eu.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2734	. 2 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
5		hdmap1eu.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hdmap1eu.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		hdmap1eu.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap1eu.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		eqid 2734	. 2 ⊢ (-g‘𝐶) = (-g‘𝐶)
10		eqid 2734	. 2 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
11		hdmap1eu.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
12		hdmap1eu.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmap1eu.i	. 2 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
14		hdmap1eu.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		hdmap1eu.mn	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
16		hdmap1eu.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17		hdmap1eu.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
18		hdmap1eu.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
19		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , (0g‘𝐶), (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝑈)(2nd ‘𝑥))})) = (𝐿‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝐶)ℎ)}))))) = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , (0g‘𝐶), (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝑈)(2nd ‘𝑥))})) = (𝐿‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝐶)ℎ)})))))
20	19	hdmap1cbv 41763	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , (0g‘𝐶), (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝑈)(2nd ‘𝑥))})) = (𝐿‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))(-g‘𝐶)ℎ)}))))) = (𝑤 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑤) = 0 , (0g‘𝐶), (℩𝑔 ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑤)})) = (𝐿‘{𝑔}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑤))(-g‘𝑈)(2nd ‘𝑤))})) = (𝐿‘{((2nd ‘(1st ‘𝑤))(-g‘𝐶)𝑔)})))))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20	hdmap1eulemOLDN 41784	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐷 ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃!wreu 3361  Vcvv 3463   ∖ cdif 3928  ifcif 4505  {csn 4606  {cpr 4608  ⟨cotp 4614   ↦ cmpt 5205  ‘cfv 6541  ℩crio 7369  (class class class)co 7413  1^st c1st 7994  2^nd c2nd 7995  Basecbs 17229  0_gc0g 17455  -_gcsg 18922  LSpanclspn 20937  HLchlt 39310  LHypclh 39945  DVecHcdvh 41039  LCDualclcd 41547  mapdcmpd 41585  HDMap1chdma1 41752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-riotaBAD 38913

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-undef 8280  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-0g 17457  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-proset 18310  df-poset 18329  df-plt 18344  df-lub 18360  df-glb 18361  df-join 18362  df-meet 18363  df-p0 18439  df-p1 18440  df-lat 18446  df-clat 18513  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-subg 19110  df-cntz 19304  df-oppg 19333  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-nzr 20481  df-rlreg 20662  df-domn 20663  df-drng 20699  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-lvec 21070  df-lsatoms 38936  df-lshyp 38937  df-lcv 38979  df-lfl 39018  df-lkr 39046  df-ldual 39084  df-oposet 39136  df-ol 39138  df-oml 39139  df-covers 39226  df-ats 39227  df-atl 39258  df-cvlat 39282  df-hlat 39311  df-llines 39459  df-lplanes 39460  df-lvols 39461  df-lines 39462  df-psubsp 39464  df-pmap 39465  df-padd 39757  df-lhyp 39949  df-laut 39950  df-ldil 40065  df-ltrn 40066  df-trl 40120  df-tgrp 40704  df-tendo 40716  df-edring 40718  df-dveca 40964  df-disoa 40990  df-dvech 41040  df-dib 41100  df-dic 41134  df-dih 41190  df-doch 41309  df-djh 41356  df-lcdual 41548  df-mapd 41586  df-hdmap1 41754

This theorem is referenced by: (None)