Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1eu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1eu 39119
Description: Convert mapdh9a 39084 to use the HDMap1 notation. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1eu.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1eu.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eu.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1eu.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1eu.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1eu.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eu.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1eu.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1eu.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eu.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1eu.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1eu.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1eu.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eu.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1eu.t (𝜑𝑇𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmap1eu (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐶   𝑦,𝐷,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐿,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝑦, 0 ,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑦,𝑧)   𝑊(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem hdmap1eu
Dummy variables 𝑔 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap1eu.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1eu.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1eu.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2801 . 2 (-g𝑈) = (-g𝑈)
5 hdmap1eu.o . 2 0 = (0g𝑈)
6 hdmap1eu.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 hdmap1eu.c . 2 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap1eu.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 eqid 2801 . 2 (-g𝐶) = (-g𝐶)
10 eqid 2801 . 2 (0g𝐶) = (0g𝐶)
11 hdmap1eu.l . 2 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
12 hdmap1eu.m . 2 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap1eu.i . 2 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmap1eu.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 hdmap1eu.mn . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
16 hdmap1eu.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17 hdmap1eu.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
18 hdmap1eu.t . 2 (𝜑𝑇𝑉)
19 eqid 2801 . . 3 (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , (0g𝐶), (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥))(-g𝑈)(2nd𝑥))})) = (𝐿‘{((2nd ‘(1st𝑥))(-g𝐶))}))))) = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , (0g𝐶), (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥))(-g𝑈)(2nd𝑥))})) = (𝐿‘{((2nd ‘(1st𝑥))(-g𝐶))})))))
2019hdmap1cbv 39097 . 2 (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , (0g𝐶), (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥))(-g𝑈)(2nd𝑥))})) = (𝐿‘{((2nd ‘(1st𝑥))(-g𝐶))}))))) = (𝑤 ∈ V ↦ if((2nd𝑤) = 0 , (0g𝐶), (𝑔𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑤)})) = (𝐿‘{𝑔}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑤))(-g𝑈)(2nd𝑤))})) = (𝐿‘{((2nd ‘(1st𝑤))(-g𝐶)𝑔)})))))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20hdmap1eulem 39117 1 (𝜑 → ∃!𝑦𝐷𝑧𝑉𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦 = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  ∃!wreu 3111  Vcvv 3444  cdif 3881  cun 3882  ifcif 4428  {csn 4528  cotp 4536  cmpt 5113  cfv 6328  crio 7096  (class class class)co 7139  1st c1st 7673  2nd c2nd 7674  Basecbs 16479  0gc0g 16709  -gcsg 18101  LSpanclspn 19740  HLchlt 36645  LHypclh 37279  DVecHcdvh 38373  LCDualclcd 38881  mapdcmpd 38919  HDMap1chdma1 39086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-riotaBAD 36248
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-0g 16711  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-oppg 18470  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19501  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-lvec 19872  df-lsatoms 36271  df-lshyp 36272  df-lcv 36314  df-lfl 36353  df-lkr 36381  df-ldual 36419  df-oposet 36471  df-ol 36473  df-oml 36474  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-llines 36793  df-lplanes 36794  df-lvols 36795  df-lines 36796  df-psubsp 36798  df-pmap 36799  df-padd 37091  df-lhyp 37283  df-laut 37284  df-ldil 37399  df-ltrn 37400  df-trl 37454  df-tgrp 38038  df-tendo 38050  df-edring 38052  df-dveca 38298  df-disoa 38324  df-dvech 38374  df-dib 38434  df-dic 38468  df-dih 38524  df-doch 38643  df-djh 38690  df-lcdual 38882  df-mapd 38920  df-hdmap1 39088
This theorem is referenced by:  hdmapcl  39125  hdmapval2lem  39126
  Copyright terms: Public domain W3C validator