Theorem hdmapg 39681

Description: Apply the scalar sigma function (involution) 𝐺 to an inner product reverses the arguments. The inner product of 𝑋 and 𝑌 is represented by ((𝑆‘𝑌)‘𝑋). Line 15 in [Baer] p. 111, f(x,y) alpha = f(y,x). (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapg.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapg.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapg	⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝑋)‘𝑌))

Proof of Theorem hdmapg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapg.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
3		eqid 2737	. 2 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapg.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmapg.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
7		eqid 2737	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
8		eqid 2737	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
9		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
10		eqid 2737	. 2 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
11		eqid 2737	. 2 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
12		hdmapg.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		hdmapg.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		eqid 2737	. 2 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
15		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
16		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
17		hdmapg.s	. 2 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
18		hdmapg.g	. 2 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
19		hdmapg.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	hdmapglem7 39680	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘𝑋)‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ⟨cop 4547   I cid 5454   ↾ cres 5553  ‘cfv 6380  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  ._rcmulr 16803  Scalarcsca 16805   ·_𝑠 cvsca 16806  0_gc0g 16944  LSSumclsm 19023  LSpanclspn 20008  HLchlt 37101  LHypclh 37735  LTrncltrn 37852  DVecHcdvh 38829  ocHcoch 39098  HDMapchdma 39543  HGMapchg 39634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-riotaBAD 36704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-undef 8015  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-0g 16946  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-cntz 18711  df-oppg 18738  df-lsm 19025  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-drng 19769  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-lvec 20140  df-lsatoms 36727  df-lshyp 36728  df-lcv 36770  df-lfl 36809  df-lkr 36837  df-ldual 36875  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250  df-lvols 37251  df-lines 37252  df-psubsp 37254  df-pmap 37255  df-padd 37547  df-lhyp 37739  df-laut 37740  df-ldil 37855  df-ltrn 37856  df-trl 37910  df-tgrp 38494  df-tendo 38506  df-edring 38508  df-dveca 38754  df-disoa 38780  df-dvech 38830  df-dib 38890  df-dic 38924  df-dih 38980  df-doch 39099  df-djh 39146  df-lcdual 39338  df-mapd 39376  df-hvmap 39508  df-hdmap1 39544  df-hdmap 39545  df-hgmap 39635

This theorem is referenced by:  hlhilphllem  39710