Theorem ovnsubadd2 44074

Description: (voln*‘𝑋) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . The special case of the union of 2 sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnsubadd2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnsubadd2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsubadd2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovnsubadd2	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘𝐵)))

Proof of Theorem ovnsubadd2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnsubadd2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		ovnsubadd2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3		ovnsubadd2.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
4		eqeq1 2742	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑛 = 1))
5		eqeq1 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 2 ↔ 𝑛 = 2))
6	5	ifbid 4479	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → if(𝑚 = 2, 𝐵, ∅) = if(𝑛 = 2, 𝐵, ∅))
7	4, 6	ifbieq2d 4482	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → if(𝑚 = 1, 𝐴, if(𝑚 = 2, 𝐵, ∅)) = if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐵, ∅)))
8	7	cbvmptv 5183	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 = 1, 𝐴, if(𝑚 = 2, 𝐵, ∅))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐵, ∅)))
9	1, 2, 3, 8	ovnsubadd2lem 44073	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  ℝcr 10801  1c1 10803   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  2c2 11958   +_𝑒 cxad 12775  voln*covoln 43964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-prod 15544  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-rest 17050  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cmp 22446  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-sumge0 43791  df-ovoln 43965

This theorem is referenced by:  ovnsplit  44076