Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsubadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnsubadd2 41360
Description: (voln*‘𝑋) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . The special case of the union of 2 sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubadd2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnsubadd2.a (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
ovnsubadd2.b (𝜑𝐵 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ovnsubadd2 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝐵)) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘𝐵)))

Proof of Theorem ovnsubadd2
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovnsubadd2.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 ovnsubadd2.a . 2 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
3 ovnsubadd2.b . 2 (𝜑𝐵 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
4 eqeq1 2821 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑛 = 1))
5 eqeq1 2821 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 2 ↔ 𝑛 = 2))
65ifbid 4312 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → if(𝑚 = 2, 𝐵, ∅) = if(𝑛 = 2, 𝐵, ∅))
74, 6ifbieq2d 4315 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → if(𝑚 = 1, 𝐴, if(𝑚 = 2, 𝐵, ∅)) = if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐵, ∅)))
87cbvmptv 4955 . 2 (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 = 1, 𝐴, if(𝑚 = 2, 𝐵, ∅))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐵, ∅)))
91, 2, 3, 8ovnsubadd2lem 41359 1 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝐵)) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2157  cun 3778  wss 3780  c0 4127  ifcif 4290   class class class wbr 4855  cmpt 4934  cfv 6111  (class class class)co 6884  𝑚 cmap 8102  Fincfn 8202  cr 10230  1c1 10232  cle 10370  cn 11315  2c2 11368   +𝑒 cxad 12180  voln*covoln 41250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-inf2 8795  ax-cc 9552  ax-ac2 9580  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309  ax-addf 10310  ax-mulf 10311
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-disj 4824  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-of 7137  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-tpos 7597  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-oadd 7810  df-er 7989  df-map 8104  df-pm 8105  df-ixp 8156  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-fi 8566  df-sup 8597  df-inf 8598  df-oi 8664  df-card 9058  df-acn 9061  df-ac 9232  df-cda 9285  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-q 12028  df-rp 12067  df-xneg 12182  df-xadd 12183  df-xmul 12184  df-ioo 12417  df-ico 12419  df-icc 12420  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-fl 12837  df-seq 13045  df-exp 13104  df-hash 13358  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-clim 14462  df-rlim 14463  df-sum 14660  df-prod 14877  df-struct 16090  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-sets 16095  df-ress 16096  df-plusg 16186  df-mulr 16187  df-starv 16188  df-tset 16192  df-ple 16193  df-ds 16195  df-unif 16196  df-rest 16308  df-0g 16327  df-topgen 16329  df-mgm 17467  df-sgrp 17509  df-mnd 17520  df-grp 17650  df-minusg 17651  df-subg 17813  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18712  df-ur 18724  df-ring 18771  df-cring 18772  df-oppr 18845  df-dvdsr 18863  df-unit 18864  df-invr 18894  df-dvr 18905  df-drng 18973  df-psmet 19966  df-xmet 19967  df-met 19968  df-bl 19969  df-mopn 19970  df-cnfld 19975  df-top 20933  df-topon 20950  df-bases 20985  df-cmp 21425  df-ovol 23468  df-vol 23469  df-sumge0 41077  df-ovoln 41251
This theorem is referenced by:  ovnsplit  41362
  Copyright terms: Public domain W3C validator