Theorem ovnsubadd2 46557

Description: (voln*‘𝑋) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . The special case of the union of 2 sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnsubadd2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnsubadd2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
ovnsubadd2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovnsubadd2	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘𝐵)))

Proof of Theorem ovnsubadd2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnsubadd2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		ovnsubadd2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
3		ovnsubadd2.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
4		eqeq1 2744	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑛 = 1))
5		eqeq1 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 2 ↔ 𝑛 = 2))
6	5	ifbid 4571	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → if(𝑚 = 2, 𝐵, ∅) = if(𝑛 = 2, 𝐵, ∅))
7	4, 6	ifbieq2d 4574	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → if(𝑚 = 1, 𝐴, if(𝑚 = 2, 𝐵, ∅)) = if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐵, ∅)))
8	7	cbvmptv 5279	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 = 1, 𝐴, if(𝑚 = 2, 𝐵, ∅))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 = 1, 𝐴, if(𝑛 = 2, 𝐵, ∅)))
9	1, 2, 3, 8	ovnsubadd2lem 46556	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ (((voln*‘𝑋)‘𝐴) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ifcif 4548   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6568  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8878  Fincfn 8997  ℝcr 11177  1c1 11179   ≤ cle 11319  ℕcn 12287  2c2 12342   +_𝑒 cxad 13167  voln*covoln 46447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-inf2 9704  ax-cc 10498  ax-ac2 10526  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255  ax-pre-sup 11256  ax-addf 11257  ax-mulf 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-se 5651  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-isom 6577  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7708  df-om 7898  df-1st 8024  df-2nd 8025  df-tpos 8261  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-1o 8516  df-2o 8517  df-er 8757  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8950  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-fin 9001  df-fi 9474  df-sup 9505  df-inf 9506  df-oi 9573  df-dju 9964  df-card 10002  df-acn 10005  df-ac 10179  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-div 11942  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-4 12352  df-5 12353  df-6 12354  df-7 12355  df-8 12356  df-9 12357  df-n0 12548  df-z 12634  df-dec 12753  df-uz 12898  df-q 13008  df-rp 13052  df-xneg 13169  df-xadd 13170  df-xmul 13171  df-ioo 13405  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13562  df-fzo 13706  df-fl 13837  df-seq 14047  df-exp 14107  df-hash 14374  df-cj 15142  df-re 15143  df-im 15144  df-sqrt 15278  df-abs 15279  df-clim 15528  df-rlim 15529  df-sum 15729  df-prod 15946  df-struct 17188  df-sets 17205  df-slot 17223  df-ndx 17235  df-base 17253  df-ress 17282  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-rest 17476  df-0g 17495  df-topgen 17497  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-grp 18970  df-minusg 18971  df-subg 19157  df-cmn 19818  df-abl 19819  df-mgp 20156  df-rng 20174  df-ur 20203  df-ring 20256  df-cring 20257  df-oppr 20354  df-dvdsr 20377  df-unit 20378  df-invr 20408  df-dvr 20421  df-drng 20747  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22913  df-topon 22930  df-bases 22966  df-cmp 23408  df-ovol 25510  df-vol 25511  df-sumge0 46274  df-ovoln 46448

This theorem is referenced by:  ovnsplit  46559