Theorem ovnsplit 46596

Description: The n-dimensional Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive: application to a set split in two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovnsplit	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem ovnsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4459	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
3	2	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
5		ovnsplit.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
6		ovnsplit.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
7	6	ssinss1d 4227	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
8	6	ssdifssd 4127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
9	5, 7, 8	ovnsubadd2 46594	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
10	4, 9	eqbrtrd 5145	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3928   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5123  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8966  ℝcr 11135   ≤ cle 11277   +_𝑒 cxad 13133  voln*covoln 46484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-ac2 10484  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-disj 5091  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7678  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963  df-ac 10137  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13135  df-xadd 13136  df-xmul 13137  df-ioo 13372  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-fl 13813  df-seq 14024  df-exp 14084  df-hash 14351  df-cj 15119  df-re 15120  df-im 15121  df-sqrt 15255  df-abs 15256  df-clim 15505  df-rlim 15506  df-sum 15704  df-prod 15921  df-rest 17437  df-topgen 17458  df-psmet 21317  df-xmet 21318  df-met 21319  df-bl 21320  df-mopn 21321  df-top 22847  df-topon 22864  df-bases 22899  df-cmp 23340  df-ovol 25434  df-vol 25435  df-sumge0 46311  df-ovoln 46485

This theorem is referenced by: (None)