Theorem ovnsplit 46504

Description: The n-dimensional Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive: application to a set split in two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovnsplit	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem ovnsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4498	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
3	2	fveq2i 6922	. . 3 ⊢ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
5		ovnsplit.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
6		ovnsplit.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
7	6	ssinss1d 44885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
8	6	ssdifssd 4164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
9	5, 7, 8	ovnsubadd2 46502	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
10	4, 9	eqbrtrd 5191	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ∖ cdif 3967   ∪ cun 3968   ∩ cin 3969   ⊆ wss 3970   class class class wbr 5169  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445   ↑_m cmap 8880  Fincfn 8999  ℝcr 11179   ≤ cle 11321   +_𝑒 cxad 13169  voln*covoln 46392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cc 10500  ax-ac2 10528  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-addf 11259  ax-mulf 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-disj 5137  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-ixp 8952  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fi 9476  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-dju 9966  df-card 10004  df-acn 10007  df-ac 10181  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xneg 13171  df-xadd 13172  df-xmul 13173  df-ioo 13407  df-ico 13409  df-icc 13410  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-fl 13839  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-rlim 15531  df-sum 15731  df-prod 15948  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-rest 17477  df-0g 17496  df-topgen 17498  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-subg 19158  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-dvr 20422  df-drng 20748  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22914  df-topon 22931  df-bases 22967  df-cmp 23409  df-ovol 25511  df-vol 25512  df-sumge0 46219  df-ovoln 46393

This theorem is referenced by: (None)