Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnsplit 45874
Description: The n-dimensional Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive: application to a set split in two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsplit.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnsplit.a (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ovnsplit (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem ovnsplit
StepHypRef Expression
1 inundif 4471 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
21eqcomi 2733 . . . 4 𝐴 = ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))
32fveq2i 6885 . . 3 ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))))
5 ovnsplit.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
6 ovnsplit.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
76ssinss1d 44248 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
86ssdifssd 4135 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
95, 7, 8ovnsubadd2 45872 . 2 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝐵))))
104, 9eqbrtrd 5161 1 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3938  cun 3939  cin 3940  wss 3941   class class class wbr 5139  cfv 6534  (class class class)co 7402  m cmap 8817  Fincfn 8936  cr 11106  cle 11247   +𝑒 cxad 13088  voln*covoln 45762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-disj 5105  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-prod 15848  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-rest 17369  df-0g 17388  df-topgen 17390  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19042  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-cring 20133  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-dvr 20295  df-drng 20581  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-bases 22773  df-cmp 23215  df-ovol 25317  df-vol 25318  df-sumge0 45589  df-ovoln 45763
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator