Theorem ovnsplit 46619

Description: The n-dimensional Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive: application to a set split in two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovnsplit	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem ovnsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4438	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
3	2	fveq2i 6843	. . 3 ⊢ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
5		ovnsplit.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
6		ovnsplit.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
7	6	ssinss1d 4206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
8	6	ssdifssd 4106	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
9	5, 7, 8	ovnsubadd2 46617	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
10	4, 9	eqbrtrd 5124	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895  ℝcr 11043   ≤ cle 11185   +_𝑒 cxad 13046  voln*covoln 46507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-ac2 10392  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-acn 9871  df-ac 10045  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-prod 15846  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22757  df-topon 22774  df-bases 22809  df-cmp 23250  df-ovol 25341  df-vol 25342  df-sumge0 46334  df-ovoln 46508

This theorem is referenced by: (None)