Theorem ovnsplit 46030

Description: The n-dimensional Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive: application to a set split in two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovnsplit	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem ovnsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	eqcomi 2737	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
3	2	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
5		ovnsplit.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
6		ovnsplit.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
7	6	ssinss1d 44406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
8	6	ssdifssd 4138	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
9	5, 7, 8	ovnsubadd2 46028	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
10	4, 9	eqbrtrd 5164	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3942   ∪ cun 3943   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8838  Fincfn 8957  ℝcr 11131   ≤ cle 11273   +_𝑒 cxad 13116  voln*covoln 45918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cc 10452  ax-ac2 10480  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211  ax-mulf 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-dju 9918  df-card 9956  df-acn 9959  df-ac 10133  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-prod 15876  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-rest 17397  df-0g 17416  df-topgen 17418  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-subg 19071  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-drng 20619  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-cmp 23284  df-ovol 25386  df-vol 25387  df-sumge0 45745  df-ovoln 45919

This theorem is referenced by: (None)