Theorem ovnsplit 45354

Description: The n-dimensional Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive: application to a set split in two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovnsplit	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem ovnsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4478	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	eqcomi 2741	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
3	2	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
5		ovnsplit.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
6		ovnsplit.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
7	6	ssinss1d 43725	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
8	6	ssdifssd 4142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
9	5, 7, 8	ovnsubadd2 45352	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
10	4, 9	eqbrtrd 5170	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ (((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938  ℝcr 11108   ≤ cle 11248   +_𝑒 cxad 13089  voln*covoln 45242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-prod 15849  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-sumge0 45069  df-ovoln 45243

This theorem is referenced by: (None)