Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  totprob Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem totprob 31745
 Description: Law of total probability. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
totprob ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ ( 𝐵 = dom 𝑃𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑏𝐵 𝑏))) → (𝑃𝐴) = Σ*𝑏𝐵(𝑃‘(𝑏𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏   𝑃,𝑏

Proof of Theorem totprob
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ ( 𝐵 = dom 𝑃𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑏𝐵 𝑏))) → 𝑃 ∈ Prob)
2 simp2 1134 . . 3 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ ( 𝐵 = dom 𝑃𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑏𝐵 𝑏))) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
3 simp32 1207 . . 3 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ ( 𝐵 = dom 𝑃𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑏𝐵 𝑏))) → 𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃)
4 simp31 1206 . . 3 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ ( 𝐵 = dom 𝑃𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑏𝐵 𝑏))) → 𝐵 = dom 𝑃)
5 simp33l 1297 . . 3 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ ( 𝐵 = dom 𝑃𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑏𝐵 𝑏))) → 𝐵 ≼ ω)
6 simp33r 1298 . . . 4 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ ( 𝐵 = dom 𝑃𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑏𝐵 𝑏))) → Disj 𝑏𝐵 𝑏)
7 id 22 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐𝑏 = 𝑐)
87cbvdisjv 5029 . . . 4 (Disj 𝑏𝐵 𝑏Disj 𝑐𝐵 𝑐)
96, 8sylib 221 . . 3 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ ( 𝐵 = dom 𝑃𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑏𝐵 𝑏))) → Disj 𝑐𝐵 𝑐)
101, 2, 3, 4, 5, 9totprobd 31744 . 2 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ ( 𝐵 = dom 𝑃𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑏𝐵 𝑏))) → (𝑃𝐴) = Σ*𝑐𝐵(𝑃‘(𝑐𝐴)))
11 ineq1 4167 . . . 4 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝐴) = (𝑐𝐴))
1211fveq2d 6666 . . 3 (𝑏 = 𝑐 → (𝑃‘(𝑏𝐴)) = (𝑃‘(𝑐𝐴)))
1312cbvesumv 31362 . 2 Σ*𝑏𝐵(𝑃‘(𝑏𝐴)) = Σ*𝑐𝐵(𝑃‘(𝑐𝐴))
1410, 13syl6eqr 2877 1 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ ( 𝐵 = dom 𝑃𝐵 ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ (𝐵 ≼ ω ∧ Disj 𝑏𝐵 𝑏))) → (𝑃𝐴) = Σ*𝑏𝐵(𝑃‘(𝑏𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∩ cin 3919  𝒫 cpw 4523  ∪ cuni 4825  Disj wdisj 5018   class class class wbr 5053  dom cdm 5543  ‘cfv 6344  ωcom 7575   ≼ cdom 8504  Σ*cesum 31346  Probcprb 31725 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-ac2 9884  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-fi 8873  df-sup 8904  df-inf 8905  df-oi 8972  df-dju 9328  df-card 9366  df-acn 9369  df-ac 9541  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-xneg 12507  df-xadd 12508  df-xmul 12509  df-ioo 12742  df-ioc 12743  df-ico 12744  df-icc 12745  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-fl 13169  df-mod 13245  df-seq 13377  df-exp 13438  df-fac 13642  df-bc 13671  df-hash 13699  df-shft 14429  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-ef 15424  df-sin 15426  df-cos 15427  df-pi 15429  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-ordt 16777  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-ps 17813  df-tsr 17814  df-plusf 17854  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-subrg 19536  df-abv 19591  df-lmod 19639  df-scaf 19640  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-tmd 22683  df-tgp 22684  df-tsms 22738  df-trg 22771  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-nm 23195  df-ngp 23196  df-nrg 23198  df-nlm 23199  df-ii 23488  df-cncf 23489  df-limc 24475  df-dv 24476  df-log 25154  df-esum 31347  df-siga 31428  df-meas 31515  df-prob 31726 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator