Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem58 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem58 45508
Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here D is used to represent the set A of Lemma 2, because here the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem58.1 Ⅎ𝑑𝐷
stoweidlem58.2 β„²π‘‘π‘ˆ
stoweidlem58.3 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem58.4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem58.5 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem58.6 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem58.7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem58.8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem58.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem58.13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Clsdβ€˜π½))
stoweidlem58.14 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½))
stoweidlem58.15 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ 𝐷) = βˆ…)
stoweidlem58.16 π‘ˆ = (𝑇 βˆ– 𝐡)
stoweidlem58.17 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem58.18 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem58 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘Ž,π‘Ÿ,𝑑,𝐴,π‘ž   𝐷,π‘Ž,𝑓,π‘Ÿ   𝑇,π‘Ž,𝑓,π‘Ÿ,𝑑   π‘ˆ,π‘Ž,𝑓,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ž,𝑓,π‘Ÿ   𝑓,𝑔,π‘Ÿ,𝑑,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,π‘Ÿ,𝑑   π‘₯,𝑓,𝑔,𝑑,𝐴   𝐡,𝑓,𝑔,π‘Ÿ   𝑓,𝐽,𝑔,π‘Ÿ,𝑑   𝑔,π‘ž,𝐷   𝑇,𝑔   π‘ˆ,𝑔   πœ‘,𝑔   𝐷,π‘ž   𝑇,π‘ž   π‘ˆ,π‘ž   πœ‘,π‘ž   𝑑,𝐾   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑑)   𝐡(𝑑,π‘ž,π‘Ž)   𝐢(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž,π‘Ž)   𝐷(𝑑)   π‘ˆ(π‘₯,𝑑)   𝐸(π‘ž,π‘Ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž,π‘Ž)   𝐾(π‘₯,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž,π‘Ž)

Proof of Theorem stoweidlem58
Dummy variables 𝑒 β„Ž 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem58.1 . . 3 Ⅎ𝑑𝐷
2 stoweidlem58.3 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
31nfeq1 2908 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝐷 = βˆ…
42, 3nfan 1894 . . 3 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝐷 = βˆ…)
5 eqid 2725 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1)
6 stoweidlem58.5 . . 3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
7 stoweidlem58.11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
87adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐷 = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
9 stoweidlem58.13 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Clsdβ€˜π½))
109adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ (Clsdβ€˜π½))
11 stoweidlem58.17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
1211adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = βˆ…) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
13 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = βˆ…) β†’ 𝐷 = βˆ…)
141, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13stoweidlem18 45468 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
15 stoweidlem58.2 . . 3 β„²π‘‘π‘ˆ
16 nfcv 2892 . . . . 5 β„²π‘‘βˆ…
171, 16nfne 3033 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝐷 β‰  βˆ…
182, 17nfan 1894 . . 3 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…)
19 eqid 2725 . . 3 {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)} = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
20 eqid 2725 . . 3 {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑀 (β„Žβ€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (β„Žβ€˜π‘‘))} = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑀 (β„Žβ€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (β„Žβ€˜π‘‘))}
21 stoweidlem58.4 . . 3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
22 stoweidlem58.6 . . 3 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
23 stoweidlem58.16 . . 3 π‘ˆ = (𝑇 βˆ– 𝐡)
24 stoweidlem58.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
2524adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
26 stoweidlem58.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
2726adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
28 stoweidlem58.9 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
29283adant1r 1174 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
30 stoweidlem58.10 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
31303adant1r 1174 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
327adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
33 stoweidlem58.12 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
3433adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
359adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ (Clsdβ€˜π½))
36 stoweidlem58.14 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½))
3736adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½))
38 stoweidlem58.15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ 𝐷) = βˆ…)
3938adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 ∩ 𝐷) = βˆ…)
40 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐷 β‰  βˆ…)
4111adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
42 stoweidlem58.18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
4342adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐸 < (1 / 3))
441, 15, 18, 19, 20, 21, 6, 22, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 43stoweidlem57 45507 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
4514, 44pm2.61dane 3019 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βˆ– cdif 3937   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  3c3 12296  β„+crp 13004  (,)cioo 13354  topGenctg 17416  Clsdccld 22936   Cn ccn 23144  Compccmp 23306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244
This theorem is referenced by:  stoweidlem59  45509
  Copyright terms: Public domain W3C validator