Theorem stoweidlem58 46800

Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here D is used to represent the set A of Lemma 2, because here the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem58.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐷
stoweidlem58.2	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem58.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem58.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem58.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem58.6	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem58.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem58.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem58.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑎) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.12	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem58.13	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem58.14	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem58.15	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
stoweidlem58.16	⊢ 𝑈 = (𝑇 ∖ 𝐵)
stoweidlem58.17	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem58.18	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem58	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑎,𝑟,𝑡,𝐴,𝑞   𝐷,𝑎,𝑓,𝑟   𝑇,𝑎,𝑓,𝑟,𝑡   𝑈,𝑎,𝑓,𝑟   𝜑,𝑎,𝑓,𝑟   𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑟,𝑡   𝑥,𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔,𝑟   𝑓,𝐽,𝑔,𝑟,𝑡   𝑔,𝑞,𝐷   𝑇,𝑔   𝑈,𝑔   𝜑,𝑔   𝐷,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝜑,𝑞   𝑡,𝐾   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑡)   𝐵(𝑡, 𝑞, 𝑎)   𝐶(𝑥, 𝑡, 𝑓, 𝑔, 𝑟, 𝑞, 𝑎)   𝐷(𝑡)   𝑈(𝑥, 𝑡)   𝐸(𝑞, 𝑎)   𝐽(𝑥, 𝑞, 𝑎)   𝐾(𝑥, 𝑓, 𝑔, 𝑟, 𝑞, 𝑎)

Proof of Theorem stoweidlem58

Dummy variables 𝑒 ℎ 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem58.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝐷
2		stoweidlem58.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3	1	nfeq1 2940	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝐷 = ∅
4	2, 3	nfan 1929	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝐷 = ∅)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1)
6		stoweidlem58.5	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7		stoweidlem58.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑎) ∈ 𝐴)
8	7	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 = ∅) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑎) ∈ 𝐴)
9		stoweidlem58.13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
10	9	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 = ∅) → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
11		stoweidlem58.17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
12	11	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
13		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 = ∅) → 𝐷 = ∅)
14	1, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13	stoweidlem18 46760	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥‘𝑡)))
15		stoweidlem58.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
16		nfcv 2925	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡∅
17	1, 16	nfne 3061	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝐷 ≠ ∅
18	2, 17	nfan 1929	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅)
19		eqid 2763	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)} = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)}
20		eqid 2763	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃ℎ ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑤 (ℎ‘𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(1 − 𝑒) < (ℎ‘𝑡))} = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃ℎ ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑤 (ℎ‘𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(1 − 𝑒) < (ℎ‘𝑡))}
21		stoweidlem58.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
22		stoweidlem58.6	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
23		stoweidlem58.16	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ∖ 𝐵)
24		stoweidlem58.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
25	24	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
26		stoweidlem58.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
27	26	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
28		stoweidlem58.9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
29	28	3adant1r 1196	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
30		stoweidlem58.10	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
31	30	3adant1r 1196	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
32	7	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑎) ∈ 𝐴)
33		stoweidlem58.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
34	33	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
35	9	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
36		stoweidlem58.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
37	36	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
38		stoweidlem58.15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
39	38	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
40		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐷 ≠ ∅)
41	11	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
42		stoweidlem58.18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
43	42	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐸 < (1 / 3))
44	1, 15, 18, 19, 20, 21, 6, 22, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 43	stoweidlem57 46799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥‘𝑡)))
45	14, 44	pm2.61dane 3045	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥‘𝑡)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143  Ⅎwnfc 2910   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   · cmul 11109   < clt 11247   ≤ cle 11248   − cmin 11445   / cdiv 11875  3c3 12300  ℝ⁺crp 13020  (,)cioo 13376  topGenctg 17494  Clsdccld 23182   Cn ccn 23390  Compccmp 23552

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13380  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-pt 17501  df-prds 17504  df-xrs 17560  df-qtop 17565  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-mulg 19138  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cld 23185  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-cmp 23553  df-tx 23728  df-hmeo 23921  df-xms 24486  df-ms 24487  df-tms 24488

This theorem is used by:  stoweidlem59  46801