Theorem stoweidlem58 45359

Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here D is used to represent the set A of Lemma 2, because here the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem58.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐷
stoweidlem58.2	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem58.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem58.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem58.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem58.6	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem58.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem58.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem58.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑎) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.12	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem58.13	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem58.14	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem58.15	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
stoweidlem58.16	⊢ 𝑈 = (𝑇 ∖ 𝐵)
stoweidlem58.17	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem58.18	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem58	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑎,𝑟,𝑡,𝐴,𝑞   𝐷,𝑎,𝑓,𝑟   𝑇,𝑎,𝑓,𝑟,𝑡   𝑈,𝑎,𝑓,𝑟   𝜑,𝑎,𝑓,𝑟   𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑟,𝑡   𝑥,𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔,𝑟   𝑓,𝐽,𝑔,𝑟,𝑡   𝑔,𝑞,𝐷   𝑇,𝑔   𝑈,𝑔   𝜑,𝑔   𝐷,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝜑,𝑞   𝑡,𝐾   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑡)   𝐵(𝑡,𝑞,𝑎)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑎)   𝐷(𝑡)   𝑈(𝑥,𝑡)   𝐸(𝑞,𝑎)   𝐽(𝑥,𝑞,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑎)

Proof of Theorem stoweidlem58

Dummy variables 𝑒 ℎ 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem58.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝐷
2		stoweidlem58.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3	1	nfeq1 2913	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝐷 = ∅
4	2, 3	nfan 1895	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝐷 = ∅)
5		eqid 2727	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 1)
6		stoweidlem58.5	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7		stoweidlem58.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑎) ∈ 𝐴)
8	7	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 = ∅) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑎) ∈ 𝐴)
9		stoweidlem58.13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 = ∅) → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
11		stoweidlem58.17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
13		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 = ∅) → 𝐷 = ∅)
14	1, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13	stoweidlem18 45319	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥‘𝑡)))
15		stoweidlem58.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
16		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡∅
17	1, 16	nfne 3038	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 𝐷 ≠ ∅
18	2, 17	nfan 1895	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅)
19		eqid 2727	. . 3 ⊢ {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)} = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)}
20		eqid 2727	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃ℎ ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑤 (ℎ‘𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(1 − 𝑒) < (ℎ‘𝑡))} = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃ℎ ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑤 (ℎ‘𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)(1 − 𝑒) < (ℎ‘𝑡))}
21		stoweidlem58.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
22		stoweidlem58.6	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
23		stoweidlem58.16	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ∖ 𝐵)
24		stoweidlem58.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
26		stoweidlem58.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
28		stoweidlem58.9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
29	28	3adant1r 1175	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
30		stoweidlem58.10	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
31	30	3adant1r 1175	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
32	7	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑎) ∈ 𝐴)
33		stoweidlem58.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
34	33	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
35	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
36		stoweidlem58.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
38		stoweidlem58.15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
39	38	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → (𝐵 ∩ 𝐷) = ∅)
40		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐷 ≠ ∅)
41	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
42		stoweidlem58.18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
43	42	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → 𝐸 < (1 / 3))
44	1, 15, 18, 19, 20, 21, 6, 22, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 43	stoweidlem57 45358	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥‘𝑡)))
45	14, 44	pm2.61dane 3024	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐷 (𝑥‘𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  Ⅎwnfc 2878   ≠ wne 2935  ∀wral 3056  ∃wrex 3065  {crab 3427   ∖ cdif 3941   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  ∪ cuni 4903   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11264   ≤ cle 11265   − cmin 11460   / cdiv 11887  3c3 12284  ℝ⁺crp 12992  (,)cioo 13342  topGenctg 17404  Clsdccld 22894   Cn ccn 23102  Compccmp 23264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-cmp 23265  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202

This theorem is referenced by:  stoweidlem59  45360