Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem58 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem58 44385
Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here D is used to represent the set A of Lemma 2, because here the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem58.1 Ⅎ𝑑𝐷
stoweidlem58.2 β„²π‘‘π‘ˆ
stoweidlem58.3 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem58.4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem58.5 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem58.6 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem58.7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem58.8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem58.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem58.13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Clsdβ€˜π½))
stoweidlem58.14 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½))
stoweidlem58.15 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ 𝐷) = βˆ…)
stoweidlem58.16 π‘ˆ = (𝑇 βˆ– 𝐡)
stoweidlem58.17 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem58.18 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem58 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘Ž,π‘Ÿ,𝑑,𝐴,π‘ž   𝐷,π‘Ž,𝑓,π‘Ÿ   𝑇,π‘Ž,𝑓,π‘Ÿ,𝑑   π‘ˆ,π‘Ž,𝑓,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ž,𝑓,π‘Ÿ   𝑓,𝑔,π‘Ÿ,𝑑,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,π‘Ÿ,𝑑   π‘₯,𝑓,𝑔,𝑑,𝐴   𝐡,𝑓,𝑔,π‘Ÿ   𝑓,𝐽,𝑔,π‘Ÿ,𝑑   𝑔,π‘ž,𝐷   𝑇,𝑔   π‘ˆ,𝑔   πœ‘,𝑔   𝐷,π‘ž   𝑇,π‘ž   π‘ˆ,π‘ž   πœ‘,π‘ž   𝑑,𝐾   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐸   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑑)   𝐡(𝑑,π‘ž,π‘Ž)   𝐢(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž,π‘Ž)   𝐷(𝑑)   π‘ˆ(π‘₯,𝑑)   𝐸(π‘ž,π‘Ž)   𝐽(π‘₯,π‘ž,π‘Ž)   𝐾(π‘₯,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž,π‘Ž)

Proof of Theorem stoweidlem58
Dummy variables 𝑒 β„Ž 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem58.1 . . 3 Ⅎ𝑑𝐷
2 stoweidlem58.3 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
31nfeq1 2919 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝐷 = βˆ…
42, 3nfan 1903 . . 3 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝐷 = βˆ…)
5 eqid 2733 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1)
6 stoweidlem58.5 . . 3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
7 stoweidlem58.11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
87adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐷 = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
9 stoweidlem58.13 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Clsdβ€˜π½))
109adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ (Clsdβ€˜π½))
11 stoweidlem58.17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
1211adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = βˆ…) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
13 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = βˆ…) β†’ 𝐷 = βˆ…)
141, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13stoweidlem18 44345 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐷 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
15 stoweidlem58.2 . . 3 β„²π‘‘π‘ˆ
16 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘‘βˆ…
171, 16nfne 3042 . . . 4 Ⅎ𝑑 𝐷 β‰  βˆ…
182, 17nfan 1903 . . 3 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…)
19 eqid 2733 . . 3 {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)} = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)}
20 eqid 2733 . . 3 {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑀 (β„Žβ€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (β„Žβ€˜π‘‘))} = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒβ„Ž ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑀 (β„Žβ€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (β„Žβ€˜π‘‘))}
21 stoweidlem58.4 . . 3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
22 stoweidlem58.6 . . 3 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
23 stoweidlem58.16 . . 3 π‘ˆ = (𝑇 βˆ– 𝐡)
24 stoweidlem58.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
2524adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
26 stoweidlem58.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
2726adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
28 stoweidlem58.9 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
29283adant1r 1178 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
30 stoweidlem58.10 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
31303adant1r 1178 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
327adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
33 stoweidlem58.12 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
3433adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
359adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ (Clsdβ€˜π½))
36 stoweidlem58.14 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½))
3736adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½))
38 stoweidlem58.15 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ 𝐷) = βˆ…)
3938adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 ∩ 𝐷) = βˆ…)
40 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐷 β‰  βˆ…)
4111adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
42 stoweidlem58.18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 < (1 / 3))
4342adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ 𝐸 < (1 / 3))
441, 15, 18, 19, 20, 21, 6, 22, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 43stoweidlem57 44384 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐷 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
4514, 44pm2.61dane 3029 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝐸 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (1 βˆ’ 𝐸) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  3c3 12214  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  topGenctg 17324  Clsdccld 22383   Cn ccn 22591  Compccmp 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691
This theorem is referenced by:  stoweidlem59  44386
  Copyright terms: Public domain W3C validator