MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem chordthm 26059
Description: The intersecting chords theorem. If points A, B, C, and D lie on a circle (with center Q, say), and the point P is on the interior of the segments AB and CD, then the two products of lengths PA · PB and PC · PD are equal. The Euclidean plane is identified with the complex plane, and the fact that P is on AB and on CD is expressed by the hypothesis that the angles APB and CPD are equal to π. The result is proven by using chordthmlem5 26058 twice to show that PA · PB and PC · PD both equal BQ 2 − PQ 2 . This is similar to the proof of the theorem given in Euclid's Elements, where it is Proposition III.35. This is Metamath 100 proof #55. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthm.angdef 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
chordthm.A (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
chordthm.B (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
chordthm.C (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
chordthm.D (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
chordthm.P (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
chordthm.AneP (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑃)
chordthm.BneP (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑃)
chordthm.CneP (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑃)
chordthm.DneP (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝑃)
chordthm.APB (𝜑 → ((𝐴 − 𝑃)𝐹(𝐵 − 𝑃)) = π)
chordthm.CPD (𝜑 → ((𝐶 − 𝑃)𝐹(𝐷 − 𝑃)) = π)
chordthm.Q (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
chordthm.ABcirc (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
chordthm.ACcirc (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐶 − 𝑄)))
chordthm.ADcirc (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
Assertion
Ref Expression
chordthm (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)
Proof of Theorem chordthm
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chordthm.CPD . . 3 (𝜑 → ((𝐶 − 𝑃)𝐹(𝐷 − 𝑃)) = π)
2 chordthm.angdef . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
3 chordthm.C . . . 4 (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4 chordthm.P . . . 4 (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
5 chordthm.D . . . 4 (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6 chordthm.CneP . . . 4 (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑃)
7 chordthm.DneP . . . . 5 (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝑃)
87necomd 2997 . . . 4 (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐷)
92, 3, 4, 5, 6, 8angpieqvd 26053 . . 3 (𝜑 → (((𝐶 − 𝑃)𝐹(𝐷 − 𝑃)) = π ↔ ∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
101, 9mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))
11 chordthm.APB . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 𝑃)𝐹(𝐵 − 𝑃)) = π)
12 chordthm.A . . . . . 6 (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13 chordthm.B . . . . . 6 (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14 chordthm.AneP . . . . . 6 (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑃)
15 chordthm.BneP . . . . . . 7 (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑃)
1615necomd 2997 . . . . . 6 (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐵)
172, 12, 4, 13, 14, 16angpieqvd 26053 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 − 𝑃)𝐹(𝐵 − 𝑃)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
1811, 17mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
1918adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
20 chordthm.ABcirc . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
2120ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
22 chordthm.ADcirc . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
2322ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
2421, 23eqtr3d 2779 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (abs‘(𝐵 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
2524oveq1d 7330 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2))
2625oveq1d 7330 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
2712ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
2813ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
29 chordthm.Q . . . . . 6 (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
3029ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑄 ∈ ℂ)
31 ioossicc 13238 . . . . . 6 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
32 simprl 768 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
3331, 32sselid 3929 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
34 simprr 770 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
3527, 28, 30, 33, 34, 21chordthmlem5 26058 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
363ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
375ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝐷 ∈ ℂ)
38 simplrl 774 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑣 ∈ (0(,)1))
3931, 38sselid 3929 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
40 simplrr 775 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))
41 chordthm.ACcirc . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐶 − 𝑄)))
4241ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐶 − 𝑄)))
4342, 23eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (abs‘(𝐶 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
4436, 37, 30, 39, 40, 43chordthmlem5 26058 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
4526, 35, 443eqtr4d 2787 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))
4619, 45rexlimddv 3155 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))
4710, 46rexlimddv 3155 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3894  {csn 4571  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315   ∈ cmpo 7317  ℂcc 10942  0cc0 10944  1c1 10945   + caddc 10947   · cmul 10949   − cmin 11278   / cdiv 11705  2c2 12101  (,)cioo 13152  [,]cicc 13155  ↑cexp 13855  ℑcim 14881  abscabs 15017  πcpi 15848  logclog 25782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-inf2 9470  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022  ax-addf 11023  ax-mulf 11024
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-of 7573  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-supp 8025  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-2o 8345  df-er 8546  df-map 8665  df-pm 8666  df-ixp 8734  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-fsupp 9199  df-fi 9240  df-sup 9271  df-inf 9272  df-oi 9339  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-9 12116  df-n0 12307  df-z 12393  df-dec 12511  df-uz 12656  df-q 12762  df-rp 12804  df-xneg 12921  df-xadd 12922  df-xmul 12923  df-ioo 13156  df-ioc 13157  df-ico 13158  df-icc 13159  df-fz 13313  df-fzo 13456  df-fl 13585  df-mod 13663  df-seq 13795  df-exp 13856  df-fac 14061  df-bc 14090  df-hash 14118  df-shft 14850  df-cj 14882  df-re 14883  df-im 14884  df-sqrt 15018  df-abs 15019  df-limsup 15252  df-clim 15269  df-rlim 15270  df-sum 15470  df-ef 15849  df-sin 15851  df-cos 15852  df-pi 15854  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-starv 17047  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-ip 17050  df-tset 17051  df-ple 17052  df-ds 17054  df-unif 17055  df-hom 17056  df-cco 17057  df-rest 17203  df-topn 17204  df-0g 17222  df-gsum 17223  df-topgen 17224  df-pt 17225  df-prds 17228  df-xrs 17283  df-qtop 17288  df-imas 17289  df-xps 17291  df-mre 17365  df-mrc 17366  df-acs 17368  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-submnd 18501  df-mulg 18770  df-cntz 18992  df-cmn 19456  df-psmet 20661  df-xmet 20662  df-met 20663  df-bl 20664  df-mopn 20665  df-fbas 20666  df-fg 20667  df-cnfld 20670  df-top 22115  df-topon 22132  df-topsp 22154  df-bases 22168  df-cld 22242  df-ntr 22243  df-cls 22244  df-nei 22321  df-lp 22359  df-perf 22360  df-cn 22450  df-cnp 22451  df-haus 22538  df-tx 22785  df-hmeo 22978  df-fil 23069  df-fm 23161  df-flim 23162  df-flf 23163  df-xms 23545  df-ms 23546  df-tms 23547  df-cncf 24113  df-limc 25102  df-dv 25103  df-log 25784
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator