Theorem chordthm 26902

Description: The intersecting chords theorem. If points A, B, C, and D lie on a circle (with center Q, say), and the point P is on the interior of the segments AB and CD, then the two products of lengths PA · PB and PC · PD are equal. The Euclidean plane is identified with the complex plane, and the fact that P is on AB and on CD is expressed by the hypothesis that the angles APB and CPD are equal to π. The result is proven by using chordthmlem5 26901 twice to show that PA · PB and PC · PD both equal BQ ² − PQ ² . This is similar to the proof of the theorem given in Euclid's Elements, where it is Proposition III.35. This is Metamath 100 proof #55. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
chordthm.angdef	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
chordthm.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
chordthm.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
chordthm.C	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
chordthm.D	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
chordthm.P	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
chordthm.AneP	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑃)
chordthm.BneP	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑃)
chordthm.CneP	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑃)
chordthm.DneP	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝑃)
chordthm.APB	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑃)𝐹(𝐵 − 𝑃)) = π)
chordthm.CPD	⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑃)𝐹(𝐷 − 𝑃)) = π)
chordthm.Q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
chordthm.ABcirc	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
chordthm.ACcirc	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐶 − 𝑄)))
chordthm.ADcirc	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))

Assertion

Ref	Expression
chordthm	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem chordthm

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chordthm.CPD	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑃)𝐹(𝐷 − 𝑃)) = π)
2		chordthm.angdef	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
3		chordthm.C	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		chordthm.P	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
5		chordthm.D	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6		chordthm.CneP	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑃)
7		chordthm.DneP	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝑃)
8	7	necomd 3012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐷)
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	angpieqvd 26896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑃)𝐹(𝐷 − 𝑃)) = π ↔ ∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
10	1, 9	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))
11		chordthm.APB	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑃)𝐹(𝐵 − 𝑃)) = π)
12		chordthm.A	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		chordthm.B	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14		chordthm.AneP	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑃)
15		chordthm.BneP	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑃)
16	15	necomd 3012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐵)
17	2, 12, 4, 13, 14, 16	angpieqvd 26896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑃)𝐹(𝐵 − 𝑃)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
18	11, 17	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
19	18	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
20		chordthm.ABcirc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
21	20	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
22		chordthm.ADcirc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
23	22	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
24	21, 23	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (abs‘(𝐵 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
25	24	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2))
26	25	oveq1d 7411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
27	12	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	13	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
29		chordthm.Q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
30	29	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑄 ∈ ℂ)
31		ioossicc 13437	. . . . . 6 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
32		simprl 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
33	31, 32	sselid 3934	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
34		simprr 782	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
35	27, 28, 30, 33, 34, 21	chordthmlem5 26901	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
36	3	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
37	5	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝐷 ∈ ℂ)
38		simplrl 786	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑣 ∈ (0(,)1))
39	31, 38	sselid 3934	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
40		simplrr 787	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))
41		chordthm.ACcirc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐶 − 𝑄)))
42	41	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐶 − 𝑄)))
43	42, 23	eqtr3d 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (abs‘(𝐶 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
44	36, 37, 30, 39, 40, 43	chordthmlem5 26901	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
45	26, 35, 44	3eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))
46	19, 45	rexlimddv 3169	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))
47	10, 46	rexlimddv 3169	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3901  {csn 4582  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  ℂcc 11071  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   − cmin 11414   / cdiv 11844  2c2 12272  (,)cioo 13349  [,]cicc 13352  ↑cexp 14074  ℑcim 15125  abscabs 15261  πcpi 16096  logclog 26619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-lp 23196  df-perf 23197  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-haus 23375  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cncf 24940  df-limc 25928  df-dv 25929  df-log 26621

This theorem is referenced by: (None)