Theorem chordthmALT 40692

Description: The intersecting chords theorem. If points A, B, C, and D lie on a circle (with center Q, say), and the point P is on the interior of the segments AB and CD, then the two products of lengths PA · PB and PC · PD are equal. The Euclidean plane is identified with the complex plane, and the fact that P is on AB and on CD is expressed by the hypothesis that the angles APB and CPD are equal to π. The result is proven by using chordthmlem5 25115 twice to show that PA · PB and PC · PD both equal BQ ² − PQ ² . This is similar to the proof of the theorem given in Euclid's Elements, where it is Proposition III.35. Proven by David Moews on 28-Feb-2017 as chordthm 25116. https://us.metamath.org/other/completeusersproof/chordthmaltvd.html is a Virtual Deduction User's Proof transcription of chordthm 25116. That VD User's Proof was input into completeusersproof, automatically generating this chordthmALT 40692 Metamath proof. (Contributed by Alan Sare, 19-Sep-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chordthmALT.angdef	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
chordthmALT.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
chordthmALT.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
chordthmALT.C	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
chordthmALT.D	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
chordthmALT.P	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
chordthmALT.AneP	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑃)
chordthmALT.BneP	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑃)
chordthmALT.CneP	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑃)
chordthmALT.DneP	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝑃)
chordthmALT.APB	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑃)𝐹(𝐵 − 𝑃)) = π)
chordthmALT.CPD	⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑃)𝐹(𝐷 − 𝑃)) = π)
chordthmALT.Q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
chordthmALT.ABcirc	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
chordthmALT.ACcirc	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐶 − 𝑄)))
chordthmALT.ADcirc	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))

Assertion

Ref	Expression
chordthmALT	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem chordthmALT

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chordthmALT.CPD	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑃)𝐹(𝐷 − 𝑃)) = π)
2		chordthmALT.angdef	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
3		chordthmALT.C	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		chordthmALT.P	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
5		chordthmALT.D	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6		chordthmALT.CneP	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑃)
7		chordthmALT.DneP	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝑃)
8	7	necomd 3022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐷)
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	angpieqvd 25110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑃)𝐹(𝐷 − 𝑃)) = π ↔ ∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
10	1, 9	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))
11		df-rex 3094	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
12	11	biimpi 208	. . 3 ⊢ (∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)) → ∃𝑣(𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣(𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
14		chordthmALT.APB	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑃)𝐹(𝐵 − 𝑃)) = π)
15		chordthmALT.A	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16		chordthmALT.B	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17		chordthmALT.AneP	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑃)
18		chordthmALT.BneP	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑃)
19	18	necomd 3022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐵)
20	2, 15, 4, 16, 17, 19	angpieqvd 25110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑃)𝐹(𝐵 − 𝑃)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
21	14, 20	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
22		df-rex 3094	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)) ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
23	22	biimpi 208	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)) → ∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
24	21, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
25	24	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
26		chordthmALT.ABcirc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
27		chordthmALT.ADcirc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
28	26, 27	eqtr3d 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
29	28	oveq1d 6991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2))
30	29	oveq1d 6991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
31	30	3ad2ant1 1113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
32	15	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
33	16	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
34		chordthmALT.Q	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝑄 ∈ ℂ)
36		ioossicc 12638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
37		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
38	36, 37	sseldi 3856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
39	38	3ad2ant2 1114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
40		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)) → 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
41	40	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
42	26	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
43	32, 33, 35, 39, 41, 42	chordthmlem5 25115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
44	43	3expb 1100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
45	44	3adant2 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
46	3	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
47	5	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℂ)
48	34	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝑄 ∈ ℂ)
49		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (0(,)1) → 𝑣 ∈ (0(,)1))
50	36, 49	sseldi 3856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (0(,)1) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
51	50	3ad2ant2 1114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
52		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)) → 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))
53	52	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))
54		chordthmALT.ACcirc	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐶 − 𝑄)))
55	54, 27	eqtr3d 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
56	55	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → (abs‘(𝐶 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
57	46, 47, 48, 51, 53, 56	chordthmlem5 25115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
58	57	3expb 1100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
59	58	3adant3 1112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
60	31, 45, 59	3eqtr4d 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))
61	60	3expia 1101	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ((𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷)))))
62	61	exlimdv 1892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → (∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷)))))
63	25, 62	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))
64	63	ex 405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷)))))
65	64	exlimdv 1892	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣(𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷)))))
66	13, 65	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507  ∃wex 1742   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3826  {csn 4441  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ∈ cmpo 6978  ℂcc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   − cmin 10670   / cdiv 11098  2c2 11495  (,)cioo 12554  [,]cicc 12557  ↑cexp 13244  ℑcim 14318  abscabs 14454  πcpi 15280  logclog 24839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-shft 14287  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-limsup 14689  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-ef 15281  df-sin 15283  df-cos 15284  df-pi 15286  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168  df-log 24841

This theorem is referenced by: (None)