Mathbox for Alan Sare < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  chordthmALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmALT 42057
 Description: The intersecting chords theorem. If points A, B, C, and D lie on a circle (with center Q, say), and the point P is on the interior of the segments AB and CD, then the two products of lengths PA · PB and PC · PD are equal. The Euclidean plane is identified with the complex plane, and the fact that P is on AB and on CD is expressed by the hypothesis that the angles APB and CPD are equal to π. The result is proven by using chordthmlem5 25535 twice to show that PA · PB and PC · PD both equal BQ 2 − PQ 2 . This is similar to the proof of the theorem given in Euclid's Elements, where it is Proposition III.35. Proven by David Moews on 28-Feb-2017 as chordthm 25536. https://us.metamath.org/other/completeusersproof/chordthmaltvd.html 25536 is a Virtual Deduction User's Proof transcription of chordthm 25536. That VD User's Proof was input into completeusersproof, automatically generating this chordthmALT 42057 Metamath proof. (Contributed by Alan Sare, 19-Sep-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmALT.angdef 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
chordthmALT.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmALT.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmALT.C (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
chordthmALT.D (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
chordthmALT.P (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
chordthmALT.AneP (𝜑𝐴𝑃)
chordthmALT.BneP (𝜑𝐵𝑃)
chordthmALT.CneP (𝜑𝐶𝑃)
chordthmALT.DneP (𝜑𝐷𝑃)
chordthmALT.APB (𝜑 → ((𝐴𝑃)𝐹(𝐵𝑃)) = π)
chordthmALT.CPD (𝜑 → ((𝐶𝑃)𝐹(𝐷𝑃)) = π)
chordthmALT.Q (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
chordthmALT.ABcirc (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
chordthmALT.ACcirc (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐶𝑄)))
chordthmALT.ADcirc (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐷𝑄)))
Assertion
Ref Expression
chordthmALT (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = ((abs‘(𝑃𝐶)) · (abs‘(𝑃𝐷))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem chordthmALT
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chordthmALT.CPD . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝑃)𝐹(𝐷𝑃)) = π)
2 chordthmALT.angdef . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
3 chordthmALT.C . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 chordthmALT.P . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5 chordthmALT.D . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
6 chordthmALT.CneP . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
7 chordthmALT.DneP . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑃)
87necomd 3006 . . . . 5 (𝜑𝑃𝐷)
92, 3, 4, 5, 6, 8angpieqvd 25530 . . . 4 (𝜑 → (((𝐶𝑃)𝐹(𝐷𝑃)) = π ↔ ∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
101, 9mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))
11 df-rex 3076 . . . 4 (∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
1211biimpi 219 . . 3 (∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)) → ∃𝑣(𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
1310, 12syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑣(𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
14 chordthmALT.APB . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑃)𝐹(𝐵𝑃)) = π)
15 chordthmALT.A . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
16 chordthmALT.B . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
17 chordthmALT.AneP . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑃)
18 chordthmALT.BneP . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑃)
1918necomd 3006 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝐵)
202, 15, 4, 16, 17, 19angpieqvd 25530 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝑃)𝐹(𝐵𝑃)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
2114, 20mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
22 df-rex 3076 . . . . . . . 8 (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)) ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
2322biimpi 219 . . . . . . 7 (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)) → ∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
2421, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
2524adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
26 chordthmALT.ABcirc . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
27 chordthmALT.ADcirc . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐷𝑄)))
2826, 27eqtr3d 2795 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑄)) = (abs‘(𝐷𝑄)))
2928oveq1d 7171 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝑄))↑2) = ((abs‘(𝐷𝑄))↑2))
3029oveq1d 7171 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘(𝐵𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑄))↑2)) = (((abs‘(𝐷𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑄))↑2)))
31303ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (((abs‘(𝐵𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑄))↑2)) = (((abs‘(𝐷𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑄))↑2)))
32153ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
33163ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
34 chordthmALT.Q . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
35343ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝑄 ∈ ℂ)
36 ioossicc 12878 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
37 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
3836, 37sseldi 3892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
39383ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
40 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)) → 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
41403ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
42263ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐵𝑄)))
4332, 33, 35, 39, 41, 42chordthmlem5 25535 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑄))↑2)))
44433expb 1117 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑄))↑2)))
45443adant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑄))↑2)))
4633ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
4753ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℂ)
48343ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝑄 ∈ ℂ)
49 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (0(,)1) → 𝑣 ∈ (0(,)1))
5036, 49sseldi 3892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (0(,)1) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
51503ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
52 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)) → 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))
53523ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))
54 chordthmALT.ACcirc . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐶𝑄)))
5554, 27eqtr3d 2795 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝑄)) = (abs‘(𝐷𝑄)))
56553ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → (abs‘(𝐶𝑄)) = (abs‘(𝐷𝑄)))
5746, 47, 48, 51, 53, 56chordthmlem5 25535 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → ((abs‘(𝑃𝐶)) · (abs‘(𝑃𝐷))) = (((abs‘(𝐷𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑄))↑2)))
58573expb 1117 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ((abs‘(𝑃𝐶)) · (abs‘(𝑃𝐷))) = (((abs‘(𝐷𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑄))↑2)))
59583adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃𝐶)) · (abs‘(𝑃𝐷))) = (((abs‘(𝐷𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑄))↑2)))
6031, 45, 593eqtr4d 2803 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = ((abs‘(𝑃𝐶)) · (abs‘(𝑃𝐷))))
61603expia 1118 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ((𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = ((abs‘(𝑃𝐶)) · (abs‘(𝑃𝐷)))))
6261exlimdv 1934 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → (∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = ((abs‘(𝑃𝐶)) · (abs‘(𝑃𝐷)))))
6325, 62mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = ((abs‘(𝑃𝐶)) · (abs‘(𝑃𝐷))))
6463ex 416 . . 3 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = ((abs‘(𝑃𝐶)) · (abs‘(𝑃𝐷)))))
6564exlimdv 1934 . 2 (𝜑 → (∃𝑣(𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = ((abs‘(𝑃𝐶)) · (abs‘(𝑃𝐷)))))
6613, 65mpd 15 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = ((abs‘(𝑃𝐶)) · (abs‘(𝑃𝐷))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3857  {csn 4525  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  ℂcc 10586  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593   − cmin 10921   / cdiv 11348  2c2 11742  (,)cioo 12792  [,]cicc 12795  ↑cexp 13492  ℑcim 14518  abscabs 14654  πcpi 15481  logclog 25259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ioc 12797  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-bc 13726  df-hash 13754  df-shft 14487  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-limsup 14889  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-ef 15482  df-sin 15484  df-cos 15485  df-pi 15487  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-ip 16655  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-hom 16661  df-cco 16662  df-rest 16768  df-topn 16769  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-topgen 16789  df-pt 16790  df-prds 16793  df-xrs 16847  df-qtop 16852  df-imas 16853  df-xps 16855  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-submnd 18037  df-mulg 18306  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175  df-mopn 20176  df-fbas 20177  df-fg 20178  df-cnfld 20181  df-top 21608  df-topon 21625  df-topsp 21647  df-bases 21660  df-cld 21733  df-ntr 21734  df-cls 21735  df-nei 21812  df-lp 21850  df-perf 21851  df-cn 21941  df-cnp 21942  df-haus 22029  df-tx 22276  df-hmeo 22469  df-fil 22560  df-fm 22652  df-flim 22653  df-flf 22654  df-xms 23036  df-ms 23037  df-tms 23038  df-cncf 23593  df-limc 24579  df-dv 24580  df-log 25261 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator