Theorem chordthmALT 44953

Description: The intersecting chords theorem. If points A, B, C, and D lie on a circle (with center Q, say), and the point P is on the interior of the segments AB and CD, then the two products of lengths PA · PB and PC · PD are equal. The Euclidean plane is identified with the complex plane, and the fact that P is on AB and on CD is expressed by the hypothesis that the angles APB and CPD are equal to π. The result is proven by using chordthmlem5 26879 twice to show that PA · PB and PC · PD both equal BQ ² − PQ ² . This is similar to the proof of the theorem given in Euclid's Elements, where it is Proposition III.35. Proven by David Moews on 28-Feb-2017 as chordthm 26880. https://us.metamath.org/other/completeusersproof/chordthmaltvd.html 26880 is a Virtual Deduction User's Proof transcription of chordthm 26880. That VD User's Proof was input into completeusersproof, automatically generating this chordthmALT 44953 Metamath proof. (Contributed by Alan Sare, 19-Sep-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chordthmALT.angdef	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
chordthmALT.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
chordthmALT.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
chordthmALT.C	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
chordthmALT.D	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
chordthmALT.P	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
chordthmALT.AneP	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑃)
chordthmALT.BneP	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑃)
chordthmALT.CneP	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑃)
chordthmALT.DneP	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝑃)
chordthmALT.APB	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑃)𝐹(𝐵 − 𝑃)) = π)
chordthmALT.CPD	⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑃)𝐹(𝐷 − 𝑃)) = π)
chordthmALT.Q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
chordthmALT.ABcirc	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
chordthmALT.ACcirc	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐶 − 𝑄)))
chordthmALT.ADcirc	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))

Assertion

Ref	Expression
chordthmALT	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem chordthmALT

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chordthmALT.CPD	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑃)𝐹(𝐷 − 𝑃)) = π)
2		chordthmALT.angdef	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
3		chordthmALT.C	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		chordthmALT.P	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
5		chordthmALT.D	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6		chordthmALT.CneP	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑃)
7		chordthmALT.DneP	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝑃)
8	7	necomd 2996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐷)
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	angpieqvd 26874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝑃)𝐹(𝐷 − 𝑃)) = π ↔ ∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
10	1, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))
11		df-rex 3071	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
12	11	biimpi 216	. . 3 ⊢ (∃𝑣 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)) → ∃𝑣(𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣(𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))))
14		chordthmALT.APB	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝑃)𝐹(𝐵 − 𝑃)) = π)
15		chordthmALT.A	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16		chordthmALT.B	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17		chordthmALT.AneP	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑃)
18		chordthmALT.BneP	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑃)
19	18	necomd 2996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝐵)
20	2, 15, 4, 16, 17, 19	angpieqvd 26874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝑃)𝐹(𝐵 − 𝑃)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
21	14, 20	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
22		df-rex 3071	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)) ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
23	22	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)) → ∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
24	21, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))))
26		chordthmALT.ABcirc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
27		chordthmALT.ADcirc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
28	26, 27	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
29	28	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) = ((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2))
30	29	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
31	30	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
32	15	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
33	16	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
34		chordthmALT.Q	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝑄 ∈ ℂ)
36		ioossicc 13473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
37		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
38	36, 37	sselid 3981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
39	38	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
40		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)) → 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
41	40	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))
42	26	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐵 − 𝑄)))
43	32, 33, 35, 39, 41, 42	chordthmlem5 26879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
44	43	3expb 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
45	44	3adant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
46	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
47	5	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℂ)
48	34	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝑄 ∈ ℂ)
49		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (0(,)1) → 𝑣 ∈ (0(,)1))
50	36, 49	sselid 3981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (0(,)1) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
51	50	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
52		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)) → 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))
53	52	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))
54		chordthmALT.ACcirc	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐶 − 𝑄)))
55	54, 27	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
56	55	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → (abs‘(𝐶 − 𝑄)) = (abs‘(𝐷 − 𝑄)))
57	46, 47, 48, 51, 53, 56	chordthmlem5 26879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
58	57	3expb 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
59	58	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))) = (((abs‘(𝐷 − 𝑄))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑄))↑2)))
60	31, 45, 59	3eqtr4d 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) ∧ (𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))
61	60	3expia 1122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ((𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷)))))
62	61	exlimdv 1933	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → (∃𝑤(𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐵))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷)))))
63	25, 62	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷)))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))
64	63	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷)))))
65	64	exlimdv 1933	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣(𝑣 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑃 = ((𝑣 · 𝐶) + ((1 − 𝑣) · 𝐷))) → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷)))))
66	13, 65	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = ((abs‘(𝑃 − 𝐶)) · (abs‘(𝑃 − 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  ↑cexp 14102  ℑcim 15137  abscabs 15273  πcpi 16102  logclog 26596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598

This theorem is referenced by: (None)