Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdhcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdhcl 38901
Description: Lemmma for ~? mapdh . (Contributed by NM, 3-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhc.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdh.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdhcl (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdhcl
StepHypRef Expression
1 oteq3 4787 . . . 4 (𝑌 = 0 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
21fveq2d 6647 . . 3 (𝑌 = 0 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
32eleq1d 2896 . 2 (𝑌 = 0 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷 ↔ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) ∈ 𝐷))
4 mapdh.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
5 mapdh.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
6 mapdhcl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑌0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8 mapdhc.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐷)
98adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑌0 ) → 𝐹𝐷)
10 mapdhc.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
1110anim1i 617 . . . . 5 ((𝜑𝑌0 ) → (𝑌𝑉𝑌0 ))
12 eldifsn 4692 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌𝑉𝑌0 ))
1311, 12sylibr 237 . . . 4 ((𝜑𝑌0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
144, 5, 7, 9, 13mapdhval2 38900 . . 3 ((𝜑𝑌0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅)}))))
15 mapdh.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16 mapdh.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
17 mapdh.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18 mapdh.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
19 mapdh.s . . . . 5 = (-g𝑈)
20 mapdhc.o . . . . 5 0 = (0g𝑈)
21 mapdh.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
22 mapdh.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
23 mapdh.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
24 mapdh.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
25 mapdh.j . . . . 5 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
26 mapdh.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2726adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑌0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 mapdh.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2928adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑌0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30 mapdh.mn . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
3130adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑌0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
3215, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 7, 13, 9, 29, 31mapdpg 38880 . . . 4 ((𝜑𝑌0 ) → ∃!𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅)})))
33 riotacl 7105 . . . 4 (∃!𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅)})) → (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅)}))) ∈ 𝐷)
3432, 33syl 17 . . 3 ((𝜑𝑌0 ) → (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅)}))) ∈ 𝐷)
3514, 34eqeltrd 2912 . 2 ((𝜑𝑌0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
364, 5, 20, 6, 8mapdhval0 38899 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
3715, 22, 23, 4, 26lcd0vcl 38788 . . 3 (𝜑𝑄𝐷)
3836, 37eqeltrd 2912 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) ∈ 𝐷)
393, 35, 38pm2.61ne 3092 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  ∃!wreu 3128  Vcvv 3471  cdif 3907  ifcif 4440  {csn 4540  cotp 4548  cmpt 5119  cfv 6328  crio 7087  (class class class)co 7130  1st c1st 7662  2nd c2nd 7663  Basecbs 16461  0gc0g 16691  -gcsg 18083  LSpanclspn 19718  HLchlt 36524  LHypclh 37158  DVecHcdvh 38252  LCDualclcd 38760  mapdcmpd 38798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-riotaBAD 36127
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-ot 4549  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-undef 7914  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-0g 16693  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-proset 17516  df-poset 17534  df-plt 17546  df-lub 17562  df-glb 17563  df-join 17564  df-meet 17565  df-p0 17627  df-p1 17628  df-lat 17634  df-clat 17696  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-subg 18254  df-cntz 18425  df-oppg 18452  df-lsm 18739  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-unit 19370  df-invr 19400  df-dvr 19411  df-drng 19479  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-lsp 19719  df-lvec 19850  df-lsatoms 36150  df-lshyp 36151  df-lcv 36193  df-lfl 36232  df-lkr 36260  df-ldual 36298  df-oposet 36350  df-ol 36352  df-oml 36353  df-covers 36440  df-ats 36441  df-atl 36472  df-cvlat 36496  df-hlat 36525  df-llines 36672  df-lplanes 36673  df-lvols 36674  df-lines 36675  df-psubsp 36677  df-pmap 36678  df-padd 36970  df-lhyp 37162  df-laut 37163  df-ldil 37278  df-ltrn 37279  df-trl 37333  df-tgrp 37917  df-tendo 37929  df-edring 37931  df-dveca 38177  df-disoa 38203  df-dvech 38253  df-dib 38313  df-dic 38347  df-dih 38403  df-doch 38522  df-djh 38569  df-lcdual 38761  df-mapd 38799
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  38905  mapdheq4  38906  mapdh6lem1N  38907  mapdh6lem2N  38908  mapdh6aN  38909  mapdh6bN  38911  mapdh6cN  38912  mapdh6dN  38913  mapdh6hN  38917  mapdh7eN  38922  mapdh7cN  38923  mapdh7fN  38925  mapdh75e  38926  mapdh75fN  38929  mapdh8aa  38950  mapdh8d0N  38956  mapdh8d  38957  mapdh9a  38963  mapdh9aOLDN  38964  hdmap1cl  38978  hdmap1eulem  38996  hdmap1eulemOLDN  38997
  Copyright terms: Public domain W3C validator