Theorem mapdhcl 41726

Description: Lemmma for ~? mapdh . (Contributed by NM, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdh.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdhcl	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdhcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oteq3 4838	. . . 4 ⊢ (𝑌 = 0 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
2	1	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
3	2	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝑌 = 0 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷 ↔ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) ∈ 𝐷))
4		mapdh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
5		mapdh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
6		mapdhcl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8		mapdhc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐷)
10		mapdhc.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	10	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
12		eldifsn 4740	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
13	11, 12	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	4, 5, 7, 9, 13	mapdhval2 41725	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅ℎ)}))))
15		mapdh.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16		mapdh.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
17		mapdh.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18		mapdh.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
19		mapdh.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
20		mapdhc.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21		mapdh.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
22		mapdh.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
23		mapdh.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
24		mapdh.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
25		mapdh.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
26		mapdh.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
28		mapdh.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30		mapdh.mn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
32	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 7, 13, 9, 29, 31	mapdpg 41705	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → ∃!ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅ℎ)})))
33		riotacl 7327	. . . 4 ⊢ (∃!ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅ℎ)})) → (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅ℎ)}))) ∈ 𝐷)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅ℎ)}))) ∈ 𝐷)
35	14, 34	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
36	4, 5, 20, 6, 8	mapdhval0 41724	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
37	15, 22, 23, 4, 26	lcd0vcl 41613	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐷)
38	36, 37	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) ∈ 𝐷)
39	3, 35, 38	pm2.61ne 3010	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃!wreu 3343  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902  ifcif 4478  {csn 4579  ⟨cotp 4587   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  ℩crio 7309  (class class class)co 7353  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  Basecbs 17139  0_gc0g 17362  -_gcsg 18833  LSpanclspn 20893  HLchlt 39348  LHypclh 39983  DVecHcdvh 41077  LCDualclcd 41585  mapdcmpd 41623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-riotaBAD 38951

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-0g 17364  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-subg 19021  df-cntz 19215  df-oppg 19244  df-lsm 19534  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-dvr 20305  df-nzr 20417  df-rlreg 20598  df-domn 20599  df-drng 20635  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894  df-lvec 21026  df-lsatoms 38974  df-lshyp 38975  df-lcv 39017  df-lfl 39056  df-lkr 39084  df-ldual 39122  df-oposet 39174  df-ol 39176  df-oml 39177  df-covers 39264  df-ats 39265  df-atl 39296  df-cvlat 39320  df-hlat 39349  df-llines 39497  df-lplanes 39498  df-lvols 39499  df-lines 39500  df-psubsp 39502  df-pmap 39503  df-padd 39795  df-lhyp 39987  df-laut 39988  df-ldil 40103  df-ltrn 40104  df-trl 40158  df-tgrp 40742  df-tendo 40754  df-edring 40756  df-dveca 41002  df-disoa 41028  df-dvech 41078  df-dib 41138  df-dic 41172  df-dih 41228  df-doch 41347  df-djh 41394  df-lcdual 41586  df-mapd 41624

This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  41730  mapdheq4  41731  mapdh6lem1N  41732  mapdh6lem2N  41733  mapdh6aN  41734  mapdh6bN  41736  mapdh6cN  41737  mapdh6dN  41738  mapdh6hN  41742  mapdh7eN  41747  mapdh7cN  41748  mapdh7fN  41750  mapdh75e  41751  mapdh75fN  41754  mapdh8aa  41775  mapdh8d0N  41781  mapdh8d  41782  mapdh9a  41788  mapdh9aOLDN  41789  hdmap1cl  41803  hdmap1eulem  41821  hdmap1eulemOLDN  41822