Theorem mapdhcl 41092

Description: Lemmma for ~? mapdh . (Contributed by NM, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdh.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdhcl	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdhcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oteq3 4877	. . . 4 ⊢ (𝑌 = 0 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
2	1	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
3	2	eleq1d 2810	. 2 ⊢ (𝑌 = 0 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷 ↔ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) ∈ 𝐷))
4		mapdh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
5		mapdh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
6		mapdhcl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8		mapdhc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐷)
10		mapdhc.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	10	anim1i 614	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
12		eldifsn 4783	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
13	11, 12	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	4, 5, 7, 9, 13	mapdhval2 41091	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅ℎ)}))))
15		mapdh.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16		mapdh.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
17		mapdh.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18		mapdh.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
19		mapdh.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
20		mapdhc.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21		mapdh.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
22		mapdh.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
23		mapdh.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
24		mapdh.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
25		mapdh.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
26		mapdh.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
28		mapdh.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30		mapdh.mn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
32	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 7, 13, 9, 29, 31	mapdpg 41071	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → ∃!ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅ℎ)})))
33		riotacl 7376	. . . 4 ⊢ (∃!ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅ℎ)})) → (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅ℎ)}))) ∈ 𝐷)
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅ℎ)}))) ∈ 𝐷)
35	14, 34	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
36	4, 5, 20, 6, 8	mapdhval0 41090	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
37	15, 22, 23, 4, 26	lcd0vcl 40979	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐷)
38	36, 37	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) ∈ 𝐷)
39	3, 35, 38	pm2.61ne 3019	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃!wreu 3366  Vcvv 3466   ∖ cdif 3938  ifcif 4521  {csn 4621  ⟨cotp 4629   ↦ cmpt 5222  ‘cfv 6534  ℩crio 7357  (class class class)co 7402  1^st c1st 7967  2^nd c2nd 7968  Basecbs 17145  0_gc0g 17386  -_gcsg 18857  LSpanclspn 20810  HLchlt 38714  LHypclh 39349  DVecHcdvh 40443  LCDualclcd 40951  mapdcmpd 40989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38317

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-0g 17388  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-cntz 19225  df-oppg 19254  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-dvr 20295  df-drng 20581  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811  df-lvec 20943  df-lsatoms 38340  df-lshyp 38341  df-lcv 38383  df-lfl 38422  df-lkr 38450  df-ldual 38488  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-llines 38863  df-lplanes 38864  df-lvols 38865  df-lines 38866  df-psubsp 38868  df-pmap 38869  df-padd 39161  df-lhyp 39353  df-laut 39354  df-ldil 39469  df-ltrn 39470  df-trl 39524  df-tgrp 40108  df-tendo 40120  df-edring 40122  df-dveca 40368  df-disoa 40394  df-dvech 40444  df-dib 40504  df-dic 40538  df-dih 40594  df-doch 40713  df-djh 40760  df-lcdual 40952  df-mapd 40990

This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  41096  mapdheq4  41097  mapdh6lem1N  41098  mapdh6lem2N  41099  mapdh6aN  41100  mapdh6bN  41102  mapdh6cN  41103  mapdh6dN  41104  mapdh6hN  41108  mapdh7eN  41113  mapdh7cN  41114  mapdh7fN  41116  mapdh75e  41117  mapdh75fN  41120  mapdh8aa  41141  mapdh8d0N  41147  mapdh8d  41148  mapdh9a  41154  mapdh9aOLDN  41155  hdmap1cl  41169  hdmap1eulem  41187  hdmap1eulemOLDN  41188