Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdhcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdhcl 37797
Description: Lemmma for ~? mapdh . (Contributed by NM, 3-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhc.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdh.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdhcl (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdhcl
StepHypRef Expression
1 oteq3 4636 . . . 4 (𝑌 = 0 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
21fveq2d 6441 . . 3 (𝑌 = 0 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
32eleq1d 2891 . 2 (𝑌 = 0 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷 ↔ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) ∈ 𝐷))
4 mapdh.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
5 mapdh.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
6 mapdhcl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑌0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8 mapdhc.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐷)
98adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑌0 ) → 𝐹𝐷)
10 mapdhc.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
1110anim1i 608 . . . . 5 ((𝜑𝑌0 ) → (𝑌𝑉𝑌0 ))
12 eldifsn 4538 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌𝑉𝑌0 ))
1311, 12sylibr 226 . . . 4 ((𝜑𝑌0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
144, 5, 7, 9, 13mapdhval2 37796 . . 3 ((𝜑𝑌0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅)}))))
15 mapdh.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16 mapdh.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
17 mapdh.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18 mapdh.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
19 mapdh.s . . . . 5 = (-g𝑈)
20 mapdhc.o . . . . 5 0 = (0g𝑈)
21 mapdh.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
22 mapdh.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
23 mapdh.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
24 mapdh.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
25 mapdh.j . . . . 5 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
26 mapdh.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2726adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑌0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 mapdh.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2928adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑌0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30 mapdh.mn . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
3130adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑌0 ) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
3215, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 7, 13, 9, 29, 31mapdpg 37776 . . . 4 ((𝜑𝑌0 ) → ∃!𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅)})))
33 riotacl 6885 . . . 4 (∃!𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅)})) → (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅)}))) ∈ 𝐷)
3432, 33syl 17 . . 3 ((𝜑𝑌0 ) → (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅)}))) ∈ 𝐷)
3514, 34eqeltrd 2906 . 2 ((𝜑𝑌0 ) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
364, 5, 20, 6, 8mapdhval0 37795 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
3715, 22, 23, 4, 26lcd0vcl 37684 . . 3 (𝜑𝑄𝐷)
3836, 37eqeltrd 2906 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) ∈ 𝐷)
393, 35, 38pm2.61ne 3084 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  ∃!wreu 3119  Vcvv 3414  cdif 3795  ifcif 4308  {csn 4399  cotp 4407  cmpt 4954  cfv 6127  crio 6870  (class class class)co 6910  1st c1st 7431  2nd c2nd 7432  Basecbs 16229  0gc0g 16460  -gcsg 17785  LSpanclspn 19337  HLchlt 35420  LHypclh 36054  DVecHcdvh 37148  LCDualclcd 37656  mapdcmpd 37694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-riotaBAD 35023
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-ot 4408  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-undef 7669  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-0g 16462  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-cntz 18107  df-oppg 18133  df-lsm 18409  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-drng 19112  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lvec 19469  df-lsatoms 35046  df-lshyp 35047  df-lcv 35089  df-lfl 35128  df-lkr 35156  df-ldual 35194  df-oposet 35246  df-ol 35248  df-oml 35249  df-covers 35336  df-ats 35337  df-atl 35368  df-cvlat 35392  df-hlat 35421  df-llines 35568  df-lplanes 35569  df-lvols 35570  df-lines 35571  df-psubsp 35573  df-pmap 35574  df-padd 35866  df-lhyp 36058  df-laut 36059  df-ldil 36174  df-ltrn 36175  df-trl 36229  df-tgrp 36813  df-tendo 36825  df-edring 36827  df-dveca 37073  df-disoa 37099  df-dvech 37149  df-dib 37209  df-dic 37243  df-dih 37299  df-doch 37418  df-djh 37465  df-lcdual 37657  df-mapd 37695
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  37801  mapdheq4  37802  mapdh6lem1N  37803  mapdh6lem2N  37804  mapdh6aN  37805  mapdh6bN  37807  mapdh6cN  37808  mapdh6dN  37809  mapdh6hN  37813  mapdh7eN  37818  mapdh7cN  37819  mapdh7fN  37821  mapdh75e  37822  mapdh75fN  37825  mapdh8aa  37846  mapdh8d0N  37852  mapdh8d  37853  mapdh9a  37859  mapdh9aOLDN  37860  hdmap1cl  37874  hdmap1eulem  37892  hdmap1eulemOLDN  37893
  Copyright terms: Public domain W3C validator