Theorem mapdpglem24 42080

Description: Lemma for mapdpg 42082. Existence part - consolidate hypotheses in mapdpglem23 42070. (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem24	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))

Distinct variable groups:   𝐶,ℎ   ℎ,𝐹   ℎ,𝐺   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   − ,ℎ   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑉(ℎ)   𝑊(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem mapdpglem24

Dummy variables 𝑔 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		mapdpg.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
6		mapdpg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdpg.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdpg.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapdpg.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		mapdpg.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12	11	eldifad 3915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
14		mapdpg.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14	mapdpglem2 42049	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
16	8	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	10	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	12	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
19		mapdpg.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
20		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐶) = ( ·𝑠 ‘𝐶)
24		mapdpg.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
25		mapdpg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
26	25	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
27		mapdpg.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
28	27	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16, 17, 18, 13, 14, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 28	mapdpglem3 42051	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧))
30	16	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
31	17	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
32	18	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
33		simp12 1206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
34	26	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
35	28	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
36		mapdpg.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
37		mapdpg.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
38	37	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
39	38	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
40		simp13 1207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
41		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
42		simp2l 1201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
43		simp2r 1202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
44		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧))
45		eldifsni 4748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
46	9, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
47	46	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑋 ≠ 0 )
48	47	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑋 ≠ 0 )
49		eldifsni 4748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
50	11, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
51	50	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑌 ≠ 0 )
52	51	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑌 ≠ 0 )
53		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((invr‘(Scalar‘𝑈))‘𝑔)( ·𝑠 ‘𝐶)𝑧) = (((invr‘(Scalar‘𝑈))‘𝑔)( ·𝑠 ‘𝐶)𝑧)
54	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 30, 31, 32, 13, 14, 19, 33, 21, 22, 23, 24, 34, 35, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 48, 52, 53	mapdpglem23 42070	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))
55	54	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → ((𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) → (𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))))
56	55	rexlimdvv 3194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
57	29, 56	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))
58	57	rexlimdv3a 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
59	15, 58	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3900  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  0_gc0g 17371  -_gcsg 18877  LSSumclsm 19575  inv_rcinvr 20335  LSpanclspn 20934  HLchlt 39726  LHypclh 40360  DVecHcdvh 41454  LCDualclcd 41962  mapdcmpd 42000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39329

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-undef 8225  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-oppg 19287  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-nzr 20458  df-rlreg 20639  df-domn 20640  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lvec 21067  df-lsatoms 39352  df-lshyp 39353  df-lcv 39395  df-lfl 39434  df-lkr 39462  df-ldual 39500  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727  df-llines 39874  df-lplanes 39875  df-lvols 39876  df-lines 39877  df-psubsp 39879  df-pmap 39880  df-padd 40172  df-lhyp 40364  df-laut 40365  df-ldil 40480  df-ltrn 40481  df-trl 40535  df-tgrp 41119  df-tendo 41131  df-edring 41133  df-dveca 41379  df-disoa 41405  df-dvech 41455  df-dib 41515  df-dic 41549  df-dih 41605  df-doch 41724  df-djh 41771  df-lcdual 41963  df-mapd 42001

This theorem is referenced by:  mapdpg  42082