Theorem mapdpglem24 40878

Description: Lemma for mapdpg 40880. Existence part - consolidate hypotheses in mapdpglem23 40868. (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem24	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))

Distinct variable groups:   𝐶,ℎ   ℎ,𝐹   ℎ,𝐺   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   − ,ℎ   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑉(ℎ)   𝑊(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem mapdpglem24

Dummy variables 𝑔 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		mapdpg.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
6		mapdpg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdpg.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdpg.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapdpg.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3959	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		mapdpg.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12	11	eldifad 3959	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
14		mapdpg.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14	mapdpglem2 40847	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
16	8	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	10	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	12	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
19		mapdpg.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
20		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
21		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
22		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
23		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐶) = ( ·𝑠 ‘𝐶)
24		mapdpg.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
25		mapdpg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
26	25	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
27		mapdpg.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
28	27	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16, 17, 18, 13, 14, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 28	mapdpglem3 40849	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧))
30	16	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
31	17	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
32	18	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
33		simp12 1202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
34	26	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
35	28	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
36		mapdpg.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
37		mapdpg.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
38	37	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
39	38	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
40		simp13 1203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
41		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
42		simp2l 1197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
43		simp2r 1198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
44		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧))
45		eldifsni 4792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
46	9, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
47	46	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑋 ≠ 0 )
48	47	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑋 ≠ 0 )
49		eldifsni 4792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
50	11, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
51	50	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑌 ≠ 0 )
52	51	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑌 ≠ 0 )
53		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (((invr‘(Scalar‘𝑈))‘𝑔)( ·𝑠 ‘𝐶)𝑧) = (((invr‘(Scalar‘𝑈))‘𝑔)( ·𝑠 ‘𝐶)𝑧)
54	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 30, 31, 32, 13, 14, 19, 33, 21, 22, 23, 24, 34, 35, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 48, 52, 53	mapdpglem23 40868	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))
55	54	3exp 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → ((𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) → (𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))))
56	55	rexlimdvv 3208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
57	29, 56	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))
58	57	rexlimdv3a 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
59	15, 58	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3944  {csn 4627  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·_𝑠 cvsca 17205  0_gc0g 17389  -_gcsg 18857  LSSumclsm 19543  inv_rcinvr 20278  LSpanclspn 20726  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  LCDualclcd 40760  mapdcmpd 40798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-lshyp 38150  df-lcv 38192  df-lfl 38231  df-lkr 38259  df-ldual 38297  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tgrp 39917  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dveca 40177  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522  df-djh 40569  df-lcdual 40761  df-mapd 40799

This theorem is referenced by:  mapdpg  40880