Theorem mapdpglem24 41743

Description: Lemma for mapdpg 41745. Existence part - consolidate hypotheses in mapdpglem23 41733. (Contributed by NM, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem24	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))

Distinct variable groups:   𝐶,ℎ   ℎ,𝐹   ℎ,𝐺   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   − ,ℎ   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑉(ℎ)   𝑊(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem mapdpglem24

Dummy variables 𝑔 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		mapdpg.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
6		mapdpg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdpg.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdpg.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapdpg.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3909	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		mapdpg.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12	11	eldifad 3909	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		eqid 2731	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
14		mapdpg.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14	mapdpglem2 41712	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
16	8	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	10	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	12	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
19		mapdpg.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
20		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
21		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
22		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
23		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐶) = ( ·𝑠 ‘𝐶)
24		mapdpg.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
25		mapdpg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
26	25	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
27		mapdpg.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16, 17, 18, 13, 14, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 28	mapdpglem3 41714	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧))
30	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
31	17	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
32	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
33		simp12 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
34	26	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
35	28	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
36		mapdpg.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
37		mapdpg.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
38	37	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
39	38	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
40		simp13 1206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
41		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
42		simp2l 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
43		simp2r 1201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
44		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧))
45		eldifsni 4737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
46	9, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
47	46	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑋 ≠ 0 )
48	47	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑋 ≠ 0 )
49		eldifsni 4737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌 ≠ 0 )
50	11, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
51	50	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → 𝑌 ≠ 0 )
52	51	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → 𝑌 ≠ 0 )
53		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (((invr‘(Scalar‘𝑈))‘𝑔)( ·𝑠 ‘𝐶)𝑧) = (((invr‘(Scalar‘𝑈))‘𝑔)( ·𝑠 ‘𝐶)𝑧)
54	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 30, 31, 32, 13, 14, 19, 33, 21, 22, 23, 24, 34, 35, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 48, 52, 53	mapdpglem23 41733	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) ∧ (𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ 𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧)) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))
55	54	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → ((𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) → (𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))))
56	55	rexlimdvv 3188	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (∃𝑔 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))𝑡 = ((𝑔( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)𝑅𝑧) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
57	29, 56	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))
58	57	rexlimdv3a 3137	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
59	15, 58	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3894  {csn 4571  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  Scalarcsca 17159   ·_𝑠 cvsca 17160  0_gc0g 17338  -_gcsg 18843  LSSumclsm 19541  inv_rcinvr 20300  LSpanclspn 20899  HLchlt 39389  LHypclh 40023  DVecHcdvh 41117  LCDualclcd 41625  mapdcmpd 41663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-riotaBAD 38992

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-undef 8198  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-0g 17340  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-proset 18195  df-poset 18214  df-plt 18229  df-lub 18245  df-glb 18246  df-join 18247  df-meet 18248  df-p0 18324  df-p1 18325  df-lat 18333  df-clat 18400  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cntz 19224  df-oppg 19253  df-lsm 19543  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-dvr 20314  df-nzr 20423  df-rlreg 20604  df-domn 20605  df-drng 20641  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900  df-lvec 21032  df-lsatoms 39015  df-lshyp 39016  df-lcv 39058  df-lfl 39097  df-lkr 39125  df-ldual 39163  df-oposet 39215  df-ol 39217  df-oml 39218  df-covers 39305  df-ats 39306  df-atl 39337  df-cvlat 39361  df-hlat 39390  df-llines 39537  df-lplanes 39538  df-lvols 39539  df-lines 39540  df-psubsp 39542  df-pmap 39543  df-padd 39835  df-lhyp 40027  df-laut 40028  df-ldil 40143  df-ltrn 40144  df-trl 40198  df-tgrp 40782  df-tendo 40794  df-edring 40796  df-dveca 41042  df-disoa 41068  df-dvech 41118  df-dib 41178  df-dic 41212  df-dih 41268  df-doch 41387  df-djh 41434  df-lcdual 41626  df-mapd 41664

This theorem is referenced by:  mapdpg  41745