Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem32 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdpglem32 38397
Description: Lemma for mapdpg 38398. Uniqueness part - consolidate hypotheses in mapdpglem31 38395. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem32 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ℎ = 𝑖)
Distinct variable groups:   𝐶,ℎ   ℎ,𝐹   ℎ,𝐺   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   − ,ℎ   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋   ℎ,𝑌   ℎ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐶(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑈(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(ℎ,𝑖)   𝐽(𝑖)   𝐾(ℎ,𝑖)   𝑀(𝑖)   − (𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(ℎ,𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖)   0 (ℎ,𝑖)
Proof of Theorem mapdpglem32
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpg.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpg.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpg.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpg.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 mapdpg.s . . . 4 − = (-g‘𝑈)
6 mapdpg.z . . . 4 0 = (0g‘𝑈)
7 mapdpg.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 mapdpg.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdpg.f . . . 4 𝐹 = (Base‘𝐶)
10 mapdpg.r . . . 4 𝑅 = (-g‘𝐶)
11 mapdpg.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdpg.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13123ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14 mapdpg.x . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15143ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
16 mapdpg.y . . . . 5 (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17163ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 mapdpg.g . . . . 5 (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
19183ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
20 mapdpg.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
21203ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
22 mapdpg.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
23223ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
24 simp2l 1192 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ℎ ∈ 𝐹)
25 simp3l 1194 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))
2624, 25jca 512 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
27 simp2r 1193 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → 𝑖 ∈ 𝐹)
28 simp3r 1195 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
2927, 28jca 512 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
30 eqid 2795 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
31 eqid 2795 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
32 eqid 2795 . . . 4 ( ·𝑠 ‘𝐶) = ( ·𝑠 ‘𝐶)
33 eqid 2795 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 26, 29, 30, 31, 32, 33mapdpglem26 38390 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 26, 29, 30, 31, 32, 33mapdpglem27 38391 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})(𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))
36 reeanv 3328 . . 3 (∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})(ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖))) ↔ (∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ ∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})(𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖))))
3734, 35, 36sylanbrc 583 . 2 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})(ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖))))
38133ad2ant1 1126 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
39153ad2ant1 1126 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
40173ad2ant1 1126 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41193ad2ant1 1126 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
42213ad2ant1 1126 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
43233ad2ant1 1126 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
44 simp12l 1279 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → ℎ ∈ 𝐹)
45 simp13l 1281 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))
4644, 45jca 512 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
47 simp12r 1280 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → 𝑖 ∈ 𝐹)
48 simp13r 1282 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
4947, 48jca 512 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
50 eldifi 4028 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) → 𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5150adantl 482 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) → 𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
52513ad2ant2 1127 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → 𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
53 simp3l 1194 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖))
54 simp3r 1195 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))
55 eldifi 4028 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) → 𝑢 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5655adantr 481 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) → 𝑢 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
57563ad2ant2 1127 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → 𝑢 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 30, 31, 32, 33, 52, 53, 54, 57mapdpglem31 38395 . . . 4 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → ℎ = 𝑖)
59583exp 1112 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ((𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) → ((ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖))) → ℎ = 𝑖)))
6059rexlimdvv 3256 . 2 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → (∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})(ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖))) → ℎ = 𝑖))
6137, 60mpd 15 1 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ℎ = 𝑖)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∃wrex 3106   ∖ cdif 3860  {csn 4476  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  Basecbs 16317  Scalarcsca 16402   ·𝑠 cvsca 16403  0gc0g 16547  -gcsg 17868  LSpanclspn 19438  HLchlt 36042  LHypclh 36676  DVecHcdvh 37770  LCDualclcd 38278  mapdcmpd 38316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-riotaBAD 35645
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-tpos 7748  df-undef 7795  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-0g 16549  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-proset 17372  df-poset 17390  df-plt 17402  df-lub 17418  df-glb 17419  df-join 17420  df-meet 17421  df-p0 17483  df-p1 17484  df-lat 17490  df-clat 17552  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-sbg 17871  df-subg 18035  df-cntz 18193  df-oppg 18220  df-lsm 18496  df-cmn 18640  df-abl 18641  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-ring 18994  df-oppr 19068  df-dvdsr 19086  df-unit 19087  df-invr 19117  df-dvr 19128  df-drng 19199  df-lmod 19331  df-lss 19399  df-lsp 19439  df-lvec 19570  df-lsatoms 35668  df-lshyp 35669  df-lcv 35711  df-lfl 35750  df-lkr 35778  df-ldual 35816  df-oposet 35868  df-ol 35870  df-oml 35871  df-covers 35958  df-ats 35959  df-atl 35990  df-cvlat 36014  df-hlat 36043  df-llines 36190  df-lplanes 36191  df-lvols 36192  df-lines 36193  df-psubsp 36195  df-pmap 36196  df-padd 36488  df-lhyp 36680  df-laut 36681  df-ldil 36796  df-ltrn 36797  df-trl 36851  df-tgrp 37435  df-tendo 37447  df-edring 37449  df-dveca 37695  df-disoa 37721  df-dvech 37771  df-dib 37831  df-dic 37865  df-dih 37921  df-doch 38040  df-djh 38087  df-lcdual 38279  df-mapd 38317
This theorem is referenced by:  mapdpg  38398
  Copyright terms: Public domain W3C validator