Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem32 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mapdpglem32 41827
Description: Lemma for mapdpg 41828. Uniqueness part - consolidate hypotheses in mapdpglem31 41825. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem32 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ℎ = 𝑖)
Distinct variable groups:   𝐶,ℎ   ℎ,𝐹   ℎ,𝐺   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   − ,ℎ   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋   ℎ,𝑌   ℎ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐶(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑈(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(ℎ,𝑖)   𝐽(𝑖)   𝐾(ℎ,𝑖)   𝑀(𝑖)   − (𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(ℎ,𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖)   0 (ℎ,𝑖)
Proof of Theorem mapdpglem32
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpg.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpg.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpg.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpg.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 mapdpg.s . . . 4 − = (-g‘𝑈)
6 mapdpg.z . . . 4 0 = (0g‘𝑈)
7 mapdpg.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 mapdpg.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdpg.f . . . 4 𝐹 = (Base‘𝐶)
10 mapdpg.r . . . 4 𝑅 = (-g‘𝐶)
11 mapdpg.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdpg.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13123ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14 mapdpg.x . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15143ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
16 mapdpg.y . . . . 5 (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17163ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 mapdpg.g . . . . 5 (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
19183ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
20 mapdpg.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
21203ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
22 mapdpg.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
23223ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
24 simp2l 1200 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ℎ ∈ 𝐹)
25 simp3l 1202 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))
2624, 25jca 511 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
27 simp2r 1201 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → 𝑖 ∈ 𝐹)
28 simp3r 1203 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
2927, 28jca 511 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
30 eqid 2733 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
31 eqid 2733 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
32 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 ‘𝐶) = ( ·𝑠 ‘𝐶)
33 eqid 2733 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 26, 29, 30, 31, 32, 33mapdpglem26 41820 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 26, 29, 30, 31, 32, 33mapdpglem27 41821 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})(𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))
36 reeanv 3205 . . 3 (∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})(ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖))) ↔ (∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ ∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})(𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖))))
3734, 35, 36sylanbrc 583 . 2 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})(ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖))))
38133ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
39153ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
40173ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41193ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
42213ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
43233ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
44 simp12l 1287 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → ℎ ∈ 𝐹)
45 simp13l 1289 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))
4644, 45jca 511 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
47 simp12r 1288 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → 𝑖 ∈ 𝐹)
48 simp13r 1290 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
4947, 48jca 511 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
50 eldifi 4080 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) → 𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5150adantl 481 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) → 𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
52513ad2ant2 1134 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → 𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
53 simp3l 1202 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖))
54 simp3r 1203 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))
55 eldifi 4080 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) → 𝑢 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5655adantr 480 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) → 𝑢 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
57563ad2ant2 1134 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → 𝑢 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 46, 49, 30, 31, 32, 33, 52, 53, 54, 57mapdpglem31 41825 . . . 4 (((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) ∧ (𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) ∧ (ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖)))) → ℎ = 𝑖)
59583exp 1119 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ((𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))}) ∧ 𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})) → ((ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖))) → ℎ = 𝑖)))
6059rexlimdvv 3189 . 2 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → (∃𝑢 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})∃𝑣 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑈)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑈))})(ℎ = (𝑢( ·𝑠 ‘𝐶)𝑖) ∧ (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣( ·𝑠 ‘𝐶)(𝐺𝑅𝑖))) → ℎ = 𝑖))
6137, 60mpd 15 1 ((𝜑 ∧ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) ∧ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))) → ℎ = 𝑖)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   ∖ cdif 3895  {csn 4577  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  Scalarcsca 17168   ·𝑠 cvsca 17169  0gc0g 17347  -gcsg 18852  LSpanclspn 20908  HLchlt 39472  LHypclh 40106  DVecHcdvh 41200  LCDualclcd 41708  mapdcmpd 41746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-riotaBAD 39075
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-tpos 8164  df-undef 8211  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-0g 17349  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-proset 18204  df-poset 18223  df-plt 18238  df-lub 18254  df-glb 18255  df-join 18256  df-meet 18257  df-p0 18333  df-p1 18334  df-lat 18342  df-clat 18409  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19040  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310  df-dvr 20323  df-nzr 20432  df-rlreg 20613  df-domn 20614  df-drng 20650  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-lsp 20909  df-lvec 21041  df-lsatoms 39098  df-lshyp 39099  df-lcv 39141  df-lfl 39180  df-lkr 39208  df-ldual 39246  df-oposet 39298  df-ol 39300  df-oml 39301  df-covers 39388  df-ats 39389  df-atl 39420  df-cvlat 39444  df-hlat 39473  df-llines 39620  df-lplanes 39621  df-lvols 39622  df-lines 39623  df-psubsp 39625  df-pmap 39626  df-padd 39918  df-lhyp 40110  df-laut 40111  df-ldil 40226  df-ltrn 40227  df-trl 40281  df-tgrp 40865  df-tendo 40877  df-edring 40879  df-dveca 41125  df-disoa 41151  df-dvech 41201  df-dib 41261  df-dic 41295  df-dih 41351  df-doch 41470  df-djh 41517  df-lcdual 41709  df-mapd 41747
This theorem is referenced by:  mapdpg  41828
  Copyright terms: Public domain W3C validator