Theorem stowei 46778

Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐶 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐶 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if 𝑟 and 𝑡 are distinct points in 𝑇, then there exists a function ℎ in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual ε value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [𝑎, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [𝑎, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. The deduction version of this theorem is stoweid 46777: often times it will be better to use stoweid 46777 in other proofs (but this version is probably easier to be read and understood). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stowei.1	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stowei.2	⊢ 𝐽 ∈ Comp
stowei.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stowei.4	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stowei.5	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐶
stowei.6	⊢ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stowei.7	⊢ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stowei.8	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stowei.9	⊢ ((𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
stowei.10	⊢ 𝐹 ∈ 𝐶
stowei.11	⊢ 𝐸 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
stowei	⊢ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,ℎ,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔,𝑡   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   ℎ,𝐸,𝑟,𝑥   ℎ,𝐹,𝑟,𝑥   𝑇,ℎ,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)   𝐽(𝑥,𝑔,ℎ)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)

Proof of Theorem stowei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2925	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
2		nftru 1834	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡⊤
3		stowei.1	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4		stowei.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Comp
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ Comp)
6		stowei.3	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7		stowei.4	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
8		stowei.5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐶
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐴 ⊆ 𝐶)
10		stowei.6	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
11	10	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
12		stowei.7	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
13	12	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
14		stowei.8	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
15	14	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
16		stowei.9	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
17	16	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
18		stowei.10	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ 𝐶
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ 𝐶)
20		stowei.11	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ ℝ+
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐸 ∈ ℝ+)
22	1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21	stoweid 46777	. 2 ⊢ (⊤ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)
23	22	mptru 1577	1 ⊢ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094   + caddc 11098   · cmul 11100   < clt 11238   − cmin 11436  ℝ⁺crp 13011  (,)cioo 13367  abscabs 15281  topGenctg 17485   Cn ccn 23381  Compccmp 23543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-cmp 23544  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479

This theorem is referenced by: (None)