Theorem stowei 46020

Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐶 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐶 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if 𝑟 and 𝑡 are distinct points in 𝑇, then there exists a function ℎ in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual ε value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [𝑎, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [𝑎, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. The deduction version of this theorem is stoweid 46019: often times it will be better to use stoweid 46019 in other proofs (but this version is probably easier to be read and understood). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stowei.1	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stowei.2	⊢ 𝐽 ∈ Comp
stowei.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stowei.4	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stowei.5	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐶
stowei.6	⊢ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stowei.7	⊢ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stowei.8	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stowei.9	⊢ ((𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
stowei.10	⊢ 𝐹 ∈ 𝐶
stowei.11	⊢ 𝐸 ∈ ℝ+

Assertion

Ref	Expression
stowei	⊢ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,ℎ,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔,𝑡   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   ℎ,𝐸,𝑟,𝑥   ℎ,𝐹,𝑟,𝑥   𝑇,ℎ,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)   𝐽(𝑥,𝑔,ℎ)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟)

Proof of Theorem stowei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2903	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
2		nftru 1801	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡⊤
3		stowei.1	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4		stowei.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Comp
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ Comp)
6		stowei.3	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7		stowei.4	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
8		stowei.5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐶
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐴 ⊆ 𝐶)
10		stowei.6	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
11	10	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
12		stowei.7	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
13	12	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
14		stowei.8	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
16		stowei.9	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃ℎ ∈ 𝐴 (ℎ‘𝑟) ≠ (ℎ‘𝑡))
18		stowei.10	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ 𝐶
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ 𝐶)
20		stowei.11	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ ℝ+
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐸 ∈ ℝ+)
22	1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21	stoweid 46019	. 2 ⊢ (⊤ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸)
23	22	mptru 1544	1 ⊢ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑓‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < 𝐸

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   − cmin 11490  ℝ⁺crp 13032  (,)cioo 13384  abscabs 15270  topGenctg 17484   Cn ccn 23248  Compccmp 23410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348

This theorem is referenced by: (None)