Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stowei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stowei 40791
Description: This theorem proves the Stone-Weierstrass theorem for real-valued functions: let 𝐽 be a compact topology on 𝑇, and 𝐶 be the set of real continuous functions on 𝑇. Assume that 𝐴 is a subalgebra of 𝐶 (closed under addition and multiplication of functions) containing constant functions and discriminating points (if 𝑟 and 𝑡 are distinct points in 𝑇, then there exists a function in 𝐴 such that h(r) is distinct from h(t) ). Then, for any continuous function 𝐹 and for any positive real 𝐸, there exists a function 𝑓 in the subalgebra 𝐴, such that 𝑓 approximates 𝐹 up to 𝐸 (𝐸 represents the usual ε value). As a classical example, given any a, b reals, the closed interval 𝑇 = [𝑎, 𝑏] could be taken, along with the subalgebra 𝐴 of real polynomials on 𝑇, and then use this theorem to easily prove that real polynomials are dense in the standard metric space of continuous functions on [𝑎, 𝑏]. The proof and lemmas are written following [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). Some effort is put in avoiding the use of the axiom of choice. The deduction version of this theorem is stoweid 40790: often times it will be better to use stoweid 40790 in other proofs (but this version is probably easier to be read and understood). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stowei.1 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stowei.2 𝐽 ∈ Comp
stowei.3 𝑇 = 𝐽
stowei.4 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stowei.5 𝐴𝐶
stowei.6 ((𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stowei.7 ((𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stowei.8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stowei.9 ((𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
stowei.10 𝐹𝐶
stowei.11 𝐸 ∈ ℝ+
Assertion
Ref Expression
stowei 𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑓,,𝑟,𝑥,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑡   𝑓,𝐹,𝑔,𝑡   𝑓,𝐽,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑡   ,𝐸,𝑟,𝑥   ,𝐹,𝑟,𝑥   𝑇,,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟)   𝐽(𝑥,𝑔,)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,,𝑟)

Proof of Theorem stowei
StepHypRef Expression
1 nfcv 2913 . . 3 𝑡𝐹
2 nftru 1878 . . 3 𝑡
3 stowei.1 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4 stowei.2 . . . 4 𝐽 ∈ Comp
54a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐽 ∈ Comp)
6 stowei.3 . . 3 𝑇 = 𝐽
7 stowei.4 . . 3 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
8 stowei.5 . . . 4 𝐴𝐶
98a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐴𝐶)
10 stowei.6 . . . 4 ((𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
11103adant1 1124 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
12 stowei.7 . . . 4 ((𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
13123adant1 1124 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
14 stowei.8 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
1514adantl 467 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
16 stowei.9 . . . 4 ((𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
1716adantl 467 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝐴 (𝑟) ≠ (𝑡))
18 stowei.10 . . . 4 𝐹𝐶
1918a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐹𝐶)
20 stowei.11 . . . 4 𝐸 ∈ ℝ+
2120a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐸 ∈ ℝ+)
221, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21stoweid 40790 . 2 (⊤ → ∃𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸)
2322trud 1641 1 𝑓𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑓𝑡) − (𝐹𝑡))) < 𝐸
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  wss 3723   cuni 4574   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ran crn 5250  cfv 6029  (class class class)co 6791  cr 10135   + caddc 10139   · cmul 10141   < clt 10274  cmin 10466  +crp 12028  (,)cioo 12373  abscabs 14175  topGenctg 16299   Cn ccn 21242  Compccmp 21403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ioc 12378  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-sum 14618  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-cmp 21404  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator