MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumif 27449
Description: An asymptotic approximation for the sum of 𝑋(𝑛)Ξ›(𝑛) / 𝑛 conditional on the value of the infinite sum 𝑆. (We will later show that the case 𝑆 = 0 is impossible, and hence establish dchrvmasum 27471.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasumif.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
dchrvmasumif.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.s (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrvmasumif.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumif (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦, 1   𝐢,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐹,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘Ž,𝑦   𝑛,𝑁,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,𝑍,π‘₯,𝑦   𝐷,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑛,π‘Ž,𝐿,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   𝑆(π‘Ž)   1 (π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑛,π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)   𝑍(π‘Ž)

Proof of Theorem dchrvmasumif
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
3 rpvmasum.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 rpvmasum.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 rpvmasum.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
6 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0gβ€˜πΊ)
7 dchrisum.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
8 dchrisum.n1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
9 eqid 2725 . . 3 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dchrvmasumlema 27446 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))))
113adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
127adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
138adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))))) β†’ 𝑋 β‰  1 )
14 dchrvmasumif.f . . . . 5 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
15 dchrvmasumif.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
1615adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))))) β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
17 dchrvmasumif.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
1817adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))))) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
19 dchrvmasumif.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
2019adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
21 simprl 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))))) β†’ 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
22 simprrl 779 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))))) β†’ seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑)
23 simprrr 780 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)))
241, 2, 11, 4, 5, 6, 12, 13, 14, 16, 18, 20, 9, 21, 22, 23dchrvmasumiflem2 27448 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1))
2524rexlimdvaa 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1)))
2625exlimdv 1928 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· ((logβ€˜π‘Ž) / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1)))
2710, 26mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑆 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  ifcif 4525   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   Β· cmul 11138  +∞cpnf 11270   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  β„•cn 12237  3c3 12293  β„+crp 13001  [,)cico 13353  ...cfz 13511  βŒŠcfl 13782  seqcseq 13993  abscabs 15208   ⇝ cli 15455  π‘‚(1)co1 15457  Ξ£csu 15659  Basecbs 17174  0gc0g 17415  β„€RHomczrh 21424  β„€/nβ„€czn 21427  logclog 26501  Ξ›cvma 27037  DChrcdchr 27178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-o1 15461  df-lo1 15462  df-sum 15660  df-ef 16038  df-e 16039  df-sin 16040  df-cos 16041  df-tan 16042  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-prm 16637  df-phi 16729  df-pc 16800  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-qus 17485  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-nsg 19078  df-eqg 19079  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-od 19482  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-rsp 21104  df-2idl 21143  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-zn 21431  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-ulm 26326  df-log 26503  df-cxp 26504  df-atan 26812  df-em 26938  df-vma 27043  df-mu 27046  df-dchr 27179
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  27458  dchrvmasumlem  27469
  Copyright terms: Public domain W3C validator