MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisumn0 27472
Description: The sum Σ𝑛 ∈ β„•, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption 𝑋 ∈ π‘Š is contradictory). This is the key result that allows to eliminate the conditionals from dchrmusum2 27445 and dchrvmasumif 27454. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dchrmusum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrmusum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchrmusum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrmusum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrmusum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrmusum.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
dchrmusum.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrmusum.t (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrmusum.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrisumn0 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  0)
Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦,𝐢   𝑦,𝐹   𝑦,π‘Ž   𝑦,𝑁   𝑦,𝑇   𝑦,𝑍   𝑦,𝐷   𝐿,π‘Ž,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   𝑇(π‘Ž)   1 (π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(𝑦,π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)   𝑍(π‘Ž)

Proof of Theorem dchrisumn0
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . 4 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 rpvmasum.l . . . 4 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
3 rpvmasum.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
43adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5 dchrmusum.g . . . 4 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
6 dchrmusum.d . . . 4 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
7 dchrmusum.1 . . . 4 1 = (0gβ€˜πΊ)
8 eqid 2725 . . . 4 {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0} = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
9 dchrmusum.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
10 dchrmusum.n1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
11 dchrmusum.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
12 dchrmusum.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
13 dchrmusum.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
14 dchrmusum.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
151, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 8dchrvmaeq0 27455 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0} ↔ 𝑇 = 0))
1615biimpar 476 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 = 0) β†’ 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0})
171, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 16dchrisum0 27471 . . 3 Β¬ (πœ‘ ∧ 𝑇 = 0)
1817imnani 399 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑇 = 0)
1918neqned 2937 1 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  {crab 3419   βˆ– cdif 3936  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  +∞cpnf 11275   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  β„•cn 12242  [,)cico 13358  βŒŠcfl 13787  seqcseq 13998  abscabs 15213   ⇝ cli 15460  Ξ£csu 15664  Basecbs 17179  0gc0g 17420  β„€RHomczrh 21429  β„€/nβ„€czn 21432  DChrcdchr 27183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-rpss 7726  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-o1 15466  df-lo1 15467  df-sum 15665  df-ef 16043  df-e 16044  df-sin 16045  df-cos 16046  df-tan 16047  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-numer 16706  df-denom 16707  df-phi 16734  df-pc 16805  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-qus 17490  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-nsg 19083  df-eqg 19084  df-ghm 19172  df-gim 19217  df-ga 19245  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-od 19487  df-gex 19488  df-pgp 19489  df-lsm 19595  df-pj1 19596  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-cyg 19837  df-dprd 19956  df-dpj 19957  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109  df-2idl 21148  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-zn 21436  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-0p 25617  df-limc 25813  df-dv 25814  df-ply 26140  df-idp 26141  df-coe 26142  df-dgr 26143  df-quot 26244  df-ulm 26331  df-log 26508  df-cxp 26509  df-atan 26817  df-em 26943  df-cht 27047  df-vma 27048  df-chp 27049  df-ppi 27050  df-mu 27051  df-dchr 27184
This theorem is referenced by:  dchrmusumlem  27473  dchrvmasumlem  27474
  Copyright terms: Public domain W3C validator