Theorem dchrisumn0 27021

Description: The sum Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption 𝑋 ∈ 𝑊 is contradictory). This is the key result that allows to eliminate the conditionals from dchrmusum2 26994 and dchrvmasumif 27003. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrmusum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmusum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmusum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrmusum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrmusum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrmusum.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
dchrmusum.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrmusum.t	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrmusum.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dchrisumn0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑎   𝑦,𝑁   𝑦,𝑇   𝑦,𝑍   𝑦,𝐷   𝐿,𝑎,𝑦   𝑋,𝑎,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrisumn0

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		dchrmusum.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6		dchrmusum.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7		dchrmusum.1	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
8		eqid 2732	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0} = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
9		dchrmusum.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
10		dchrmusum.n1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
11		dchrmusum.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
12		dchrmusum.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
13		dchrmusum.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
14		dchrmusum.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
15	1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 8	dchrvmaeq0 27004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0} ↔ 𝑇 = 0))
16	15	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = 0) → 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0})
17	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 16	dchrisum0 27020	. . 3 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ 𝑇 = 0)
18	17	imnani 401	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 = 0)
19	18	neqned 2947	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3432   ∖ cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  +∞cpnf 11244   ≤ cle 11248   − cmin 11443   / cdiv 11870  ℕcn 12211  [,)cico 13325  ⌊cfl 13754  seqcseq 13965  abscabs 15180   ⇝ cli 15427  Σcsu 15631  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  ℤRHomczrh 21048  ℤ/nℤczn 21051  DChrcdchr 26732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-rpss 7712  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-o1 15433  df-lo1 15434  df-sum 15632  df-ef 16010  df-e 16011  df-sin 16012  df-cos 16013  df-tan 16014  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-numer 16670  df-denom 16671  df-phi 16698  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-qus 17454  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19089  df-gim 19132  df-ga 19153  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-od 19395  df-gex 19396  df-pgp 19397  df-lsm 19503  df-pj1 19504  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-cyg 19745  df-dprd 19864  df-dpj 19865  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-2idl 20856  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-zn 21055  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-0p 25186  df-limc 25382  df-dv 25383  df-ply 25701  df-idp 25702  df-coe 25703  df-dgr 25704  df-quot 25803  df-ulm 25888  df-log 26064  df-cxp 26065  df-atan 26369  df-em 26494  df-cht 26598  df-vma 26599  df-chp 26600  df-ppi 26601  df-mu 26602  df-dchr 26733

This theorem is referenced by:  dchrmusumlem  27022  dchrvmasumlem  27023