Theorem dchrisumn0 27498

Description: The sum Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption 𝑋 ∈ 𝑊 is contradictory). This is the key result that allows to eliminate the conditionals from dchrmusum2 27471 and dchrvmasumif 27480. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrmusum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmusum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmusum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrmusum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrmusum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrmusum.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
dchrmusum.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrmusum.t	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrmusum.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dchrisumn0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑎   𝑦,𝑁   𝑦,𝑇   𝑦,𝑍   𝑦,𝐷   𝐿,𝑎,𝑦   𝑋,𝑎,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrisumn0

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		dchrmusum.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6		dchrmusum.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7		dchrmusum.1	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0} = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
9		dchrmusum.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
10		dchrmusum.n1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
11		dchrmusum.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
12		dchrmusum.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
13		dchrmusum.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
14		dchrmusum.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
15	1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 8	dchrvmaeq0 27481	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0} ↔ 𝑇 = 0))
16	15	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = 0) → 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0})
17	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 16	dchrisum0 27497	. . 3 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ 𝑇 = 0)
18	17	imnani 400	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 = 0)
19	18	neqned 2940	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3390   ∖ cdif 3887  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  +∞cpnf 11167   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  [,)cico 13291  ⌊cfl 13740  seqcseq 13954  abscabs 15187   ⇝ cli 15437  Σcsu 15639  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  ℤRHomczrh 21489  ℤ/nℤczn 21492  DChrcdchr 27209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-rpss 7670  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-o1 15443  df-lo1 15444  df-sum 15640  df-ef 16023  df-e 16024  df-sin 16025  df-cos 16026  df-tan 16027  df-pi 16028  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-numer 16696  df-denom 16697  df-phi 16727  df-pc 16799  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-qus 17464  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-eqg 19092  df-ghm 19179  df-gim 19225  df-ga 19256  df-cntz 19283  df-oppg 19312  df-od 19494  df-gex 19495  df-pgp 19496  df-lsm 19602  df-pj1 19603  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-cyg 19844  df-dprd 19963  df-dpj 19964  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-rhm 20443  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-lidl 21198  df-rsp 21199  df-2idl 21240  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-zring 21437  df-zrh 21493  df-zn 21496  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-cmp 23362  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-0p 25647  df-limc 25843  df-dv 25844  df-ply 26163  df-idp 26164  df-coe 26165  df-dgr 26166  df-quot 26268  df-ulm 26355  df-log 26533  df-cxp 26534  df-atan 26844  df-em 26970  df-cht 27074  df-vma 27075  df-chp 27076  df-ppi 27077  df-mu 27078  df-dchr 27210

This theorem is referenced by:  dchrmusumlem  27499  dchrvmasumlem  27500