Theorem dchrisumn0 27562

Description: The sum Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption 𝑋 ∈ 𝑊 is contradictory). This is the key result that allows to eliminate the conditionals from dchrmusum2 27535 and dchrvmasumif 27544. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrmusum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmusum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmusum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrmusum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrmusum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrmusum.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
dchrmusum.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrmusum.t	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrmusum.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dchrisumn0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑎   𝑦,𝑁   𝑦,𝑇   𝑦,𝑍   𝑦,𝐷   𝐿,𝑎,𝑦   𝑋,𝑎,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrisumn0

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		dchrmusum.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6		dchrmusum.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7		dchrmusum.1	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0} = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
9		dchrmusum.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
10		dchrmusum.n1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
11		dchrmusum.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
12		dchrmusum.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
13		dchrmusum.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
14		dchrmusum.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
15	1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 8	dchrvmaeq0 27545	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0} ↔ 𝑇 = 0))
16	15	biimpar 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = 0) → 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0})
17	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 16	dchrisum0 27561	. . 3 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ 𝑇 = 0)
18	17	imnani 404	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 = 0)
19	18	neqned 2963	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  {crab 3413   ∖ cdif 3901  {csn 4581   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073  +∞cpnf 11210   ≤ cle 11214   − cmin 11411   / cdiv 11841  ℕcn 12207  [,)cico 13348  ⌊cfl 13797  seqcseq 14011  abscabs 15244   ⇝ cli 15494  Σcsu 15696  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  ℤRHomczrh 21531  ℤ/nℤczn 21534  DChrcdchr 27273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149  ax-mulf 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-rpss 7702  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-ec 8675  df-qs 8679  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-dju 9856  df-card 9894  df-acn 9897  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-o1 15500  df-lo1 15501  df-sum 15697  df-ef 16080  df-e 16081  df-sin 16082  df-cos 16083  df-tan 16084  df-pi 16085  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-prm 16689  df-numer 16753  df-denom 16754  df-phi 16784  df-pc 16856  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-qus 17522  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-nsg 19149  df-eqg 19150  df-ghm 19237  df-gim 19282  df-ga 19313  df-cntz 19340  df-oppg 19369  df-od 19551  df-gex 19552  df-pgp 19553  df-lsm 19659  df-pj1 19660  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-cyg 19901  df-dprd 20020  df-dpj 20021  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-rhm 20500  df-subrng 20575  df-subrg 20599  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-lidl 21258  df-rsp 21259  df-2idl 21300  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-zring 21479  df-zrh 21535  df-zn 21538  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-cmp 23427  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-0p 25712  df-limc 25908  df-dv 25909  df-ply 26228  df-idp 26229  df-coe 26230  df-dgr 26231  df-quot 26332  df-ulm 26417  df-log 26598  df-cxp 26599  df-atan 26909  df-em 27034  df-cht 27138  df-vma 27139  df-chp 27140  df-ppi 27141  df-mu 27142  df-dchr 27274

This theorem is referenced by:  dchrmusumlem  27563  dchrvmasumlem  27564