Theorem dchrisumn0 27855

Description: The sum Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption 𝑋 ∈ 𝑊 is contradictory). This is the key result that allows to eliminate the conditionals from dchrmusum2 27828 and dchrvmasumif 27837. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrmusum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmusum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmusum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrmusum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrmusum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrmusum.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
dchrmusum.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrmusum.t	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrmusum.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dchrisumn0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝑦, 1   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑎   𝑦,𝑁   𝑦,𝑇   𝑦,𝑍   𝑦,𝐷   𝐿,𝑎,𝑦   𝑋,𝑎,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦, 𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrisumn0

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
5		dchrmusum.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6		dchrmusum.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7		dchrmusum.1	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0} = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
9		dchrmusum.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
10		dchrmusum.n1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
11		dchrmusum.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
12		dchrmusum.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
13		dchrmusum.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
14		dchrmusum.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
15	1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 8	dchrvmaeq0 27838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0} ↔ 𝑇 = 0))
16	15	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = 0) → 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0})
17	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 16	dchrisum0 27854	. . 3 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ 𝑇 = 0)
18	17	imnani 406	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 = 0)
19	18	neqned 2962	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412   ∖ cdif 4044  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  0cc0 11205  1c1 11206   + caddc 11208  +∞cpnf 11345   ≤ cle 11349   − cmin 11546   / cdiv 11978  ℕcn 12340  [,)cico 13483  ⌊cfl 13935  seqcseq 14149  abscabs 15408   ⇝ cli 15658  Σcsu 15860  Basecbs 17394  0_gc0g 17617  ℤRHomczrh 21812  ℤ/nℤczn 21815  DChrcdchr 27566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284  ax-mulf 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-rpss 7741  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-tpos 8248  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8722  df-ec 8724  df-qs 8728  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-dju 9987  df-card 10025  df-acn 10028  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ioc 13486  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-mod 14015  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fac 14423  df-bc 14452  df-hash 14480  df-word 14664  df-concat 14721  df-s1 14748  df-shft 15227  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-limsup 15645  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-o1 15664  df-lo1 15665  df-sum 15861  df-ef 16240  df-e 16241  df-sin 16242  df-cos 16243  df-tan 16244  df-pi 16245  df-dvds 16430  df-gcd 16672  df-prm 16854  df-numer 16918  df-denom 16919  df-phi 16950  df-pc 17022  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-qus 17688  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-mhm 18985  df-submnd 18986  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-mulg 19285  df-subg 19340  df-nsg 19341  df-eqg 19342  df-ghm 19435  df-gim 19480  df-ga 19511  df-cntz 19538  df-oppg 19567  df-od 19749  df-gex 19750  df-pgp 19751  df-lsm 19857  df-pj1 19858  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-cyg 20099  df-dprd 20218  df-dpj 20219  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-cring 20469  df-oppr 20574  df-dvdsr 20594  df-unit 20595  df-invr 20625  df-dvr 20638  df-rhm 20709  df-subrng 20805  df-subrg 20829  df-drng 20989  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-lsp 21254  df-sra 21455  df-rgmod 21456  df-lidl 21493  df-rsp 21494  df-2idl 21550  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-fbas 21682  df-fg 21683  df-cnfld 21686  df-zring 21760  df-zrh 21816  df-zn 21819  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cld 23344  df-ntr 23345  df-cls 23346  df-nei 23423  df-lp 23461  df-perf 23462  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-haus 23640  df-cmp 23712  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-fil 24172  df-fm 24264  df-flim 24265  df-flf 24266  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cncf 25206  df-0p 25998  df-limc 26193  df-dv 26194  df-ply 26513  df-idp 26514  df-coe 26515  df-dgr 26516  df-quot 26619  df-ulm 26711  df-log 26891  df-cxp 26892  df-atan 27202  df-em 27327  df-cht 27431  df-vma 27432  df-chp 27433  df-ppi 27434  df-mu 27435  df-dchr 27567

This theorem is used by:  dchrmusumlem  27856  dchrvmasumlem  27857