Theorem cndprobtot 34456

Description: The conditional probability given a certain event is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cndprobtot	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → ((cprob‘𝑃)‘⟨∪ dom 𝑃, 𝐴⟩) = 1)

Proof of Theorem cndprobtot

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ Prob)
2	1	unveldomd 34435	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
4		cndprobval 34453	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((cprob‘𝑃)‘⟨∪ dom 𝑃, 𝐴⟩) = ((𝑃‘(∪ dom 𝑃 ∩ 𝐴)) / (𝑃‘𝐴)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((cprob‘𝑃)‘⟨∪ dom 𝑃, 𝐴⟩) = ((𝑃‘(∪ dom 𝑃 ∩ 𝐴)) / (𝑃‘𝐴)))
6	5	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → ((cprob‘𝑃)‘⟨∪ dom 𝑃, 𝐴⟩) = ((𝑃‘(∪ dom 𝑃 ∩ 𝐴)) / (𝑃‘𝐴)))
7		elssuni 4889	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑃 → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑃)
8	7	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑃)
9		sseqin2 4172	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑃 ↔ (∪ dom 𝑃 ∩ 𝐴) = 𝐴)
10	8, 9	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → (∪ dom 𝑃 ∩ 𝐴) = 𝐴)
11	10	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → (𝑃‘(∪ dom 𝑃 ∩ 𝐴)) = (𝑃‘𝐴))
12	11	oveq1d 7367	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → ((𝑃‘(∪ dom 𝑃 ∩ 𝐴)) / (𝑃‘𝐴)) = ((𝑃‘𝐴) / (𝑃‘𝐴)))
13		prob01 34433	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))
14	13	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))
15		elunitcn 13374	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘𝐴) ∈ ℂ)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → (𝑃‘𝐴) ∈ ℂ)
17		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → (𝑃‘𝐴) ≠ 0)
18	16, 17	dividd 11901	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → ((𝑃‘𝐴) / (𝑃‘𝐴)) = 1)
19	6, 12, 18	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → ((cprob‘𝑃)‘⟨∪ dom 𝑃, 𝐴⟩) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ⟨cop 4581  ∪ cuni 4858  dom cdm 5619  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  0cc0 11012  1c1 11013   / cdiv 11780  [,]cicc 13254  Probcprb 34427  cprobccprob 34451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-ac2 10360  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091  ax-mulf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5061  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9800  df-card 9838  df-acn 9841  df-ac 10013  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13255  df-ioc 13256  df-ico 13257  df-icc 13258  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-mod 13780  df-seq 13915  df-exp 13975  df-fac 14187  df-bc 14216  df-hash 14244  df-shft 14980  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-limsup 15384  df-clim 15401  df-rlim 15402  df-sum 15600  df-ef 15980  df-sin 15982  df-cos 15983  df-pi 15985  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-hom 17191  df-cco 17192  df-rest 17332  df-topn 17333  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-topgen 17353  df-pt 17354  df-prds 17357  df-ordt 17411  df-xrs 17412  df-qtop 17417  df-imas 17418  df-xps 17420  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-ps 18478  df-tsr 18479  df-plusf 18553  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-mhm 18697  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18987  df-subg 19042  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-abv 20730  df-lmod 20801  df-scaf 20802  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-lp 23057  df-perf 23058  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-haus 23236  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-tmd 23993  df-tgp 23994  df-tsms 24048  df-trg 24081  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-nm 24503  df-ngp 24504  df-nrg 24506  df-nlm 24507  df-ii 24803  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801  df-log 26498  df-esum 34048  df-siga 34129  df-meas 34216  df-prob 34428  df-cndprob 34452

This theorem is referenced by: (None)