Theorem esplyindfv 34319

Description: A recursive formula for the elementary symmetric polynomials, evaluated at a given set of points 𝑍. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyindfv.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
esplyindfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyindfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
esplyindfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
esplyindfv.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
esplyindfv.e	⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
esplyindfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
esplyindfv.c	⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyindfv.f	⊢ 𝐹 = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
esplyindfv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
esplyindfv.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
esplyindfv.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
esplyindfv.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
esplyindfv.z	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esplyindfv	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐶(ℎ)   + (ℎ)   𝑄(ℎ)   𝑅(ℎ)   · (ℎ)   𝐸(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑂(ℎ)   𝑍(ℎ)

Proof of Theorem esplyindfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyindfv.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mVar 𝑅) = (𝐼 mVar 𝑅)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌) = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)
8		esplyindfv.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		esplyindfv.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	9	crngringd 20524	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		esplyindfv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
12		esplyindfv.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
13		esplyindfv.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
14		esplyindfv.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
15	14	elfzelzd 13697	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16		hashcl 14541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
17	8, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12758	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
19	12	uneq1i 4166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∪ {𝑌}) = ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})
20	11	snssd 4749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐼)
21		undifr 4442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑌} ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
22	20, 21	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
23	19, 22	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∪ {𝑌}) = 𝐼)
24	23	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = (♯‘𝐼))
25		difssd 4076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑌}) ⊆ 𝐼)
26	12, 25	eqsstrid 3951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
27	8, 26	ssfid 9298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fin)
28		neldifsnd 4758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
29	12	eleq2i 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐽 ↔ 𝑌 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
30	28, 29	sylnibr 332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)
31		hashunsng 14577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝐽 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽) → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1)))
32	31	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ (𝐽 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)) → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1))
33	11, 27, 30, 32	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1))
34	24, 33	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) = ((♯‘𝐽) + 1))
35	34	oveq1d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) − 1) = (((♯‘𝐽) + 1) − 1))
36		hashcl 14541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
37	27, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 12709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
39		1cnd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	pncand 11709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐽) + 1) − 1) = (♯‘𝐽))
41	35, 40	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) = ((♯‘𝐼) − 1))
42	41	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐽)) = (0...((♯‘𝐼) − 1)))
43	14, 42	eleqtrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1)))
44		elfzp1b 13775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1)) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼))))
45	44	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1))) → (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼)))
46	15, 18, 43, 45	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼)))
47		esplyindfv.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
48	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 46, 47	esplyind 34318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) = ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))
49	1, 48	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))
50	49	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))))
51	50	fveq1d 6918	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍))
52		esplyindfv.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
53		esplyindfv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
54		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
55		esplyindfv.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
56	53	fvexi 6930	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
58		esplyindfv.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
59	57, 8, 58	elmapdd 8899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
60		esplyindfv.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
61	52, 2, 53, 54, 5, 60, 8, 9, 59, 3, 11	evlvarval 34284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌))‘𝑍) = (𝑍‘𝑌)))
62		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
63		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
64	15	zcnd 12844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
65	64, 39	pncand 11709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
66	65	fveq2d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)) = (𝐸‘𝐾))
67	13	fveq1i 6917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘𝐾) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾)
68		fz0ssnn0 13796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(♯‘𝐽)) ⊆ ℕ0
69	68, 14	sselid 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
70	47, 27, 10, 69, 63	esplympl 34310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
71	67, 70	eqeltrid 2868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
72	66, 71	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
73	6, 62, 8, 10, 53, 12, 63, 11, 72, 54	extvfvcl 34279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
74	66	fveq2d 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))
75	74	fveq2d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))) = (𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾))))
76	75	fveq1d 6918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))‘𝑍))
77		esplyindfv.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
78		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼extendVars𝑅) = (𝐼extendVars𝑅)
79	52, 77, 12, 63, 53, 78, 9, 8, 11, 71, 58	evlextv 34285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
80	76, 79	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
81	73, 80	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
82	52, 2, 53, 54, 5, 60, 8, 9, 59, 61, 81	evlmulval 22468	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))))
83	13	fveq1i 6917	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘(𝐾 + 1)) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
84		peano2nn0 12686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
85	69, 84	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
86	47, 27, 10, 85, 63	esplympl 34310	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
87	83, 86	eqeltrid 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐾 + 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
88	6, 62, 8, 10, 53, 12, 63, 11, 87, 54	extvfvcl 34279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
89	52, 77, 12, 63, 53, 78, 9, 8, 11, 87, 58	evlextv 34285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
90	88, 89	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
91	52, 2, 53, 54, 4, 55, 8, 9, 59, 82, 90	evladdval 22467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))))
92	91	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
93	51, 92	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↾ cres 5660  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011   finSupp cfsupp 9391  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   − cmin 11580  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ...cfz 13679  ♯chash 14515  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660  CRingccrg 20511   mVar cmvr 22268   mPoly cmpl 22269   eval cevl 22437  extendVarscextv 34272  eSymPolycesply 34299

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-ind 12361  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-srg 20464  df-ring 20512  df-cring 20513  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-cnfld 21730  df-zring 21807  df-zrh 21864  df-assa 22216  df-asp 22217  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mvr 22273  df-mpl 22274  df-evls 22438  df-evl 22439  df-extv 34273  df-esply 34301

This theorem is used by:  esplyfvn  34320  vietalem  34322