Theorem esplyindfv 33989

Description: A recursive formula for the elementary symmetric polynomials, evaluated at a given set of points 𝑍. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyindfv.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
esplyindfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyindfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
esplyindfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
esplyindfv.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
esplyindfv.e	⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
esplyindfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
esplyindfv.c	⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyindfv.f	⊢ 𝐹 = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
esplyindfv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
esplyindfv.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
esplyindfv.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
esplyindfv.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
esplyindfv.z	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esplyindfv	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐶(ℎ)   + (ℎ)   𝑄(ℎ)   𝑅(ℎ)   · (ℎ)   𝐸(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑂(ℎ)   𝑍(ℎ)

Proof of Theorem esplyindfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyindfv.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
2		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mVar 𝑅) = (𝐼 mVar 𝑅)
4		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))
6		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
7		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌) = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)
8		esplyindfv.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		esplyindfv.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	9	crngringd 20351	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		esplyindfv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
12		esplyindfv.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
13		esplyindfv.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
14		esplyindfv.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
15	14	elfzelzd 13564	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16		hashcl 14405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
17	8, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12627	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
19	12	uneq1i 4118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∪ {𝑌}) = ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})
20	11	snssd 4754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐼)
21		undifr 4446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑌} ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
22	20, 21	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
23	19, 22	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∪ {𝑌}) = 𝐼)
24	23	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = (♯‘𝐼))
25		difssd 4091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑌}) ⊆ 𝐼)
26	12, 25	eqsstrid 3976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
27	8, 26	ssfid 9232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fin)
28		neldifsnd 4763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
29	12	eleq2i 2857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐽 ↔ 𝑌 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
30	28, 29	sylnibr 332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)
31		hashunsng 14441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝐽 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽) → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1)))
32	31	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ (𝐽 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)) → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1))
33	11, 27, 30, 32	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1))
34	24, 33	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) = ((♯‘𝐽) + 1))
35	34	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) − 1) = (((♯‘𝐽) + 1) − 1))
36		hashcl 14405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
37	27, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 12578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
39		1cnd 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	pncand 11581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐽) + 1) − 1) = (♯‘𝐽))
41	35, 40	eqtr2d 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) = ((♯‘𝐼) − 1))
42	41	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐽)) = (0...((♯‘𝐼) − 1)))
43	14, 42	eleqtrd 2867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1)))
44		elfzp1b 13641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1)) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼))))
45	44	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1))) → (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼)))
46	15, 18, 43, 45	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼)))
47		esplyindfv.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
48	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 46, 47	esplyind 33988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) = ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))
49	1, 48	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))
50	49	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))))
51	50	fveq1d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍))
52		esplyindfv.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
53		esplyindfv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
54		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
55		esplyindfv.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
56	53	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
58		esplyindfv.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
59	57, 8, 58	elmapdd 8840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
60		esplyindfv.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
61	52, 2, 53, 54, 5, 60, 8, 9, 59, 3, 11	evlvarval 33954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌))‘𝑍) = (𝑍‘𝑌)))
62		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
63		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
64	15	zcnd 12712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
65	64, 39	pncand 11581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
66	65	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)) = (𝐸‘𝐾))
67	13	fveq1i 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘𝐾) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾)
68		fz0ssnn0 13662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(♯‘𝐽)) ⊆ ℕ0
69	68, 14	sselid 3936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
70	47, 27, 10, 69, 63	esplympl 33980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
71	67, 70	eqeltrid 2869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
72	66, 71	eqeltrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
73	6, 62, 8, 10, 53, 12, 63, 11, 72, 54	extvfvcl 33949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
74	66	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))
75	74	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))) = (𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾))))
76	75	fveq1d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))‘𝑍))
77		esplyindfv.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
78		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼extendVars𝑅) = (𝐼extendVars𝑅)
79	52, 77, 12, 63, 53, 78, 9, 8, 11, 71, 58	evlextv 33955	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
80	76, 79	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
81	73, 80	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
82	52, 2, 53, 54, 5, 60, 8, 9, 59, 61, 81	evlmulval 22284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))))
83	13	fveq1i 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘(𝐾 + 1)) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
84		peano2nn0 12555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
85	69, 84	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
86	47, 27, 10, 85, 63	esplympl 33980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
87	83, 86	eqeltrid 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐾 + 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
88	6, 62, 8, 10, 53, 12, 63, 11, 87, 54	extvfvcl 33949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
89	52, 77, 12, 63, 53, 78, 9, 8, 11, 87, 58	evlextv 33955	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
90	88, 89	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
91	52, 2, 53, 54, 4, 55, 8, 9, 59, 82, 90	evladdval 22283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))))
92	91	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
93	51, 92	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↾ cres 5665  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8945   finSupp cfsupp 9324  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   − cmin 11452  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ...cfz 13546  ♯chash 14379  Basecbs 17286  +_gcplusg 17327  ._rcmulr 17328  0_gc0g 17509  CRingccrg 20339   mVar cmvr 22084   mPoly cmpl 22085   eval cevl 22253  extendVarscextv 33942  eSymPolycesply 33969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-addf 11190  ax-mulf 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-ind 12230  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-prds 17517  df-pws 17519  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-srg 20292  df-ring 20340  df-cring 20341  df-rhm 20579  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-cnfld 21552  df-zring 21626  df-zrh 21682  df-assa 22032  df-asp 22033  df-ascl 22034  df-psr 22088  df-mvr 22089  df-mpl 22090  df-evls 22254  df-evl 22255  df-extv 33943  df-esply 33971

This theorem is used by:  esplyfvn  33990  vietalem  33992