Theorem esplyindfv 33732

Description: A recursive formula for the elementary symmetric polynomials, evaluated at a given set of points 𝑍. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyindfv.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
esplyindfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyindfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
esplyindfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
esplyindfv.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
esplyindfv.e	⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
esplyindfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
esplyindfv.c	⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyindfv.f	⊢ 𝐹 = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
esplyindfv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
esplyindfv.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
esplyindfv.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
esplyindfv.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
esplyindfv.z	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esplyindfv	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐶(ℎ)   + (ℎ)   𝑄(ℎ)   𝑅(ℎ)   · (ℎ)   𝐸(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑂(ℎ)   𝑍(ℎ)

Proof of Theorem esplyindfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyindfv.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mVar 𝑅) = (𝐼 mVar 𝑅)
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌) = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)
8		esplyindfv.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		esplyindfv.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	9	crngringd 20181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		esplyindfv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
12		esplyindfv.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
13		esplyindfv.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
14		esplyindfv.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
15	14	elfzelzd 13441	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16		hashcl 14279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
17	8, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12513	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
19	12	uneq1i 4116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∪ {𝑌}) = ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})
20	11	snssd 4765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐼)
21		undifr 4435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑌} ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
22	20, 21	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
23	19, 22	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∪ {𝑌}) = 𝐼)
24	23	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = (♯‘𝐼))
25		difssd 4089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑌}) ⊆ 𝐼)
26	12, 25	eqsstrid 3972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
27	8, 26	ssfid 9169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fin)
28		neldifsnd 4749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
29	12	eleq2i 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐽 ↔ 𝑌 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
30	28, 29	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)
31		hashunsng 14315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝐽 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽) → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1)))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ (𝐽 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)) → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1))
33	11, 27, 30, 32	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1))
34	24, 33	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) = ((♯‘𝐽) + 1))
35	34	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) − 1) = (((♯‘𝐽) + 1) − 1))
36		hashcl 14279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
37	27, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 12464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
39		1cnd 11127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	pncand 11493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐽) + 1) − 1) = (♯‘𝐽))
41	35, 40	eqtr2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) = ((♯‘𝐼) − 1))
42	41	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐽)) = (0...((♯‘𝐼) − 1)))
43	14, 42	eleqtrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1)))
44		elfzp1b 13517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1)) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼))))
45	44	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1))) → (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼)))
46	15, 18, 43, 45	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼)))
47		esplyindfv.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
48	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 46, 47	esplyind 33731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) = ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))
49	1, 48	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))
50	49	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))))
51	50	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍))
52		esplyindfv.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
53		esplyindfv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
54		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
55		esplyindfv.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
56	53	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
58		esplyindfv.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
59	57, 8, 58	elmapdd 8778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
60		esplyindfv.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
61	52, 2, 53, 54, 5, 60, 8, 9, 59, 3, 11	evlvarval 33706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌))‘𝑍) = (𝑍‘𝑌)))
62		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
63		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
64	15	zcnd 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
65	64, 39	pncand 11493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
66	65	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)) = (𝐸‘𝐾))
67	13	fveq1i 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘𝐾) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾)
68		fz0ssnn0 13538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(♯‘𝐽)) ⊆ ℕ0
69	68, 14	sselid 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
70	47, 27, 10, 69, 63	esplympl 33725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
71	67, 70	eqeltrid 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
72	66, 71	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
73	6, 62, 8, 10, 53, 12, 63, 11, 72, 54	extvfvcl 33701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
74	66	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))
75	74	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))) = (𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾))))
76	75	fveq1d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))‘𝑍))
77		esplyindfv.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
78		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼extendVars𝑅) = (𝐼extendVars𝑅)
79	52, 77, 12, 63, 53, 78, 9, 8, 11, 71, 58	evlextv 33707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
80	76, 79	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
81	73, 80	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
82	52, 2, 53, 54, 5, 60, 8, 9, 59, 61, 81	evlmulval 22059	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))))
83	13	fveq1i 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘(𝐾 + 1)) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
84		peano2nn0 12441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
85	69, 84	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
86	47, 27, 10, 85, 63	esplympl 33725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
87	83, 86	eqeltrid 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐾 + 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
88	6, 62, 8, 10, 53, 12, 63, 11, 87, 54	extvfvcl 33701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
89	52, 77, 12, 63, 53, 78, 9, 8, 11, 87, 58	evlextv 33707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
90	88, 89	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
91	52, 2, 53, 54, 4, 55, 8, 9, 59, 82, 90	evladdval 22058	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))))
92	91	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
93	51, 92	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ♯chash 14253  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  CRingccrg 20169   mVar cmvr 21861   mPoly cmpl 21862   eval cevl 22028  extendVarscextv 33694  eSymPolycesply 33714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-assa 21808  df-asp 21809  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-evls 22029  df-evl 22030  df-ind 32930  df-extv 33695  df-esply 33716

This theorem is referenced by:  esplyfvn  33733  vietalem  33735