Theorem esplyindfv 33752

Description: A recursive formula for the elementary symmetric polynomials, evaluated at a given set of points 𝑍. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyindfv.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
esplyindfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyindfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
esplyindfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
esplyindfv.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
esplyindfv.e	⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
esplyindfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
esplyindfv.c	⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyindfv.f	⊢ 𝐹 = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
esplyindfv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
esplyindfv.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
esplyindfv.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
esplyindfv.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
esplyindfv.z	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esplyindfv	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐶(ℎ)   + (ℎ)   𝑄(ℎ)   𝑅(ℎ)   · (ℎ)   𝐸(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑂(ℎ)   𝑍(ℎ)

Proof of Theorem esplyindfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyindfv.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mVar 𝑅) = (𝐼 mVar 𝑅)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌) = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)
8		esplyindfv.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		esplyindfv.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	9	crngringd 20193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		esplyindfv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
12		esplyindfv.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
13		esplyindfv.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
14		esplyindfv.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
15	14	elfzelzd 13453	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16		hashcl 14291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
17	8, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12525	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
19	12	uneq1i 4118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∪ {𝑌}) = ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})
20	11	snssd 4767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐼)
21		undifr 4437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑌} ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
22	20, 21	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
23	19, 22	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∪ {𝑌}) = 𝐼)
24	23	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = (♯‘𝐼))
25		difssd 4091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑌}) ⊆ 𝐼)
26	12, 25	eqsstrid 3974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
27	8, 26	ssfid 9181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fin)
28		neldifsnd 4751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
29	12	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐽 ↔ 𝑌 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
30	28, 29	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)
31		hashunsng 14327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝐽 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽) → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1)))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ (𝐽 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)) → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1))
33	11, 27, 30, 32	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1))
34	24, 33	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) = ((♯‘𝐽) + 1))
35	34	oveq1d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) − 1) = (((♯‘𝐽) + 1) − 1))
36		hashcl 14291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
37	27, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
39		1cnd 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	pncand 11505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐽) + 1) − 1) = (♯‘𝐽))
41	35, 40	eqtr2d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) = ((♯‘𝐼) − 1))
42	41	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐽)) = (0...((♯‘𝐼) − 1)))
43	14, 42	eleqtrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1)))
44		elfzp1b 13529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1)) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼))))
45	44	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1))) → (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼)))
46	15, 18, 43, 45	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼)))
47		esplyindfv.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
48	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 46, 47	esplyind 33751	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) = ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))
49	1, 48	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))
50	49	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))))
51	50	fveq1d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍))
52		esplyindfv.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
53		esplyindfv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
54		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
55		esplyindfv.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
56	53	fvexi 6856	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
58		esplyindfv.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
59	57, 8, 58	elmapdd 8790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
60		esplyindfv.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
61	52, 2, 53, 54, 5, 60, 8, 9, 59, 3, 11	evlvarval 33717	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌))‘𝑍) = (𝑍‘𝑌)))
62		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
63		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
64	15	zcnd 12609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
65	64, 39	pncand 11505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
66	65	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)) = (𝐸‘𝐾))
67	13	fveq1i 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘𝐾) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾)
68		fz0ssnn0 13550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(♯‘𝐽)) ⊆ ℕ0
69	68, 14	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
70	47, 27, 10, 69, 63	esplympl 33743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
71	67, 70	eqeltrid 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
72	66, 71	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
73	6, 62, 8, 10, 53, 12, 63, 11, 72, 54	extvfvcl 33712	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
74	66	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))
75	74	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))) = (𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾))))
76	75	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))‘𝑍))
77		esplyindfv.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
78		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼extendVars𝑅) = (𝐼extendVars𝑅)
79	52, 77, 12, 63, 53, 78, 9, 8, 11, 71, 58	evlextv 33718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
80	76, 79	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
81	73, 80	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
82	52, 2, 53, 54, 5, 60, 8, 9, 59, 61, 81	evlmulval 22071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))))
83	13	fveq1i 6843	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘(𝐾 + 1)) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
84		peano2nn0 12453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
85	69, 84	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
86	47, 27, 10, 85, 63	esplympl 33743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
87	83, 86	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐾 + 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
88	6, 62, 8, 10, 53, 12, 63, 11, 87, 54	extvfvcl 33712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
89	52, 77, 12, 63, 53, 78, 9, 8, 11, 87, 58	evlextv 33718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
90	88, 89	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
91	52, 2, 53, 54, 4, 55, 8, 9, 59, 82, 90	evladdval 22070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))))
92	91	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
93	51, 92	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↾ cres 5634  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9276  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ...cfz 13435  ♯chash 14265  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371  CRingccrg 20181   mVar cmvr 21873   mPoly cmpl 21874   eval cevl 22040  extendVarscextv 33705  eSymPolycesply 33732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zrh 21470  df-assa 21820  df-asp 21821  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-evls 22041  df-evl 22042  df-ind 32940  df-extv 33706  df-esply 33734

This theorem is referenced by:  esplyfvn  33753  vietalem  33755