Theorem esplyindfv 33720

Description: A recursive formula for the elementary symmetric polynomials, evaluated at a given set of points 𝑍. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyindfv.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
esplyindfv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyindfv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
esplyindfv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
esplyindfv.j	⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
esplyindfv.e	⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
esplyindfv.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
esplyindfv.c	⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyindfv.f	⊢ 𝐹 = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
esplyindfv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
esplyindfv.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
esplyindfv.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
esplyindfv.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
esplyindfv.z	⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
esplyindfv	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   ℎ,𝐽   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐶(ℎ)   + (ℎ)   𝑄(ℎ)   𝑅(ℎ)   · (ℎ)   𝐸(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑂(ℎ)   𝑍(ℎ)

Proof of Theorem esplyindfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyindfv.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mVar 𝑅) = (𝐼 mVar 𝑅)
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌) = ((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)
8		esplyindfv.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
9		esplyindfv.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	9	crngringd 20227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		esplyindfv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
12		esplyindfv.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐼 ∖ {𝑌})
13		esplyindfv.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝐽eSymPoly𝑅)
14		esplyindfv.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...(♯‘𝐽)))
15	14	elfzelzd 13479	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16		hashcl 14318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
17	8, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12549	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
19	12	uneq1i 4104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∪ {𝑌}) = ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})
20	11	snssd 4730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐼)
21		undifr 4423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑌} ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
22	20, 21	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = 𝐼)
23	19, 22	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∪ {𝑌}) = 𝐼)
24	23	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = (♯‘𝐼))
25		difssd 4077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑌}) ⊆ 𝐼)
26	12, 25	eqsstrid 3960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
27	8, 26	ssfid 9179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Fin)
28		neldifsnd 4738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
29	12	eleq2i 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐽 ↔ 𝑌 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}))
30	28, 29	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)
31		hashunsng 14354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → ((𝐽 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽) → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1)))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ (𝐽 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑌 ∈ 𝐽)) → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1))
33	11, 27, 30, 32	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐽 ∪ {𝑌})) = ((♯‘𝐽) + 1))
34	24, 33	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) = ((♯‘𝐽) + 1))
35	34	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) − 1) = (((♯‘𝐽) + 1) − 1))
36		hashcl 14318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
37	27, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 12500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
39		1cnd 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	pncand 11506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐽) + 1) − 1) = (♯‘𝐽))
41	35, 40	eqtr2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐽) = ((♯‘𝐼) − 1))
42	41	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐽)) = (0...((♯‘𝐼) − 1)))
43	14, 42	eleqtrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1)))
44		elfzp1b 13555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1)) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼))))
45	44	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...((♯‘𝐼) − 1))) → (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼)))
46	15, 18, 43, 45	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐼)))
47		esplyindfv.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐽) ∣ ℎ finSupp 0}
48	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 46, 47	esplyind 33719	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) = ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))
49	1, 48	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))
50	49	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) = (𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))))
51	50	fveq1d 6842	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍))
52		esplyindfv.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
53		esplyindfv.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
54		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
55		esplyindfv.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
56	53	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
58		esplyindfv.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
59	57, 8, 58	elmapdd 8788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
60		esplyindfv.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
61	52, 2, 53, 54, 5, 60, 8, 9, 59, 3, 11	evlvarval 33685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌))‘𝑍) = (𝑍‘𝑌)))
62		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
63		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅))
64	15	zcnd 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
65	64, 39	pncand 11506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
66	65	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)) = (𝐸‘𝐾))
67	13	fveq1i 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘𝐾) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾)
68		fz0ssnn0 13576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(♯‘𝐽)) ⊆ ℕ0
69	68, 14	sselid 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
70	47, 27, 10, 69, 63	esplympl 33711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
71	67, 70	eqeltrid 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐾) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
72	66, 71	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
73	6, 62, 8, 10, 53, 12, 63, 11, 72, 54	extvfvcl 33680	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
74	66	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) = (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))
75	74	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))) = (𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾))))
76	75	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))‘𝑍))
77		esplyindfv.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝐽 eval 𝑅)
78		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼extendVars𝑅) = (𝐼extendVars𝑅)
79	52, 77, 12, 63, 53, 78, 9, 8, 11, 71, 58	evlextv 33686	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘𝐾)))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
80	76, 79	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
81	73, 80	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
82	52, 2, 53, 54, 5, 60, 8, 9, 59, 61, 81	evlmulval 22082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1)))))‘𝑍) = ((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))))
83	13	fveq1i 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘(𝐾 + 1)) = ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1))
84		peano2nn0 12477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
85	69, 84	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
86	47, 27, 10, 85, 63	esplympl 33711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽eSymPoly𝑅)‘(𝐾 + 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
87	83, 86	eqeltrid 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐾 + 1)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly 𝑅)))
88	6, 62, 8, 10, 53, 12, 63, 11, 87, 54	extvfvcl 33680	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)))
89	52, 77, 12, 63, 53, 78, 9, 8, 11, 87, 58	evlextv 33686	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))
90	88, 89	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1))))‘𝑍) = ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
91	52, 2, 53, 54, 4, 55, 8, 9, 59, 82, 90	evladdval 22081	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∧ ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽)))))
92	91	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((((𝐼 mVar 𝑅)‘𝑌)(.r‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘((𝐾 + 1) − 1))))(+g‘(𝐼 mPoly 𝑅))(((𝐼extendVars𝑅)‘𝑌)‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))))‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))
93	51, 92	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝑍) = (((𝑍‘𝑌) · ((𝑂‘(𝐸‘𝐾))‘(𝑍 ↾ 𝐽))) + ((𝑂‘(𝐸‘(𝐾 + 1)))‘(𝑍 ↾ 𝐽))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↾ cres 5633  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ♯chash 14292  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  CRingccrg 20215   mVar cmvr 21885   mPoly cmpl 21886   eval cevl 22051  extendVarscextv 33673  eSymPolycesply 33700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-ind 12160  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-srg 20168  df-ring 20216  df-cring 20217  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483  df-assa 21833  df-asp 21834  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-evls 22052  df-evl 22053  df-extv 33674  df-esply 33702

This theorem is referenced by:  esplyfvn  33721  vietalem  33723