Theorem hgmapcl 42704

Description: Closure of scalar sigma map i.e. the map from the vector space scalar base to the dual space scalar base. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapcl.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapcl	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem hgmapcl

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2766	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
5		hgmapcl.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		hgmapcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2766	. . 3 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2766	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
9		eqid 2766	. . 3 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hgmapcl.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hgmapcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		hgmapcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	hgmapval 42702	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) = (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12	hdmap14lem15 42697	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
15		riotacl 7397	. . 3 ⊢ (∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) → (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))) ∈ 𝐵)
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))) ∈ 𝐵)
17	13, 16	eqeltrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃!wreu 3370  ‘cfv 6543  ℩crio 7379  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  HLchlt 40165  LHypclh 40799  DVecHcdvh 41893  LCDualclcd 42401  HDMapchdma 42607  HGMapchg 42698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-riotaBAD 39768

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-0g 17519  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-p1 18505  df-lat 18513  df-clat 18580  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-cntz 19418  df-oppg 19447  df-lsm 19737  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-nzr 20647  df-rlreg 20830  df-domn 20831  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-lvec 21261  df-lsatoms 39791  df-lshyp 39792  df-lcv 39834  df-lfl 39873  df-lkr 39901  df-ldual 39939  df-oposet 39991  df-ol 39993  df-oml 39994  df-covers 40081  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137  df-hlat 40166  df-llines 40313  df-lplanes 40314  df-lvols 40315  df-lines 40316  df-psubsp 40318  df-pmap 40319  df-padd 40611  df-lhyp 40803  df-laut 40804  df-ldil 40919  df-ltrn 40920  df-trl 40974  df-tgrp 41558  df-tendo 41570  df-edring 41572  df-dveca 41818  df-disoa 41844  df-dvech 41894  df-dib 41954  df-dic 41988  df-dih 42044  df-doch 42163  df-djh 42210  df-lcdual 42402  df-mapd 42440  df-hvmap 42572  df-hdmap1 42608  df-hdmap 42609  df-hgmap 42699

This theorem is used by:  hgmapdcl  42705  hgmapvs  42706  hgmapval1  42708  hgmapmul  42710  hdmapglnm2  42726  hdmapinvlem3  42735  hdmapinvlem4  42736  hdmapglem5  42737  hgmapvvlem1  42738  hgmapvvlem2  42739  hdmapglem7  42744  hlhilsrnglem  42768