Theorem hgmapcl 41868

Description: Closure of scalar sigma map i.e. the map from the vector space scalar base to the dual space scalar base. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapcl.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapcl	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem hgmapcl

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
5		hgmapcl.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		hgmapcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
9		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hgmapcl.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hgmapcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		hgmapcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	hgmapval 41866	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) = (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12	hdmap14lem15 41861	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
15		riotacl 7327	. . 3 ⊢ (∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) → (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))) ∈ 𝐵)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))) ∈ 𝐵)
17	13, 16	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃!wreu 3343  ‘cfv 6486  ℩crio 7309  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  HLchlt 39328  LHypclh 39963  DVecHcdvh 41057  LCDualclcd 41565  HDMapchdma 41771  HGMapchg 41862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-riotaBAD 38931

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-0g 17363  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-p1 18348  df-lat 18356  df-clat 18423  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-cntz 19214  df-oppg 19243  df-lsm 19533  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-nzr 20416  df-rlreg 20597  df-domn 20598  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-lvec 21025  df-lsatoms 38954  df-lshyp 38955  df-lcv 38997  df-lfl 39036  df-lkr 39064  df-ldual 39102  df-oposet 39154  df-ol 39156  df-oml 39157  df-covers 39244  df-ats 39245  df-atl 39276  df-cvlat 39300  df-hlat 39329  df-llines 39477  df-lplanes 39478  df-lvols 39479  df-lines 39480  df-psubsp 39482  df-pmap 39483  df-padd 39775  df-lhyp 39967  df-laut 39968  df-ldil 40083  df-ltrn 40084  df-trl 40138  df-tgrp 40722  df-tendo 40734  df-edring 40736  df-dveca 40982  df-disoa 41008  df-dvech 41058  df-dib 41118  df-dic 41152  df-dih 41208  df-doch 41327  df-djh 41374  df-lcdual 41566  df-mapd 41604  df-hvmap 41736  df-hdmap1 41772  df-hdmap 41773  df-hgmap 41863

This theorem is referenced by:  hgmapdcl  41869  hgmapvs  41870  hgmapval1  41872  hgmapmul  41874  hdmapglnm2  41890  hdmapinvlem3  41899  hdmapinvlem4  41900  hdmapglem5  41901  hgmapvvlem1  41902  hgmapvvlem2  41903  hdmapglem7  41908  hlhilsrnglem  41932