Theorem hgmapcl 41394

Description: Closure of scalar sigma map i.e. the map from the vector space scalar base to the dual space scalar base. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapcl.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapcl	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem hgmapcl

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		eqid 2728	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
5		hgmapcl.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		hgmapcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2728	. . 3 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2728	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = ( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
9		eqid 2728	. . 3 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hgmapcl.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
11		hgmapcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		hgmapcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	hgmapval 41392	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) = (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12	hdmap14lem15 41387	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)))
15		riotacl 7400	. . 3 ⊢ (∃!𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥)) → (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))) ∈ 𝐵)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑔 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑈)(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘(𝐹( ·𝑠 ‘𝑈)𝑥)) = (𝑔( ·𝑠 ‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(((HDMap‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))) ∈ 𝐵)
17	13, 16	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  ∃!wreu 3372  ‘cfv 6553  ℩crio 7381  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·_𝑠 cvsca 17244  HLchlt 38854  LHypclh 39489  DVecHcdvh 40583  LCDualclcd 41091  HDMapchdma 41297  HGMapchg 41388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38457

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-undef 8285  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lsatoms 38480  df-lshyp 38481  df-lcv 38523  df-lfl 38562  df-lkr 38590  df-ldual 38628  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tgrp 40248  df-tendo 40260  df-edring 40262  df-dveca 40508  df-disoa 40534  df-dvech 40584  df-dib 40644  df-dic 40678  df-dih 40734  df-doch 40853  df-djh 40900  df-lcdual 41092  df-mapd 41130  df-hvmap 41262  df-hdmap1 41298  df-hdmap 41299  df-hgmap 41389

This theorem is referenced by:  hgmapdcl  41395  hgmapvs  41396  hgmapval1  41398  hgmapmul  41400  hdmapglnm2  41416  hdmapinvlem3  41425  hdmapinvlem4  41426  hdmapglem5  41427  hgmapvvlem1  41428  hgmapvvlem2  41429  hdmapglem7  41434  hlhilsrnglem  41462