Theorem harmonicbnd2 25183

Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
harmonicbnd2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem harmonicbnd2

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6930	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
2	1	sumeq1d 14839	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚))
3		fvoveq1 6945	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘(𝑁 + 1)))
4	2, 3	oveq12d 6940	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
5	4	eleq1d 2843	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ) ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ)))
6		eqid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
7		eqid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
8		eqid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
9		oveq2 6930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑛))
10	9	oveq2d 6938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 + (1 / 𝑘)) = (1 + (1 / 𝑛)))
11	10	fveq2d 6450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) = (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
12	9, 11	oveq12d 6940	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) = ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
13	12	cbvmptv 4985	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
14	6, 7, 8, 13	emcllem7 25180	. . . 4 ⊢ (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛))):ℕ⟶(γ[,]1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1)))):ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ))
15	14	simp3i 1132	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1)))):ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ)
16	7	fmpt 6644	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1)))):ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ))
17	15, 16	mpbir 223	. 2 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ)
18	5, 17	vtoclri 3484	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089   ↦ cmpt 4965  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1c1 10273   + caddc 10275   − cmin 10606   / cdiv 11032  ℕcn 11374  2c2 11430  [,]cicc 12490  ...cfz 12643  Σcsu 14824  logclog 24738  γcem 25170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-em 25171

This theorem is referenced by:  harmonicbnd3  25186