Theorem harmonicbnd2 26971

Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
harmonicbnd2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem harmonicbnd2

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
2	1	sumeq1d 15623	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚))
3		fvoveq1 7381	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘(𝑁 + 1)))
4	2, 3	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
5	4	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ) ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ)))
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
9		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑛))
10	9	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 + (1 / 𝑘)) = (1 + (1 / 𝑛)))
11	10	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (log‘(1 + (1 / 𝑘))) = (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
12	9, 11	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘)))) = ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
13	12	cbvmptv 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑘) − (log‘(1 + (1 / 𝑘))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
14	6, 7, 8, 13	emcllem7 26968	. . . 4 ⊢ (γ ∈ ((1 − (log‘2))[,]1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛))):ℕ⟶(γ[,]1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1)))):ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ))
15	14	simp3i 1141	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1)))):ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ)
16	7	fmpt 7055	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1)))):ℕ⟶((1 − (log‘2))[,]γ))
17	15, 16	mpbir 231	. 2 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ)
18	5, 17	vtoclri 3544	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ((1 − (log‘2))[,]γ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  [,]cicc 13264  ...cfz 13423  Σcsu 15609  logclog 26519  γcem 26958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521  df-em 26959

This theorem is referenced by:  harmonicbnd3  26974