Theorem hdmap14lem7 40109

Description: Combine cases of 𝐹. TODO: Can this be done at once in hdmap14lem3 40105, in order to get rid of hdmap14lem6 40108? Perhaps modify lspsneu 20468 to become ∃!𝑘 ∈ 𝐾 instead of ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })? (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem7.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem7.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem7.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem7.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem7.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap14lem7.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem7.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem7.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem7.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem7.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem7.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem7.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem7.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem7.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem7	⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑋   𝜑,𝑔   · ,𝑔   ∙ ,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem7.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem7.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem7.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap14lem7.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
5		hdmap14lem7.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hdmap14lem7.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
7		hdmap14lem7.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		hdmap14lem7.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmap14lem7.e	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
12		hdmap14lem7.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
13		hdmap14lem7.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
15		hdmap14lem7.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmap14lem7.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	16	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
18		hdmap14lem7.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	18	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → 𝐹 = (0g‘𝑅))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20	hdmap14lem6 40108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
22	16	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23	18	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24		hdmap14lem7.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
25	24	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
26		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ≠ (0g‘𝑅))
27		eldifsn 4732	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)))
28	25, 26, 27	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 22, 23, 28	hdmap14lem4 40107	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
30	21, 29	pm2.61dane 3030	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ∃!wreu 3348   ∖ cdif 3894  {csn 4571  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  Basecbs 16989  Scalarcsca 17042   ·_𝑠 cvsca 17043  0_gc0g 17227  LSpanclspn 20316  HLchlt 37584  LHypclh 38219  DVecHcdvh 39313  LCDualclcd 39821  HDMapchdma 40027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-riotaBAD 37187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-ot 4580  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-of 7575  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-tpos 8091  df-undef 8138  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-er 8548  df-map 8667  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-fz 13320  df-struct 16925  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-0g 17229  df-mre 17372  df-mrc 17373  df-acs 17375  df-proset 18090  df-poset 18108  df-plt 18125  df-lub 18141  df-glb 18142  df-join 18143  df-meet 18144  df-p0 18220  df-p1 18221  df-lat 18227  df-clat 18294  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-submnd 18508  df-grp 18656  df-minusg 18657  df-sbg 18658  df-subg 18828  df-cntz 18999  df-oppg 19026  df-lsm 19317  df-cmn 19463  df-abl 19464  df-mgp 19796  df-ur 19813  df-ring 19860  df-oppr 19937  df-dvdsr 19958  df-unit 19959  df-invr 19989  df-dvr 20000  df-drng 20072  df-lmod 20208  df-lss 20277  df-lsp 20317  df-lvec 20448  df-lsatoms 37210  df-lshyp 37211  df-lcv 37253  df-lfl 37292  df-lkr 37320  df-ldual 37358  df-oposet 37410  df-ol 37412  df-oml 37413  df-covers 37500  df-ats 37501  df-atl 37532  df-cvlat 37556  df-hlat 37585  df-llines 37733  df-lplanes 37734  df-lvols 37735  df-lines 37736  df-psubsp 37738  df-pmap 37739  df-padd 38031  df-lhyp 38223  df-laut 38224  df-ldil 38339  df-ltrn 38340  df-trl 38394  df-tgrp 38978  df-tendo 38990  df-edring 38992  df-dveca 39238  df-disoa 39264  df-dvech 39314  df-dib 39374  df-dic 39408  df-dih 39464  df-doch 39583  df-djh 39630  df-lcdual 39822  df-mapd 39860  df-hvmap 39992  df-hdmap1 40028  df-hdmap 40029

This theorem is referenced by:  hdmap14lem14  40116