Theorem hdmap14lem7 42648

Description: Combine cases of 𝐹. TODO: Can this be done at once in hdmap14lem3 42644, in order to get rid of hdmap14lem6 42647? Perhaps modify lspsneu 21247 to become ∃!𝑘 ∈ 𝐾 instead of ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })? (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem7.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem7.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem7.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem7.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem7.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap14lem7.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem7.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem7.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem7.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem7.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem7.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem7.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem7.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem7.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem7	⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑋   𝜑,𝑔   · ,𝑔   ∙ ,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem7.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem7.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem7.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap14lem7.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
5		hdmap14lem7.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hdmap14lem7.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
7		hdmap14lem7.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		hdmap14lem7.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmap14lem7.e	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
12		hdmap14lem7.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
13		hdmap14lem7.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
14		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
15		hdmap14lem7.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmap14lem7.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	16	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
18		hdmap14lem7.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	18	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → 𝐹 = (0g‘𝑅))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20	hdmap14lem6 42647	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
22	16	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23	18	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24		hdmap14lem7.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
25	24	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
26		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ≠ (0g‘𝑅))
27		eldifsn 4753	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)))
28	25, 26, 27	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 22, 23, 28	hdmap14lem4 42646	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
30	21, 29	pm2.61dane 3045	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃!wreu 3367   ∖ cdif 3902  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309  0_gc0g 17487  LSpanclspn 21092  HLchlt 40124  LHypclh 40758  DVecHcdvh 41852  LCDualclcd 42360  HDMapchdma 42566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-riotaBAD 39727

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-0g 17489  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-oppg 19411  df-lsm 19701  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-nzr 20610  df-rlreg 20793  df-domn 20794  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lvec 21224  df-lsatoms 39750  df-lshyp 39751  df-lcv 39793  df-lfl 39832  df-lkr 39860  df-ldual 39898  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-llines 40272  df-lplanes 40273  df-lvols 40274  df-lines 40275  df-psubsp 40277  df-pmap 40278  df-padd 40570  df-lhyp 40762  df-laut 40763  df-ldil 40878  df-ltrn 40879  df-trl 40933  df-tgrp 41517  df-tendo 41529  df-edring 41531  df-dveca 41777  df-disoa 41803  df-dvech 41853  df-dib 41913  df-dic 41947  df-dih 42003  df-doch 42122  df-djh 42169  df-lcdual 42361  df-mapd 42399  df-hvmap 42531  df-hdmap1 42567  df-hdmap 42568

This theorem is referenced by:  hdmap14lem14  42655