Theorem hdmap14lem7 42250

Description: Combine cases of 𝐹. TODO: Can this be done at once in hdmap14lem3 42246, in order to get rid of hdmap14lem6 42249? Perhaps modify lspsneu 21090 to become ∃!𝑘 ∈ 𝐾 instead of ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })? (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem7.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem7.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem7.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem7.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem7.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap14lem7.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem7.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem7.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem7.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem7.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem7.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem7.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem7.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem7.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem7	⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑋   𝜑,𝑔   · ,𝑔   ∙ ,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem7.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem7.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem7.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap14lem7.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
5		hdmap14lem7.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hdmap14lem7.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
7		hdmap14lem7.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		hdmap14lem7.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmap14lem7.e	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
12		hdmap14lem7.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
13		hdmap14lem7.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
15		hdmap14lem7.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmap14lem7.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
18		hdmap14lem7.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → 𝐹 = (0g‘𝑅))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20	hdmap14lem6 42249	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
22	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24		hdmap14lem7.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ≠ (0g‘𝑅))
27		eldifsn 4744	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)))
28	25, 26, 27	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 22, 23, 28	hdmap14lem4 42248	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
30	21, 29	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃!wreu 3350   ∖ cdif 3900  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  0_gc0g 17371  LSpanclspn 20934  HLchlt 39726  LHypclh 40360  DVecHcdvh 41454  LCDualclcd 41962  HDMapchdma 42168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39329

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-undef 8225  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-oppg 19287  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-nzr 20458  df-rlreg 20639  df-domn 20640  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lvec 21067  df-lsatoms 39352  df-lshyp 39353  df-lcv 39395  df-lfl 39434  df-lkr 39462  df-ldual 39500  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727  df-llines 39874  df-lplanes 39875  df-lvols 39876  df-lines 39877  df-psubsp 39879  df-pmap 39880  df-padd 40172  df-lhyp 40364  df-laut 40365  df-ldil 40480  df-ltrn 40481  df-trl 40535  df-tgrp 41119  df-tendo 41131  df-edring 41133  df-dveca 41379  df-disoa 41405  df-dvech 41455  df-dib 41515  df-dic 41549  df-dih 41605  df-doch 41724  df-djh 41771  df-lcdual 41963  df-mapd 42001  df-hvmap 42133  df-hdmap1 42169  df-hdmap 42170

This theorem is referenced by:  hdmap14lem14  42257