Theorem hdmap14lem7 41863

Description: Combine cases of 𝐹. TODO: Can this be done at once in hdmap14lem3 41859, in order to get rid of hdmap14lem6 41862? Perhaps modify lspsneu 21039 to become ∃!𝑘 ∈ 𝐾 instead of ∃!𝑘 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })? (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem7.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem7.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem7.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem7.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem7.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap14lem7.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem7.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem7.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem7.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem7.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem7.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem7.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem7.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem7.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem7	⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑋   𝜑,𝑔   · ,𝑔   ∙ ,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem7.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem7.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem7.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap14lem7.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
5		hdmap14lem7.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hdmap14lem7.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
7		hdmap14lem7.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		eqid 2730	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		hdmap14lem7.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmap14lem7.e	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
11		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
12		hdmap14lem7.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
13		hdmap14lem7.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
14		eqid 2730	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
15		hdmap14lem7.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmap14lem7.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
18		hdmap14lem7.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → 𝐹 = (0g‘𝑅))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20	hdmap14lem6 41862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑅)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
22	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24		hdmap14lem7.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ≠ (0g‘𝑅))
27		eldifsn 4752	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)))
28	25, 26, 27	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 22, 23, 28	hdmap14lem4 41861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑅)) → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
30	21, 29	pm2.61dane 3013	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃!wreu 3354   ∖ cdif 3913  {csn 4591  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  Scalarcsca 17229   ·_𝑠 cvsca 17230  0_gc0g 17408  LSpanclspn 20883  HLchlt 39338  LHypclh 39973  DVecHcdvh 41067  LCDualclcd 41575  HDMapchdma 41781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-riotaBAD 38941

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17410  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-proset 18261  df-poset 18280  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-subg 19061  df-cntz 19255  df-oppg 19284  df-lsm 19572  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-dvr 20316  df-nzr 20428  df-rlreg 20609  df-domn 20610  df-drng 20646  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-lvec 21016  df-lsatoms 38964  df-lshyp 38965  df-lcv 39007  df-lfl 39046  df-lkr 39074  df-ldual 39112  df-oposet 39164  df-ol 39166  df-oml 39167  df-covers 39254  df-ats 39255  df-atl 39286  df-cvlat 39310  df-hlat 39339  df-llines 39487  df-lplanes 39488  df-lvols 39489  df-lines 39490  df-psubsp 39492  df-pmap 39493  df-padd 39785  df-lhyp 39977  df-laut 39978  df-ldil 40093  df-ltrn 40094  df-trl 40148  df-tgrp 40732  df-tendo 40744  df-edring 40746  df-dveca 40992  df-disoa 41018  df-dvech 41068  df-dib 41128  df-dic 41162  df-dih 41218  df-doch 41337  df-djh 41384  df-lcdual 41576  df-mapd 41614  df-hvmap 41746  df-hdmap1 41782  df-hdmap 41783

This theorem is referenced by:  hdmap14lem14  41870