Theorem hdmapgln2 38050

Description: g-linear property that will be used for inner product. (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapgln2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapgln2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapgln2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapgln2.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmapgln2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapgln2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapgln2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapgln2.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
hdmapgln2.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapgln2.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapgln2.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapgln2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapgln2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapgln2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmapgln2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hdmapgln2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmapgln2	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐴 · 𝑌) + 𝑍))‘𝑋) = ((((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))

Proof of Theorem hdmapgln2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapgln2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapgln2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapgln2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmapgln2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
5		hdmapgln2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		hdmapgln2.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
7		hdmapgln2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmapgln2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		hdmapgln2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 8	dvhlmod 37248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		hdmapgln2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		hdmapgln2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		hdmapgln2.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14		hdmapgln2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15	3, 5, 13, 14	lmodvscl 19272	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
16	10, 11, 12, 15	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
17		hdmapgln2.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17	hdmaplna2 38048	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐴 · 𝑌) + 𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))
19		hdmapgln2.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
20		hdmapgln2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
21	1, 2, 3, 13, 5, 14, 19, 7, 20, 8, 9, 12, 11	hdmapglnm2 38049	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)))
22	21	oveq1d 6937	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)) = ((((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))
23	18, 22	eqtrd 2813	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐴 · 𝑌) + 𝑍))‘𝑋) = ((((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +_gcplusg 16338  ._rcmulr 16339  Scalarcsca 16341   ·_𝑠 cvsca 16342  LModclmod 19255  HLchlt 35488  LHypclh 36122  DVecHcdvh 37216  HDMapchdma 37930  HGMapchg 38021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35091

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-oppg 18159  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-lsatoms 35114  df-lshyp 35115  df-lcv 35157  df-lfl 35196  df-lkr 35224  df-ldual 35262  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-llines 35636  df-lplanes 35637  df-lvols 35638  df-lines 35639  df-psubsp 35641  df-pmap 35642  df-padd 35934  df-lhyp 36126  df-laut 36127  df-ldil 36242  df-ltrn 36243  df-trl 36297  df-tgrp 36881  df-tendo 36893  df-edring 36895  df-dveca 37141  df-disoa 37167  df-dvech 37217  df-dib 37277  df-dic 37311  df-dih 37367  df-doch 37486  df-djh 37533  df-lcdual 37725  df-mapd 37763  df-hvmap 37895  df-hdmap1 37931  df-hdmap 37932  df-hgmap 38022

This theorem is referenced by:  hdmapglem7b  38066