Theorem hdmapgln2 42667

Description: g-linear property that will be used for inner product. (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapgln2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapgln2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapgln2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapgln2.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmapgln2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapgln2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapgln2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapgln2.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
hdmapgln2.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapgln2.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapgln2.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapgln2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapgln2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapgln2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmapgln2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hdmapgln2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hdmapgln2	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐴 · 𝑌) + 𝑍))‘𝑋) = ((((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))

Proof of Theorem hdmapgln2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapgln2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapgln2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapgln2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmapgln2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
5		hdmapgln2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		hdmapgln2.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
7		hdmapgln2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmapgln2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		hdmapgln2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 8	dvhlmod 41865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		hdmapgln2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		hdmapgln2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		hdmapgln2.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14		hdmapgln2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15	3, 5, 13, 14	lmodvscl 20980	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
16	10, 11, 12, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
17		hdmapgln2.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17	hdmaplna2 42665	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐴 · 𝑌) + 𝑍))‘𝑋) = (((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))
19		hdmapgln2.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
20		hdmapgln2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
21	1, 2, 3, 13, 5, 14, 19, 7, 20, 8, 9, 12, 11	hdmapglnm2 42666	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) = (((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)))
22	21	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘(𝐴 · 𝑌))‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)) = ((((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))
23	18, 22	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐴 · 𝑌) + 𝑍))‘𝑋) = ((((𝑆‘𝑌)‘𝑋) × (𝐺‘𝐴)) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  LModclmod 20962  HLchlt 40105  LHypclh 40739  DVecHcdvh 41833  HDMapchdma 42547  HGMapchg 42638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-riotaBAD 39708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17495  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-p1 18481  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cntz 19388  df-oppg 19417  df-lsm 19707  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-nzr 20597  df-rlreg 20780  df-domn 20781  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lvec 21205  df-lsatoms 39731  df-lshyp 39732  df-lcv 39774  df-lfl 39813  df-lkr 39841  df-ldual 39879  df-oposet 39931  df-ol 39933  df-oml 39934  df-covers 40021  df-ats 40022  df-atl 40053  df-cvlat 40077  df-hlat 40106  df-llines 40253  df-lplanes 40254  df-lvols 40255  df-lines 40256  df-psubsp 40258  df-pmap 40259  df-padd 40551  df-lhyp 40743  df-laut 40744  df-ldil 40859  df-ltrn 40860  df-trl 40914  df-tgrp 41498  df-tendo 41510  df-edring 41512  df-dveca 41758  df-disoa 41784  df-dvech 41834  df-dib 41894  df-dic 41928  df-dih 41984  df-doch 42103  df-djh 42150  df-lcdual 42342  df-mapd 42380  df-hvmap 42512  df-hdmap1 42548  df-hdmap 42549  df-hgmap 42639

This theorem is referenced by:  hdmapglem7b  42683