Theorem hdmapadd 39139

Description: Part 11 in [Baer] p. 48 line 35, (a+b)S = aS+bS in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap11.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap11.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmap11.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmap11.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapadd	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋) ✚ (𝑆‘𝑌)))

Proof of Theorem hdmapadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap11.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap11.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap11.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap11.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
5		hdmap11.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		hdmap11.a	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
7		hdmap11.s	. 2 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap11.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		hdmap11.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		hdmap11.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		eqid 2798	. 2 ⊢ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
12		eqid 2798	. 2 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
13		eqid 2798	. 2 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
14		eqid 2798	. 2 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
15		eqid 2798	. 2 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
16		eqid 2798	. 2 ⊢ ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
17		eqid 2798	. 2 ⊢ ((HVMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
18		eqid 2798	. 2 ⊢ ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	hdmap11lem2 39138	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋) ✚ (𝑆‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4531   I cid 5424   ↾ cres 5521  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  0_gc0g 16705  LSpanclspn 19736  HLchlt 36646  LHypclh 37280  LTrncltrn 37397  DVecHcdvh 38374  LCDualclcd 38882  mapdcmpd 38920  HVMapchvm 39052  HDMap1chdma1 39087  HDMapchdma 39088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36249

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lsatoms 36272  df-lshyp 36273  df-lcv 36315  df-lfl 36354  df-lkr 36382  df-ldual 36420  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794  df-lplanes 36795  df-lvols 36796  df-lines 36797  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-lhyp 37284  df-laut 37285  df-ldil 37400  df-ltrn 37401  df-trl 37455  df-tgrp 38039  df-tendo 38051  df-edring 38053  df-dveca 38299  df-disoa 38325  df-dvech 38375  df-dib 38435  df-dic 38469  df-dih 38525  df-doch 38644  df-djh 38691  df-lcdual 38883  df-mapd 38921  df-hvmap 39053  df-hdmap1 39089  df-hdmap 39090

This theorem is referenced by:  hdmapneg  39142  hdmapsub  39143  hdmaprnlem6N  39150  hdmap14lem8  39171  hgmapadd  39190  hdmaplna2  39206