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Theorem lcfl7N 40883
Description: Property of a functional with a closed kernel. Every nonzero functional is determined by a unique nonzero vector. Note that (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 means the functional is zero by lkr0f 38475. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfl6.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl6.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl6.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfl6.a + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfl6.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lcfl6.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcfl6.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
lcfl6.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
lcfl6.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lcfl6.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lcfl6.c 𝐢 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)}
lcfl6.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfl6.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lcfl7N (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝐢 ↔ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ∨ βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))))
Distinct variable groups:   𝑣,π‘˜,𝑀, +   𝑓,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯, βŠ₯   𝑀, 0 ,π‘₯   π‘₯,𝐢   𝑓,𝐺,π‘₯   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿,π‘₯   πœ‘,π‘₯   𝑅,π‘˜,𝑣   𝑆,π‘˜,𝑀,π‘₯   𝑣,𝑉,π‘₯   π‘₯,π‘ˆ   Β· ,π‘˜,𝑣,𝑀   π‘₯, +   π‘₯,𝑅   π‘₯, Β·
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑣,𝑓,π‘˜)   𝐢(𝑀,𝑣,𝑓,π‘˜)   + (𝑓)   𝑅(𝑀,𝑓)   𝑆(𝑣,𝑓)   Β· (𝑓)   π‘ˆ(𝑀,𝑣,𝑓,π‘˜)   𝐹(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐺(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,π‘˜)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,π‘˜)   𝐿(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑉(𝑀,𝑓,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,π‘˜)   0 (𝑣,𝑓,π‘˜)

Proof of Theorem lcfl7N
Dummy variables 𝑙 𝑒 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfl6.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcfl6.o . . 3 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcfl6.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 lcfl6.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 lcfl6.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
6 lcfl6.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
7 lcfl6.s . . 3 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
8 lcfl6.r . . 3 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
9 lcfl6.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
10 lcfl6.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
11 lcfl6.l . . 3 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
12 lcfl6.c . . 3 𝐢 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)}
13 lcfl6.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
14 lcfl6.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14lcfl6 40882 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝐢 ↔ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))))
1613ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
17 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯)))) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯))))
18 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦)))) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦))))
19 simplrl 774 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
20 simplrr 775 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))
22 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ 𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))))
2322rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))))
2423riotabidv 7362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑒 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))))
25 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) = (𝑙 Β· π‘₯))
2625oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) = (𝑀 + (𝑙 Β· π‘₯)))
2726eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ 𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· π‘₯))))
2827rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· π‘₯))))
29 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 + (𝑙 Β· π‘₯)) = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯)))
3029eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· π‘₯)) ↔ 𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯))))
3130cbvrexvw 3229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯)))
3228, 31bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯))))
3332cbvriotavw 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯)))
3424, 33eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑒 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯))))
3534cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯))))
3621, 35eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ 𝐺 = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯)))))
37 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))
38 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)) ↔ 𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))
3938rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))
4039riotabidv 7362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑒 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))
41 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘˜ Β· 𝑦) = (𝑙 Β· 𝑦))
4241oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)) = (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑦)))
4342eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)) ↔ 𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑦))))
4443rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑦))))
45 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑦)) = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦)))
4645eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑦)) ↔ 𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦))))
4746cbvrexvw 3229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦)))
4844, 47bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦))))
4948cbvriotavw 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦)))
5040, 49eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑒 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦))))
5150cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦))))
5237, 51eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ 𝐺 = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦)))))
5336, 52eqtr3d 2768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯)))) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦)))))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19, 20, 53lcfl7lem 40881 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ π‘₯ = 𝑦)
5554ex 412 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))) β†’ π‘₯ = 𝑦))
5655ralrimivva 3194 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))) β†’ π‘₯ = 𝑦))
5756a1d 25 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
5857ancld 550 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))) β†’ π‘₯ = 𝑦))))
59 sneq 4633 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ {π‘₯} = {𝑦})
6059fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯}) = ( βŠ₯ β€˜{𝑦}))
61 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) = (π‘˜ Β· 𝑦))
6261oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))
6362eqeq2d 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ 𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))
6460, 63rexeqbidv 3337 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))
6564riotabidv 7362 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))
6665mpteq2dv 5243 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))
6766eqeq2d 2737 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ↔ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))))
6867reu4 3722 . . . . 5 (βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
6958, 68imbitrrdi 251 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))))))
70 reurex 3374 . . . 4 (βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))
7169, 70impbid1 224 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))))))
7271orbi2d 912 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))))) ↔ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ∨ βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))))
7315, 72bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝐢 ↔ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ∨ βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  βˆƒ!wreu 3368  {crab 3426   βˆ– cdif 3940  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  β„©crio 7359  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392  LFnlclfn 38438  LKerclk 38466  HLchlt 38731  LHypclh 39366  DVecHcdvh 40460  ocHcoch 40729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38334
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-lsatoms 38357  df-lshyp 38358  df-lfl 38439  df-lkr 38467  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tgrp 40125  df-tendo 40137  df-edring 40139  df-dveca 40385  df-disoa 40411  df-dvech 40461  df-dib 40521  df-dic 40555  df-dih 40611  df-doch 40730  df-djh 40777
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