Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl7N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl7N 40974
Description: Property of a functional with a closed kernel. Every nonzero functional is determined by a unique nonzero vector. Note that (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 means the functional is zero by lkr0f 38566. (Contributed by NM, 4-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfl6.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl6.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl6.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfl6.a + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfl6.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lcfl6.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcfl6.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
lcfl6.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
lcfl6.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lcfl6.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lcfl6.c 𝐢 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)}
lcfl6.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfl6.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lcfl7N (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝐢 ↔ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ∨ βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))))
Distinct variable groups:   𝑣,π‘˜,𝑀, +   𝑓,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯, βŠ₯   𝑀, 0 ,π‘₯   π‘₯,𝐢   𝑓,𝐺,π‘₯   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿,π‘₯   πœ‘,π‘₯   𝑅,π‘˜,𝑣   𝑆,π‘˜,𝑀,π‘₯   𝑣,𝑉,π‘₯   π‘₯,π‘ˆ   Β· ,π‘˜,𝑣,𝑀   π‘₯, +   π‘₯,𝑅   π‘₯, Β·
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑣,𝑓,π‘˜)   𝐢(𝑀,𝑣,𝑓,π‘˜)   + (𝑓)   𝑅(𝑀,𝑓)   𝑆(𝑣,𝑓)   Β· (𝑓)   π‘ˆ(𝑀,𝑣,𝑓,π‘˜)   𝐹(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐺(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,π‘˜)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,π‘˜)   𝐿(𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑉(𝑀,𝑓,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑣,𝑓,π‘˜)   0 (𝑣,𝑓,π‘˜)

Proof of Theorem lcfl7N
Dummy variables 𝑙 𝑒 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfl6.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcfl6.o . . 3 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcfl6.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 lcfl6.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 lcfl6.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
6 lcfl6.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
7 lcfl6.s . . 3 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
8 lcfl6.r . . 3 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
9 lcfl6.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
10 lcfl6.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
11 lcfl6.l . . 3 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
12 lcfl6.c . . 3 𝐢 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)}
13 lcfl6.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
14 lcfl6.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14lcfl6 40973 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝐢 ↔ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))))
1613ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
17 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯)))) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯))))
18 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦)))) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦))))
19 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
20 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))
22 eqeq1 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ 𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))))
2322rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))))
2423riotabidv 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑒 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))))
25 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) = (𝑙 Β· π‘₯))
2625oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) = (𝑀 + (𝑙 Β· π‘₯)))
2726eqeq2d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ 𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· π‘₯))))
2827rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· π‘₯))))
29 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 + (𝑙 Β· π‘₯)) = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯)))
3029eqeq2d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· π‘₯)) ↔ 𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯))))
3130cbvrexvw 3232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯)))
3228, 31bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯))))
3332cbvriotavw 7386 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯)))
3424, 33eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑒 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯))))
3534cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯))))
3621, 35eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ 𝐺 = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯)))))
37 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))
38 eqeq1 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)) ↔ 𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))
3938rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))
4039riotabidv 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑒 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))
41 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘˜ Β· 𝑦) = (𝑙 Β· 𝑦))
4241oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)) = (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑦)))
4342eqeq2d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)) ↔ 𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑦))))
4443rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑦))))
45 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑦)) = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦)))
4645eqeq2d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑦)) ↔ 𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦))))
4746cbvrexvw 3232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (𝑙 Β· 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦)))
4844, 47bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦))))
4948cbvriotavw 7386 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦)))
5040, 49eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑒 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))) = (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦))))
5150cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦))))
5237, 51eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ 𝐺 = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦)))))
5336, 52eqtr3d 2770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· π‘₯)))) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑒 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑦)))))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19, 20, 53lcfl7lem 40972 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) ∧ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))) β†’ π‘₯ = 𝑦)
5554ex 412 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))) β†’ π‘₯ = 𝑦))
5655ralrimivva 3197 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))) β†’ π‘₯ = 𝑦))
5756a1d 25 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
5857ancld 550 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))) β†’ π‘₯ = 𝑦))))
59 sneq 4639 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ {π‘₯} = {𝑦})
6059fveq2d 6901 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯}) = ( βŠ₯ β€˜{𝑦}))
61 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) = (π‘˜ Β· 𝑦))
6261oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))
6362eqeq2d 2739 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ 𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))
6460, 63rexeqbidv 3340 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))
6564riotabidv 7378 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))
6665mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦)))))
6766eqeq2d 2739 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ↔ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))))
6867reu4 3726 . . . . 5 (βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })((𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ∧ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{𝑦})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· 𝑦))))) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
6958, 68imbitrrdi 251 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))))))
70 reurex 3377 . . . 4 (βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))
7169, 70impbid1 224 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))))))
7271orbi2d 914 . 2 (πœ‘ β†’ (((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ∨ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯))))) ↔ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ∨ βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))))
7315, 72bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝐢 ↔ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ∨ βˆƒ!π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  βˆƒ!wreu 3371  {crab 3429   βˆ– cdif 3944  {csn 4629   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6548  β„©crio 7375  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  0gc0g 17421  LFnlclfn 38529  LKerclk 38557  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DVecHcdvh 40551  ocHcoch 40820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-riotaBAD 38425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-0g 17423  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-cntz 19268  df-lsm 19591  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lvec 20988  df-lsatoms 38448  df-lshyp 38449  df-lfl 38530  df-lkr 38558  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tgrp 40216  df-tendo 40228  df-edring 40230  df-dveca 40476  df-disoa 40502  df-dvech 40552  df-dib 40612  df-dic 40646  df-dih 40702  df-doch 40821  df-djh 40868
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator