Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6gN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6gN 41215
Description: Lemmma for mapdh6N 41220. Part (6) of [Baer] p. 47 line 39. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdhc.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdhc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdhcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
mapdh6d.xn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
mapdh6d.yz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
mapdh6d.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.w (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.wn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
mapdh6gN (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)) = (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©)) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   π‘₯, 0   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯, βˆ’   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   πœ‘,β„Ž   0 ,β„Ž   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐽   β„Ž,𝑀   β„Ž,𝑁   𝑅,β„Ž   π‘ˆ,β„Ž   βˆ’ ,β„Ž   𝑀,β„Ž   β„Ž,𝑍,π‘₯   ✚ ,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘₯   + ,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑀)   𝐢(π‘₯,𝑀)   𝐷(𝑀)   + (𝑀)   ✚ (π‘₯,𝑀)   𝑄(𝑀,β„Ž)   𝑅(𝑀)   π‘ˆ(π‘₯,𝑀)   𝐹(𝑀)   𝐻(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝐼(𝑀)   𝐽(𝑀)   𝐾(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝑀(𝑀)   βˆ’ (𝑀)   𝑁(𝑀)   𝑉(π‘₯,𝑀,β„Ž)   π‘Š(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝑋(𝑀)   π‘Œ(𝑀)   0 (𝑀)   𝑍(𝑀)

Proof of Theorem mapdh6gN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . 3 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
2 mapdh.i . . 3 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
3 mapdh.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 mapdh.m . . 3 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 mapdh.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 mapdh.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
7 mapdh.s . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
8 mapdhc.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
9 mapdh.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
10 mapdh.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 mapdh.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
12 mapdh.r . . 3 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
13 mapdh.j . . 3 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
14 mapdh.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15 mapdhc.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
16 mapdh.mn . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
17 mapdhcl.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
18 mapdh.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
19 mapdh.a . . 3 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
20 mapdh6d.xn . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
21 mapdh6d.yz . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
22 mapdh6d.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
23 mapdh6d.z . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
24 mapdh6d.w . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
25 mapdh6d.wn . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6dN 41212 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6eN 41213 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, ((𝑀 + π‘Œ) + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + π‘Œ)⟩) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
283, 5, 14dvhlmod 40583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
2924eldifad 3959 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
3022eldifad 3959 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
3123eldifad 3959 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
326, 18lmodass 20758 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑀 + π‘Œ) + 𝑍) = (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍)))
3328, 29, 30, 31, 32syl13anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 + π‘Œ) + 𝑍) = (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍)))
3433oteq3d 4888 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, 𝐹, ((𝑀 + π‘Œ) + 𝑍)⟩ = βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩)
3534fveq2d 6901 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, ((𝑀 + π‘Œ) + 𝑍)⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6fN 41214 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + π‘Œ)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©)))
3736oveq1d 7435 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + π‘Œ)⟩) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) = (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©)) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
3827, 35, 373eqtr3d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©)) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
3926, 38eqtr3d 2770 1 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)) = (((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©)) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   βˆ– cdif 3944  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631  βŸ¨cotp 4637   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6548  β„©crio 7375  (class class class)co 7420  1st c1st 7991  2nd c2nd 7992  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  -gcsg 18891  LModclmod 20742  LSpanclspn 20854  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DVecHcdvh 40551  LCDualclcd 41059  mapdcmpd 41097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-oppg 19296  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-lsatoms 38448  df-lshyp 38449  df-lcv 38491  df-lfl 38530  df-lkr 38558  df-ldual 38596  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tgrp 40216  df-tendo 40228  df-edring 40230  df-dveca 40476  df-disoa 40502  df-dvech 40552  df-dib 40612  df-dic 40646  df-dih 40702  df-doch 40821  df-djh 40868  df-lcdual 41060  df-mapd 41098
This theorem is referenced by:  mapdh6hN  41216
  Copyright terms: Public domain W3C validator