Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6gN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6gN 38860
Description: Lemmma for mapdh6N 38865. Part (6) of [Baer] p. 47 line 39. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p + = (+g𝑈)
mapdh.a = (+g𝐶)
mapdh6d.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6d.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6d.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.w (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.wn (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdh6gN (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)) = (((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   𝑤,   ,𝑍,𝑥   ,   ,𝐼,𝑥   + ,,𝑥   𝑥,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   + (𝑤)   (𝑥,𝑤)   𝑄(𝑤,)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,)   𝑀(𝑤)   (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,)   𝑊(𝑥,𝑤,)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem mapdh6gN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
2 mapdh.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
3 mapdh.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 mapdh.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdh.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdh.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 mapdh.s . . 3 = (-g𝑈)
8 mapdhc.o . . 3 0 = (0g𝑈)
9 mapdh.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10 mapdh.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdh.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
12 mapdh.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
13 mapdh.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14 mapdh.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdhc.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh.mn . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdhcl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 mapdh.p . . 3 + = (+g𝑈)
19 mapdh.a . . 3 = (+g𝐶)
20 mapdh6d.xn . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
21 mapdh6d.yz . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
22 mapdh6d.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
23 mapdh6d.z . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24 mapdh6d.w . . 3 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
25 mapdh6d.wn . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6dN 38857 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6eN 38858 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
283, 5, 14dvhlmod 38228 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
2924eldifad 3946 . . . . . 6 (𝜑𝑤𝑉)
3022eldifad 3946 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
3123eldifad 3946 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
326, 18lmodass 19641 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑤𝑉𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑤 + (𝑌 + 𝑍)))
3328, 29, 30, 31, 32syl13anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑤 + (𝑌 + 𝑍)))
3433oteq3d 4809 . . . 4 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩)
3534fveq2d 6667 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6fN 38859 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)))
3736oveq1d 7163 . . 3 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
3827, 35, 373eqtr3d 2862 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + (𝑌 + 𝑍))⟩) = (((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
3926, 38eqtr3d 2856 1 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩)) = (((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3493  cdif 3931  ifcif 4465  {csn 4559  {cpr 4561  cotp 4567  cmpt 5137  cfv 6348  crio 7105  (class class class)co 7148  1st c1st 7679  2nd c2nd 7680  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  -gcsg 18097  LModclmod 19626  LSpanclspn 19735  HLchlt 36468  LHypclh 37102  DVecHcdvh 38196  LCDualclcd 38704  mapdcmpd 38742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36071
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-lsatoms 36094  df-lshyp 36095  df-lcv 36137  df-lfl 36176  df-lkr 36204  df-ldual 36242  df-oposet 36294  df-ol 36296  df-oml 36297  df-covers 36384  df-ats 36385  df-atl 36416  df-cvlat 36440  df-hlat 36469  df-llines 36616  df-lplanes 36617  df-lvols 36618  df-lines 36619  df-psubsp 36621  df-pmap 36622  df-padd 36914  df-lhyp 37106  df-laut 37107  df-ldil 37222  df-ltrn 37223  df-trl 37277  df-tgrp 37861  df-tendo 37873  df-edring 37875  df-dveca 38121  df-disoa 38147  df-dvech 38197  df-dib 38257  df-dic 38291  df-dih 38347  df-doch 38466  df-djh 38513  df-lcdual 38705  df-mapd 38743
This theorem is referenced by:  mapdh6hN  38861
  Copyright terms: Public domain W3C validator