Theorem mapdh7cN 42808

Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (3 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh7.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh7.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh7.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh7.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh7.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh7.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh7.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh7.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh7.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh7.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh7.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh7.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh7.x	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.y	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.z	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
mapdh7.wn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
mapdh7a	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mapdh7cN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑢⟩) = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐺,𝑥   0 ,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑥,𝑄   𝑢,ℎ,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝐶(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝐷(𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝑄(𝑤, 𝑣, 𝑢, ℎ)   𝑅(𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝑈(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝐹(𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝐺(𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝐻(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑢, ℎ)   𝐼(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑢, ℎ)   𝐽(𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝐾(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑢, ℎ)   𝑀(𝑤, 𝑣, 𝑢)   − (𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝑁(𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝑉(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑢, ℎ)   𝑊(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑢, ℎ)   0 (𝑤, 𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem mapdh7cN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh7a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
2		mapdh7.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
3		mapdh7.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
4		mapdh7.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		mapdh7.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdh7.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdh7.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		mapdh7.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
9		mapdh7.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
10		mapdh7.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11		mapdh7.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12		mapdh7.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
13		mapdh7.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
14		mapdh7.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15		mapdh7.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		mapdh7.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
17		mapdh7.mn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
18		mapdh7.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		mapdh7.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	19	eldifad 3909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
21		mapdh7.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
22	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21	mapdhcl 42786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) ∈ 𝐷)
23	1, 22	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
24	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 21	mapdheq2 42788	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑢⟩) = 𝐹))
25	1, 24	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑢⟩) = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  ifcif 4482  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cotp 4592   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6539  ℩crio 7377  (class class class)co 7421  1^st c1st 8000  2^nd c2nd 8001  Basecbs 17388  0_gc0g 17611  -_gcsg 19147  LSpanclspn 21247  HLchlt 40409  LHypclh 41043  DVecHcdvh 42137  LCDualclcd 42645  mapdcmpd 42683

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-riotaBAD 40012

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8244  df-undef 8291  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-0g 17613  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-proset 18469  df-poset 18488  df-plt 18503  df-lub 18519  df-glb 18520  df-join 18521  df-meet 18522  df-p0 18598  df-p1 18599  df-lat 18607  df-clat 18674  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-subg 19334  df-cntz 19532  df-oppg 19561  df-lsm 19851  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-dvr 20632  df-nzr 20764  df-rlreg 20947  df-domn 20948  df-drng 20983  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-lvec 21379  df-lsatoms 40035  df-lshyp 40036  df-lcv 40078  df-lfl 40117  df-lkr 40145  df-ldual 40183  df-oposet 40235  df-ol 40237  df-oml 40238  df-covers 40325  df-ats 40326  df-atl 40357  df-cvlat 40381  df-hlat 40410  df-llines 40557  df-lplanes 40558  df-lvols 40559  df-lines 40560  df-psubsp 40562  df-pmap 40563  df-padd 40855  df-lhyp 41047  df-laut 41048  df-ldil 41163  df-ltrn 41164  df-trl 41218  df-tgrp 41802  df-tendo 41814  df-edring 41816  df-dveca 42062  df-disoa 42088  df-dvech 42138  df-dib 42198  df-dic 42232  df-dih 42288  df-doch 42407  df-djh 42454  df-lcdual 42646  df-mapd 42684

This theorem is used by: (None)