Theorem smcn 29640

Description: Scalar multiplication is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
smcn.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
smcn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
smcn.s	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
smcn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
smcn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem smcn

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smcn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
2		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
3	1, 2	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
4		smcn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
5		smcn.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
6		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
7	5, 6	eqtrid 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝐶 = (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
8	7	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (MetOpen‘𝐶) = (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
9	4, 8	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝐽 = (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
10	9	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐾 ×t 𝐽) = (𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))))
11	10, 9	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))))
12	3, 11	eleq12d 2832	. 2 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∈ ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))))
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
14		eqid 2736	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) = (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
15		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
16		smcn.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
17		eqid 2736	. . 3 ⊢ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
18		eqid 2736	. . 3 ⊢ (normCV‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (normCV‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
19		elimnvu 29626	. . 3 ⊢ if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
20		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1 / (1 + (((((normCV‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) = (1 / (1 + (((((normCV‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
21	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	smcnlem 29639	. 2 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∈ ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
22	12, 21	dedth 4544	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4486  ⟨cop 4592  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   / cdiv 11812  abscabs 15119  TopOpenctopn 17303  MetOpencmopn 20786  ℂ_fldccnfld 20796   Cn ccn 22575   ×_t ctx 22911  NrmCVeccnv 29526  BaseSetcba 29528   ·_𝑠OLD cns 29529  norm_CVcnmcv 29532  IndMetcims 29533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-tms 23675  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543

This theorem is referenced by:  vmcn  29641  dipcn  29662  ipasslem7  29778