Theorem smcn 30682

Description: Scalar multiplication is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
smcn.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
smcn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
smcn.s	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
smcn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
smcn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Proof of Theorem smcn

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smcn.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
2		fveq2 6830	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
3	1, 2	eqtrid 2780	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
4		smcn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
5		smcn.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
6		fveq2 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
7	5, 6	eqtrid 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝐶 = (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
8	7	fveq2d 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (MetOpen‘𝐶) = (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
9	4, 8	eqtrid 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → 𝐽 = (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
10	9	oveq2d 7370	. . . 4 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝐾 ×t 𝐽) = (𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))))
11	10, 9	oveq12d 7372	. . 3 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))))
12	3, 11	eleq12d 2827	. 2 ⊢ (𝑈 = if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) → (𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∈ ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))))
13		eqid 2733	. . 3 ⊢ (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
14		eqid 2733	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))) = (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))
15		eqid 2733	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
16		smcn.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
17		eqid 2733	. . 3 ⊢ (BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (BaseSet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
18		eqid 2733	. . 3 ⊢ (normCV‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) = (normCV‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))
19		elimnvu 30668	. . 3 ⊢ if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) ∈ NrmCVec
20		eqid 2733	. . 3 ⊢ (1 / (1 + (((((normCV‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) = (1 / (1 + (((((normCV‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))‘𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
21	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	smcnlem 30681	. 2 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)) ∈ ((𝐾 ×t (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)))) Cn (MetOpen‘(IndMet‘if(𝑈 ∈ NrmCVec, 𝑈, ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩))))
22	12, 21	dedth 4535	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4476  ⟨cop 4583  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  1c1 11016   + caddc 11018   · cmul 11020   / cdiv 11783  abscabs 15145  TopOpenctopn 17329  MetOpencmopn 21285  ℂ_fldccnfld 21295   Cn ccn 23142   ×_t ctx 23478  NrmCVeccnv 30568  BaseSetcba 30570   ·_𝑠OLD cns 30571  norm_CVcnmcv 30574  IndMetcims 30575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-addf 11094  ax-mulf 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-map 8760  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-fi 9304  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017  df-icc 13256  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-starv 17180  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-unif 17188  df-hom 17189  df-cco 17190  df-rest 17330  df-topn 17331  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-topgen 17351  df-pt 17352  df-prds 17355  df-xrs 17410  df-qtop 17415  df-imas 17416  df-xps 17418  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-mulg 18985  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290  df-mopn 21291  df-cnfld 21296  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22864  df-cn 23145  df-cnp 23146  df-tx 23480  df-hmeo 23673  df-xms 24238  df-tms 24240  df-grpo 30477  df-gid 30478  df-ginv 30479  df-gdiv 30480  df-ablo 30529  df-vc 30543  df-nv 30576  df-va 30579  df-ba 30580  df-sm 30581  df-0v 30582  df-vs 30583  df-nmcv 30584  df-ims 30585

This theorem is referenced by:  vmcn  30683  dipcn  30704  ipasslem7  30820