MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadugsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cpmadugsum 22730
Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as an infinite sum. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
cpmadugsum.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
cpmadugsum.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
cpmadugsum.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
cpmadugsum.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
cpmadugsum.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
cpmadugsum.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
cpmadugsum.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.r ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.1 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.g + = (+gโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.s โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.i ๐ผ = ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))
cpmadugsum.j ๐ฝ = (๐‘ maAdju ๐‘ƒ)
cpmadugsum.0 0 = (0gโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.g2 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, ( 0 โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))), if(๐‘› = (๐‘  + 1), (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )), if((๐‘  + 1) < ๐‘›, 0 , ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘›))))))))
Assertion
Ref Expression
cpmadugsum ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–   ๐‘–,๐‘€   ๐‘–,๐‘   ๐‘…,๐‘–   ๐‘–,๐‘‹   ๐‘–,๐‘Œ   ร— ,๐‘–   ยท ,๐‘–   1 ,๐‘–   ๐‘–,๐‘,๐‘ ,๐‘‡   โ†‘ ,๐‘–   โˆ’ ,๐‘–   ๐ด,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐ต,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐ผ,๐‘,๐‘–,๐‘›,๐‘    ๐ฝ,๐‘,๐‘–,๐‘›,๐‘    ๐‘€,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘›   ๐‘…,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘‡,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘‹,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘Œ,๐‘,๐‘›,๐‘    โ†‘ ,๐‘›,๐‘ ,๐‘   ยท ,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘–,๐บ   ร— ,๐‘›   0 ,๐‘›   โˆ’ ,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–)   ๐‘ƒ(๐‘ ,๐‘)   + (๐‘–,๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ร— (๐‘ ,๐‘)   1 (๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐บ(๐‘›,๐‘ ,๐‘)   โˆ’ (๐‘ ,๐‘)   0 (๐‘–,๐‘ ,๐‘)
Proof of Theorem cpmadugsum
StepHypRef Expression
1 cpmadugsum.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 cpmadugsum.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
3 cpmadugsum.p . . 3 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 cpmadugsum.y . . 3 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
5 cpmadugsum.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
6 cpmadugsum.x . . 3 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
7 cpmadugsum.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
8 cpmadugsum.m . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
9 cpmadugsum.r . . 3 ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
10 cpmadugsum.1 . . 3 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
11 cpmadugsum.g . . 3 + = (+gโ€˜๐‘Œ)
12 cpmadugsum.s . . 3 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
13 cpmadugsum.i . . 3 ๐ผ = ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))
14 cpmadugsum.j . . 3 ๐ฝ = (๐‘ maAdju ๐‘ƒ)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cpmadugsumfi 22729 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
16 simpr 484 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))) โ†’ (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
17 cpmadugsum.0 . . . . . . . 8 0 = (0gโ€˜๐‘Œ)
18 cpmadugsum.g2 . . . . . . . 8 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, ( 0 โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))), if(๐‘› = (๐‘  + 1), (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )), if((๐‘  + 1) < ๐‘›, 0 , ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘›))))))))
191, 2, 3, 4, 9, 12, 17, 5, 18, 6, 8, 7, 11chfacfscmulgsum 22712 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
2019eqcomd 2732 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
2120adantr 480 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
2216, 21eqtrd 2766 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))) โ†’ (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
2322ex 412 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) โ†’ (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
2423reximdvva 3199 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
2515, 24mpd 15 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064  ifcif 4523   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โ†‘m cmap 8819  Fincfn 8938  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249   โˆ’ cmin 11445  โ„•cn 12213  โ„•0cn0 12473  ...cfz 13487  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204   ยท๐‘  cvsca 17207  0gc0g 17391   ฮฃg cgsu 17392  -gcsg 18862  .gcmg 18992  mulGrpcmgp 20036  1rcur 20083  CRingccrg 20136  var1cv1 22045  Poly1cpl1 22046   Mat cmat 22257   maAdju cmadu 22484   matToPolyMat cmat2pmat 22556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-cur 8250  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14468  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14549  df-substr 14594  df-pfx 14624  df-splice 14703  df-reverse 14712  df-s2 14802  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-efmnd 18791  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-gim 19181  df-cntz 19230  df-oppg 19259  df-symg 19284  df-pmtr 19359  df-psgn 19408  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-srg 20089  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-cnfld 21236  df-zring 21329  df-zrh 21385  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-assa 21743  df-ascl 21745  df-psr 21798  df-mvr 21799  df-mpl 21800  df-opsr 21802  df-psr1 22049  df-vr1 22050  df-ply1 22051  df-coe1 22052  df-mamu 22236  df-mat 22258  df-mdet 22437  df-madu 22486  df-mat2pmat 22559  df-decpmat 22615
This theorem is referenced by:  cpmidgsum2  22731  cpmadumatpoly  22735
  Copyright terms: Public domain W3C validator