MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadugsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmadugsum 22800
Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as an infinite sum. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
cpmadugsum.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
cpmadugsum.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
cpmadugsum.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
cpmadugsum.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
cpmadugsum.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
cpmadugsum.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
cpmadugsum.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.r ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.1 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.g + = (+gโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.s โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.i ๐ผ = ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))
cpmadugsum.j ๐ฝ = (๐‘ maAdju ๐‘ƒ)
cpmadugsum.0 0 = (0gโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.g2 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, ( 0 โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))), if(๐‘› = (๐‘  + 1), (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )), if((๐‘  + 1) < ๐‘›, 0 , ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘›))))))))
Assertion
Ref Expression
cpmadugsum ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–   ๐‘–,๐‘€   ๐‘–,๐‘   ๐‘…,๐‘–   ๐‘–,๐‘‹   ๐‘–,๐‘Œ   ร— ,๐‘–   ยท ,๐‘–   1 ,๐‘–   ๐‘–,๐‘,๐‘ ,๐‘‡   โ†‘ ,๐‘–   โˆ’ ,๐‘–   ๐ด,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐ต,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐ผ,๐‘,๐‘–,๐‘›,๐‘    ๐ฝ,๐‘,๐‘–,๐‘›,๐‘    ๐‘€,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘›   ๐‘…,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘‡,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘‹,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘Œ,๐‘,๐‘›,๐‘    โ†‘ ,๐‘›,๐‘ ,๐‘   ยท ,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘–,๐บ   ร— ,๐‘›   0 ,๐‘›   โˆ’ ,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–)   ๐‘ƒ(๐‘ ,๐‘)   + (๐‘–,๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ร— (๐‘ ,๐‘)   1 (๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐บ(๐‘›,๐‘ ,๐‘)   โˆ’ (๐‘ ,๐‘)   0 (๐‘–,๐‘ ,๐‘)

Proof of Theorem cpmadugsum
StepHypRef Expression
1 cpmadugsum.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 cpmadugsum.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
3 cpmadugsum.p . . 3 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 cpmadugsum.y . . 3 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
5 cpmadugsum.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
6 cpmadugsum.x . . 3 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
7 cpmadugsum.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
8 cpmadugsum.m . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
9 cpmadugsum.r . . 3 ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
10 cpmadugsum.1 . . 3 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
11 cpmadugsum.g . . 3 + = (+gโ€˜๐‘Œ)
12 cpmadugsum.s . . 3 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
13 cpmadugsum.i . . 3 ๐ผ = ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))
14 cpmadugsum.j . . 3 ๐ฝ = (๐‘ maAdju ๐‘ƒ)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cpmadugsumfi 22799 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
16 simpr 483 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))) โ†’ (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
17 cpmadugsum.0 . . . . . . . 8 0 = (0gโ€˜๐‘Œ)
18 cpmadugsum.g2 . . . . . . . 8 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, ( 0 โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))), if(๐‘› = (๐‘  + 1), (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )), if((๐‘  + 1) < ๐‘›, 0 , ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘›))))))))
191, 2, 3, 4, 9, 12, 17, 5, 18, 6, 8, 7, 11chfacfscmulgsum 22782 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
2019eqcomd 2734 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
2120adantr 479 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
2216, 21eqtrd 2768 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))) โ†’ (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
2322ex 411 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) โ†’ (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
2423reximdvva 3203 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
2515, 24mpd 15 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3067  ifcif 4532   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โ†‘m cmap 8851  Fincfn 8970  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286   โˆ’ cmin 11482  โ„•cn 12250  โ„•0cn0 12510  ...cfz 13524  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241   ยท๐‘  cvsca 17244  0gc0g 17428   ฮฃg cgsu 17429  -gcsg 18899  .gcmg 19030  mulGrpcmgp 20081  1rcur 20128  CRingccrg 20181  var1cv1 22102  Poly1cpl1 22103   Mat cmat 22327   maAdju cmadu 22554   matToPolyMat cmat2pmat 22626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-cur 8279  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-word 14505  df-lsw 14553  df-concat 14561  df-s1 14586  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-splice 14740  df-reverse 14749  df-s2 14839  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-efmnd 18828  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-gim 19220  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-symg 19329  df-pmtr 19404  df-psgn 19453  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zrh 21436  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-assa 21794  df-ascl 21796  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-vr1 22107  df-ply1 22108  df-coe1 22109  df-mamu 22306  df-mat 22328  df-mdet 22507  df-madu 22556  df-mat2pmat 22629  df-decpmat 22685
This theorem is referenced by:  cpmidgsum2  22801  cpmadumatpoly  22805
  Copyright terms: Public domain W3C validator