Theorem cpmadugsum 22227

Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as an infinite sum. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadugsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadugsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmadugsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadugsum.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cpmadugsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadugsum.g	⊢ + = (+g‘𝑌)
cpmadugsum.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cpmadugsum.i	⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
cpmadugsum.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadugsum.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
cpmadugsum.g2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))

Assertion

Ref	Expression
cpmadugsum	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏,𝑠,𝑇   ↑ ,𝑖   − ,𝑖   𝐴,𝑏,𝑛,𝑠   𝐵,𝑏,𝑛,𝑠   𝐼,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝐽,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝑀,𝑏,𝑛,𝑠   𝑁,𝑏,𝑛,𝑠   𝑃,𝑖,𝑛   𝑅,𝑏,𝑛,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑋,𝑏,𝑛,𝑠   𝑌,𝑏,𝑛,𝑠   ↑ ,𝑛,𝑠,𝑏   · ,𝑏,𝑛,𝑠   𝑖,𝐺   × ,𝑛   0 ,𝑛   − ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   1 (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   − (𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmadugsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmadugsum.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		cpmadugsum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		cpmadugsum.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		cpmadugsum.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		cpmadugsum.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
6		cpmadugsum.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
7		cpmadugsum.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8		cpmadugsum.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
9		cpmadugsum.r	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑌)
10		cpmadugsum.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
11		cpmadugsum.g	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑌)
12		cpmadugsum.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
13		cpmadugsum.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
14		cpmadugsum.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	cpmadugsumfi 22226	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
16		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
17		cpmadugsum.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
18		cpmadugsum.g2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
19	1, 2, 3, 4, 9, 12, 17, 5, 18, 6, 8, 7, 11	chfacfscmulgsum 22209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
20	19	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))
21	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))
22	16, 21	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))
23	22	ex 413	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) → (𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))))
24	23	reximdvva 3202	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) ↑ 𝑋) · (𝑇‘(𝑏‘𝑠))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))))))
25	15, 24	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽‘𝐼)) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8883  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13424  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  -_gcsg 18750  ._gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  1_rcur 19913  CRingccrg 19965  var₁cv1 21547  Poly₁cpl1 21548   Mat cmat 21754   maAdju cmadu 21981   matToPolyMat cmat2pmat 22053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-cur 8198  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-assa 21259  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-mdet 21934  df-madu 21983  df-mat2pmat 22056  df-decpmat 22112

This theorem is referenced by:  cpmidgsum2  22228  cpmadumatpoly  22232