MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadugsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmadugsum 22735
Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as an infinite sum. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadugsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadugsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmadugsum.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadugsum.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadugsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
cpmadugsum.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmadugsum.m · = ( ·𝑠𝑌)
cpmadugsum.r × = (.r𝑌)
cpmadugsum.1 1 = (1r𝑌)
cpmadugsum.g + = (+g𝑌)
cpmadugsum.s = (-g𝑌)
cpmadugsum.i 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
cpmadugsum.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadugsum.0 0 = (0g𝑌)
cpmadugsum.g2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
Assertion
Ref Expression
cpmadugsum ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽𝐼)) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   × ,𝑖   · ,𝑖   1 ,𝑖   𝑖,𝑏,𝑠,𝑇   ,𝑖   ,𝑖   𝐴,𝑏,𝑛,𝑠   𝐵,𝑏,𝑛,𝑠   𝐼,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝐽,𝑏,𝑖,𝑛,𝑠   𝑀,𝑏,𝑛,𝑠   𝑁,𝑏,𝑛,𝑠   𝑃,𝑖,𝑛   𝑅,𝑏,𝑛,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑋,𝑏,𝑛,𝑠   𝑌,𝑏,𝑛,𝑠   ,𝑛,𝑠,𝑏   · ,𝑏,𝑛,𝑠   𝑖,𝐺   × ,𝑛   0 ,𝑛   ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑠,𝑏)   + (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   1 (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   (𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmadugsum
StepHypRef Expression
1 cpmadugsum.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 cpmadugsum.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 cpmadugsum.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 cpmadugsum.y . . 3 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5 cpmadugsum.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
6 cpmadugsum.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
7 cpmadugsum.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8 cpmadugsum.m . . 3 · = ( ·𝑠𝑌)
9 cpmadugsum.r . . 3 × = (.r𝑌)
10 cpmadugsum.1 . . 3 1 = (1r𝑌)
11 cpmadugsum.g . . 3 + = (+g𝑌)
12 cpmadugsum.s . . 3 = (-g𝑌)
13 cpmadugsum.i . . 3 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
14 cpmadugsum.j . . 3 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cpmadugsumfi 22734 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
16 simpr 484 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ (𝐼 × (𝐽𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) → (𝐼 × (𝐽𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
17 cpmadugsum.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑌)
18 cpmadugsum.g2 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
191, 2, 3, 4, 9, 12, 17, 5, 18, 6, 8, 7, 11chfacfscmulgsum 22717 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)))) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))))
2019eqcomd 2732 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)))))
2120adantr 480 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ (𝐼 × (𝐽𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) → ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)))))
2216, 21eqtrd 2766 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ (𝐼 × (𝐽𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))))) → (𝐼 × (𝐽𝐼)) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)))))
2322ex 412 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝐼 × (𝐽𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) → (𝐼 × (𝐽𝐼)) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖))))))
2423reximdvva 3199 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽𝐼)) = ((𝑌 Σg (𝑖 ∈ (1...𝑠) ↦ ((𝑖 𝑋) · ((𝑇‘(𝑏‘(𝑖 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑖))))))) + ((((𝑠 + 1) 𝑋) · (𝑇‘(𝑏𝑠))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0))))) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽𝐼)) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖))))))
2515, 24mpd 15 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐼 × (𝐽𝐼)) = (𝑌 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3064  ifcif 4523   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6537  (class class class)co 7405  m cmap 8822  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  cmin 11448  cn 12216  0cn0 12476  ...cfz 13490  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394   Σg cgsu 17395  -gcsg 18865  .gcmg 18995  mulGrpcmgp 20039  1rcur 20086  CRingccrg 20139  var1cv1 22050  Poly1cpl1 22051   Mat cmat 22262   maAdju cmadu 22489   matToPolyMat cmat2pmat 22561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-cur 8253  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-symg 19287  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-assa 21748  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-mdet 22442  df-madu 22491  df-mat2pmat 22564  df-decpmat 22620
This theorem is referenced by:  cpmidgsum2  22736  cpmadumatpoly  22740
  Copyright terms: Public domain W3C validator