![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cpmadugsum | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as an infinite sum. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
cpmadugsum.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
cpmadugsum.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
cpmadugsum.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
cpmadugsum.y | โข ๐ = (๐ Mat ๐) |
cpmadugsum.t | โข ๐ = (๐ matToPolyMat ๐ ) |
cpmadugsum.x | โข ๐ = (var1โ๐ ) |
cpmadugsum.e | โข โ = (.gโ(mulGrpโ๐)) |
cpmadugsum.m | โข ยท = ( ยท๐ โ๐) |
cpmadugsum.r | โข ร = (.rโ๐) |
cpmadugsum.1 | โข 1 = (1rโ๐) |
cpmadugsum.g | โข + = (+gโ๐) |
cpmadugsum.s | โข โ = (-gโ๐) |
cpmadugsum.i | โข ๐ผ = ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)) |
cpmadugsum.j | โข ๐ฝ = (๐ maAdju ๐) |
cpmadugsum.0 | โข 0 = (0gโ๐) |
cpmadugsum.g2 | โข ๐บ = (๐ โ โ0 โฆ if(๐ = 0, ( 0 โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))), if(๐ = (๐ + 1), (๐โ(๐โ๐ )), if((๐ + 1) < ๐, 0 , ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))))) |
Ref | Expression |
---|---|
cpmadugsum | โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ โ๐ โ โ โ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))(๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐บโ๐))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cpmadugsum.a | . . 3 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
2 | cpmadugsum.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
3 | cpmadugsum.p | . . 3 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
4 | cpmadugsum.y | . . 3 โข ๐ = (๐ Mat ๐) | |
5 | cpmadugsum.t | . . 3 โข ๐ = (๐ matToPolyMat ๐ ) | |
6 | cpmadugsum.x | . . 3 โข ๐ = (var1โ๐ ) | |
7 | cpmadugsum.e | . . 3 โข โ = (.gโ(mulGrpโ๐)) | |
8 | cpmadugsum.m | . . 3 โข ยท = ( ยท๐ โ๐) | |
9 | cpmadugsum.r | . . 3 โข ร = (.rโ๐) | |
10 | cpmadugsum.1 | . . 3 โข 1 = (1rโ๐) | |
11 | cpmadugsum.g | . . 3 โข + = (+gโ๐) | |
12 | cpmadugsum.s | . . 3 โข โ = (-gโ๐) | |
13 | cpmadugsum.i | . . 3 โข ๐ผ = ((๐ ยท 1 ) โ (๐โ๐)) | |
14 | cpmadugsum.j | . . 3 โข ๐ฝ = (๐ maAdju ๐) | |
15 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | cpmadugsumfi 22249 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ โ๐ โ โ โ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))(๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) |
16 | simpr 486 | . . . . 5 โข ((((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) โ (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) | |
17 | cpmadugsum.0 | . . . . . . . 8 โข 0 = (0gโ๐) | |
18 | cpmadugsum.g2 | . . . . . . . 8 โข ๐บ = (๐ โ โ0 โฆ if(๐ = 0, ( 0 โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))), if(๐ = (๐ + 1), (๐โ(๐โ๐ )), if((๐ + 1) < ๐, 0 , ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐)))))))) | |
19 | 1, 2, 3, 4, 9, 12, 17, 5, 18, 6, 8, 7, 11 | chfacfscmulgsum 22232 | . . . . . . 7 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐บโ๐)))) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) |
20 | 19 | eqcomd 2739 | . . . . . 6 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐บโ๐))))) |
21 | 20 | adantr 482 | . . . . 5 โข ((((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) โ ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐บโ๐))))) |
22 | 16, 21 | eqtrd 2773 | . . . 4 โข ((((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โง (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0)))))) โ (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐บโ๐))))) |
23 | 22 | ex 414 | . . 3 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ โ โง ๐ โ (๐ต โm (0...๐ )))) โ ((๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) โ (๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐บโ๐)))))) |
24 | 23 | reximdvva 3199 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ (โ๐ โ โ โ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))(๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = ((๐ ฮฃg (๐ โ (1...๐ ) โฆ ((๐ โ ๐) ยท ((๐โ(๐โ(๐ โ 1))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ๐))))))) + ((((๐ + 1) โ ๐) ยท (๐โ(๐โ๐ ))) โ ((๐โ๐) ร (๐โ(๐โ0))))) โ โ๐ โ โ โ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))(๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐บโ๐)))))) |
25 | 15, 24 | mpd 15 | 1 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต) โ โ๐ โ โ โ๐ โ (๐ต โm (0...๐ ))(๐ผ ร (๐ฝโ๐ผ)) = (๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ โ ๐) ยท (๐บโ๐))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3070 ifcif 4490 class class class wbr 5109 โฆ cmpt 5192 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โm cmap 8771 Fincfn 8889 0cc0 11059 1c1 11060 + caddc 11062 < clt 11197 โ cmin 11393 โcn 12161 โ0cn0 12421 ...cfz 13433 Basecbs 17091 +gcplusg 17141 .rcmulr 17142 ยท๐ cvsca 17145 0gc0g 17329 ฮฃg cgsu 17330 -gcsg 18758 .gcmg 18880 mulGrpcmgp 19904 1rcur 19921 CRingccrg 19973 var1cv1 21570 Poly1cpl1 21571 Mat cmat 21777 maAdju cmadu 22004 matToPolyMat cmat2pmat 22076 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 ax-addf 11138 ax-mulf 11139 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-xor 1511 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-tp 4595 df-op 4597 df-ot 4599 df-uni 4870 df-int 4912 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-se 5593 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-of 7621 df-ofr 7622 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-supp 8097 df-tpos 8161 df-cur 8202 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-1o 8416 df-2o 8417 df-er 8654 df-map 8773 df-pm 8774 df-ixp 8842 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-fin 8893 df-fsupp 9312 df-sup 9386 df-oi 9454 df-card 9883 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-4 12226 df-5 12227 df-6 12228 df-7 12229 df-8 12230 df-9 12231 df-n0 12422 df-xnn0 12494 df-z 12508 df-dec 12627 df-uz 12772 df-rp 12924 df-fz 13434 df-fzo 13577 df-seq 13916 df-exp 13977 df-hash 14240 df-word 14412 df-lsw 14460 df-concat 14468 df-s1 14493 df-substr 14538 df-pfx 14568 df-splice 14647 df-reverse 14656 df-s2 14746 df-struct 17027 df-sets 17044 df-slot 17062 df-ndx 17074 df-base 17092 df-ress 17121 df-plusg 17154 df-mulr 17155 df-starv 17156 df-sca 17157 df-vsca 17158 df-ip 17159 df-tset 17160 df-ple 17161 df-ds 17163 df-unif 17164 df-hom 17165 df-cco 17166 df-0g 17331 df-gsum 17332 df-prds 17337 df-pws 17339 df-mre 17474 df-mrc 17475 df-acs 17477 df-mgm 18505 df-sgrp 18554 df-mnd 18565 df-mhm 18609 df-submnd 18610 df-efmnd 18687 df-grp 18759 df-minusg 18760 df-sbg 18761 df-mulg 18881 df-subg 18933 df-ghm 19014 df-gim 19057 df-cntz 19105 df-oppg 19132 df-symg 19157 df-pmtr 19232 df-psgn 19281 df-cmn 19572 df-abl 19573 df-mgp 19905 df-ur 19922 df-srg 19926 df-ring 19974 df-cring 19975 df-oppr 20057 df-dvdsr 20078 df-unit 20079 df-invr 20109 df-dvr 20120 df-rnghom 20156 df-drng 20221 df-subrg 20262 df-lmod 20367 df-lss 20437 df-sra 20678 df-rgmod 20679 df-cnfld 20820 df-zring 20893 df-zrh 20927 df-dsmm 21161 df-frlm 21176 df-assa 21282 df-ascl 21284 df-psr 21334 df-mvr 21335 df-mpl 21336 df-opsr 21338 df-psr1 21574 df-vr1 21575 df-ply1 21576 df-coe1 21577 df-mamu 21756 df-mat 21778 df-mdet 21957 df-madu 22006 df-mat2pmat 22079 df-decpmat 22135 |
This theorem is referenced by: cpmidgsum2 22251 cpmadumatpoly 22255 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |