MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadugsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cpmadugsum 22379
Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as an infinite sum. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadugsum.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
cpmadugsum.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
cpmadugsum.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
cpmadugsum.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
cpmadugsum.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
cpmadugsum.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
cpmadugsum.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
cpmadugsum.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.r ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.1 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.g + = (+gโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.s โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.i ๐ผ = ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))
cpmadugsum.j ๐ฝ = (๐‘ maAdju ๐‘ƒ)
cpmadugsum.0 0 = (0gโ€˜๐‘Œ)
cpmadugsum.g2 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, ( 0 โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))), if(๐‘› = (๐‘  + 1), (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )), if((๐‘  + 1) < ๐‘›, 0 , ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘›))))))))
Assertion
Ref Expression
cpmadugsum ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–   ๐‘–,๐‘€   ๐‘–,๐‘   ๐‘…,๐‘–   ๐‘–,๐‘‹   ๐‘–,๐‘Œ   ร— ,๐‘–   ยท ,๐‘–   1 ,๐‘–   ๐‘–,๐‘,๐‘ ,๐‘‡   โ†‘ ,๐‘–   โˆ’ ,๐‘–   ๐ด,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐ต,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐ผ,๐‘,๐‘–,๐‘›,๐‘    ๐ฝ,๐‘,๐‘–,๐‘›,๐‘    ๐‘€,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘›   ๐‘…,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘‡,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘‹,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘Œ,๐‘,๐‘›,๐‘    โ†‘ ,๐‘›,๐‘ ,๐‘   ยท ,๐‘,๐‘›,๐‘    ๐‘–,๐บ   ร— ,๐‘›   0 ,๐‘›   โˆ’ ,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–)   ๐‘ƒ(๐‘ ,๐‘)   + (๐‘–,๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ร— (๐‘ ,๐‘)   1 (๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐บ(๐‘›,๐‘ ,๐‘)   โˆ’ (๐‘ ,๐‘)   0 (๐‘–,๐‘ ,๐‘)
Proof of Theorem cpmadugsum
StepHypRef Expression
1 cpmadugsum.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 cpmadugsum.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
3 cpmadugsum.p . . 3 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 cpmadugsum.y . . 3 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
5 cpmadugsum.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
6 cpmadugsum.x . . 3 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
7 cpmadugsum.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
8 cpmadugsum.m . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
9 cpmadugsum.r . . 3 ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
10 cpmadugsum.1 . . 3 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
11 cpmadugsum.g . . 3 + = (+gโ€˜๐‘Œ)
12 cpmadugsum.s . . 3 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
13 cpmadugsum.i . . 3 ๐ผ = ((๐‘‹ ยท 1 ) โˆ’ (๐‘‡โ€˜๐‘€))
14 cpmadugsum.j . . 3 ๐ฝ = (๐‘ maAdju ๐‘ƒ)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cpmadugsumfi 22378 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
16 simpr 485 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))) โ†’ (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
17 cpmadugsum.0 . . . . . . . 8 0 = (0gโ€˜๐‘Œ)
18 cpmadugsum.g2 . . . . . . . 8 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, ( 0 โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))), if(๐‘› = (๐‘  + 1), (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )), if((๐‘  + 1) < ๐‘›, 0 , ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘›))))))))
191, 2, 3, 4, 9, 12, 17, 5, 18, 6, 8, 7, 11chfacfscmulgsum 22361 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))))
2019eqcomd 2738 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
2120adantr 481 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))) โ†’ ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
2216, 21eqtrd 2772 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))))) โ†’ (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
2322ex 413 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ ((๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) โ†’ (๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
2423reximdvva 3205 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = ((๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (1...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘– โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘–))))))) + ((((๐‘  + 1) โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ ))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0))))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–))))))
2515, 24mpd 15 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))(๐ผ ร— (๐ฝโ€˜๐ผ)) = (๐‘Œ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070  ifcif 4528   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โ†‘m cmap 8819  Fincfn 8938  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247   โˆ’ cmin 11443  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  ...cfz 13483  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197   ยท๐‘  cvsca 17200  0gc0g 17384   ฮฃg cgsu 17385  -gcsg 18820  .gcmg 18949  mulGrpcmgp 19986  1rcur 20003  CRingccrg 20056  var1cv1 21699  Poly1cpl1 21700   Mat cmat 21906   maAdju cmadu 22133   matToPolyMat cmat2pmat 22205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-cur 8251  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-splice 14699  df-reverse 14708  df-s2 14798  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-efmnd 18749  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-gim 19132  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-symg 19234  df-pmtr 19309  df-psgn 19358  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-srg 20009  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-assa 21407  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-vr1 21704  df-ply1 21705  df-coe1 21706  df-mamu 21885  df-mat 21907  df-mdet 22086  df-madu 22135  df-mat2pmat 22208  df-decpmat 22264
This theorem is referenced by:  cpmidgsum2  22380  cpmadumatpoly  22384
  Copyright terms: Public domain W3C validator