Theorem ehleudisval 24935

Description: The value of the Euclidean distance function in a real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehleudis.i	⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
ehleudis.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
ehleudis.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
ehleudis.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehleudisval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem ehleudisval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehleudis.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
2		ehleudis.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
3	2	ehlval 24930	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
4	3	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
5	1, 4	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
6	5	oveqd 7425	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺))
7	6	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺))
8		ehleudis.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
9		fzfi 13936	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
10	8, 9	eqeltri 2829	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Fin
11		ehleudis.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
12	11	eleq2i 2825	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 ↔ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
13	12	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
14	13	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15	11	eleq2i 2825	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 ↔ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
16	15	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
17	16	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
18		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
19	8	eqcomi 2741	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) = 𝐼
20	19	fveq2i 6894	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘𝐼)
21	20	fveq2i 6894	. . . 4 ⊢ (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
22	18, 21	rrxdsfival 24929	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
23	10, 14, 17, 22	mp3an2i 1466	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
24	7, 23	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938  ℝcr 11108  1c1 11110   − cmin 11443  2c2 12266  ℕ₀cn0 12471  ...cfz 13483  ↑cexp 14026  √csqrt 15179  Σcsu 15631  distcds 17205  ℝ^crrx 24899  𝔼_hilcehl 24900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-field 20359  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-cnfld 20944  df-refld 21157  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-nm 24090  df-tng 24092  df-tcph 24685  df-rrx 24901  df-ehl 24902

This theorem is referenced by: (None)