Theorem ehleudisval 25578

Description: The value of the Euclidean distance function in a real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehleudis.i	⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
ehleudis.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
ehleudis.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
ehleudis.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehleudisval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem ehleudisval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehleudis.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
2		ehleudis.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
3	2	ehlval 25573	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
4	3	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
5	1, 4	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
6	5	oveqd 7427	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺))
7	6	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺))
8		ehleudis.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
9		fzfi 14004	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
10	8, 9	eqeltri 2859	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Fin
11		ehleudis.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
12	11	eleq2i 2855	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 ↔ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
13	12	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
14	13	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15	11	eleq2i 2855	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 ↔ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
16	15	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
17	16	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
19	8	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) = 𝐼
20	19	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘𝐼)
21	20	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
22	18, 21	rrxdsfival 25572	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
23	10, 14, 17, 22	mp3an2i 1495	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
24	7, 23	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  ℝcr 11094  1c1 11096   − cmin 11436  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530  ↑cexp 14093  √csqrt 15280  Σcsu 15733  distcds 17314  ℝ^crrx 25542  𝔼_hilcehl 25543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-drng 20829  df-field 20830  df-staf 20942  df-srng 20943  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-cnfld 21523  df-refld 21755  df-dsmm 21882  df-frlm 21897  df-nm 24739  df-tng 24741  df-tcph 25328  df-rrx 25544  df-ehl 25545

This theorem is referenced by: (None)