Theorem ehleudisval 25650

Description: The value of the Euclidean distance function in a real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehleudis.i	⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
ehleudis.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
ehleudis.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
ehleudis.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehleudisval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem ehleudisval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehleudis.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
2		ehleudis.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
3	2	ehlval 25645	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
4	3	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
5	1, 4	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
6	5	oveqd 7431	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺))
7	6	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺))
8		ehleudis.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
9		fzfi 14039	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
10	8, 9	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Fin
11		ehleudis.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
12	11	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 ↔ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
13	12	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
14	13	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15	11	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 ↔ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
16	15	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
17	16	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
18		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
19	8	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) = 𝐼
20	19	fveq2i 6882	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘𝐼)
21	20	fveq2i 6882	. . . 4 ⊢ (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
22	18, 21	rrxdsfival 25644	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
23	10, 14, 17, 22	mp3an2i 1495	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
24	7, 23	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  ℝcr 11126  1c1 11128   − cmin 11468  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ...cfz 13564  ↑cexp 14128  √csqrt 15323  Σcsu 15776  distcds 17354  ℝ^crrx 25614  𝔼_hilcehl 25615

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-sum 15777  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-prds 17535  df-pws 17537  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-drng 20895  df-field 20896  df-staf 21008  df-srng 21009  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-cnfld 21589  df-refld 21821  df-dsmm 21948  df-frlm 21963  df-nm 24811  df-tng 24813  df-tcph 25400  df-rrx 25616  df-ehl 25617

This theorem is used by: (None)