Theorem ehleudisval 23725

Description: The value of the Euclidean distance function in a real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehleudis.i	⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
ehleudis.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
ehleudis.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
ehleudis.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehleudisval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem ehleudisval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehleudis.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
2		ehleudis.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
3	2	ehlval 23720	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
4	3	fveq2d 6503	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
5	1, 4	syl5eq 2826	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
6	5	oveqd 6993	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺))
7	6	3ad2ant1 1113	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺))
8		ehleudis.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
9		fzfi 13155	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
10	8, 9	eqeltri 2862	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Fin
11		ehleudis.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
12	11	eleq2i 2857	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 ↔ 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
13	12	biimpi 208	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
14	13	3ad2ant2 1114	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
15	11	eleq2i 2857	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 ↔ 𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
16	15	biimpi 208	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → 𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
17	16	3ad2ant3 1115	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
18		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
19	8	eqcomi 2787	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) = 𝐼
20	19	fveq2i 6502	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘𝐼)
21	20	fveq2i 6502	. . . 4 ⊢ (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
22	18, 21	rrxdsfival 23719	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
23	10, 14, 17, 22	mp3an2i 1445	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
24	7, 23	eqtrd 2814	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ↑_𝑚 cmap 8206  Fincfn 8306  ℝcr 10334  1c1 10336   − cmin 10670  2c2 11495  ℕ₀cn0 11707  ...cfz 12708  ↑cexp 13244  √csqrt 14453  Σcsu 14903  distcds 16430  ℝ^crrx 23689  𝔼_hilcehl 23690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-prds 16577  df-pws 16579  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-dvr 19156  df-rnghom 19190  df-drng 19227  df-field 19228  df-subrg 19256  df-staf 19338  df-srng 19339  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-cnfld 20248  df-refld 20451  df-dsmm 20578  df-frlm 20593  df-nm 22895  df-tng 22897  df-tcph 23476  df-rrx 23691  df-ehl 23692

This theorem is referenced by: (None)