MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehleudisval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehleudisval 25321
Description: The value of the Euclidean distance function in a real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehleudis.i 𝐼 = (1...𝑁)
ehleudis.e 𝐸 = (𝔼hilβ€˜π‘)
ehleudis.x 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
ehleudis.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
ehleudisval ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐼   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   𝐸(π‘˜)   𝑁(π‘˜)

Proof of Theorem ehleudisval
StepHypRef Expression
1 ehleudis.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
2 ehleudis.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝔼hilβ€˜π‘)
32ehlval 25316 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐸 = (ℝ^β€˜(1...𝑁)))
43fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (distβ€˜πΈ) = (distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))))
51, 4eqtrid 2779 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))))
65oveqd 7431 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁)))𝐺))
763ad2ant1 1131 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁)))𝐺))
8 ehleudis.i . . . 4 𝐼 = (1...𝑁)
9 fzfi 13955 . . . 4 (1...𝑁) ∈ Fin
108, 9eqeltri 2824 . . 3 𝐼 ∈ Fin
11 ehleudis.x . . . . . 6 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
1211eleq2i 2820 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑋 ↔ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
1312biimpi 215 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑋 β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
14133ad2ant2 1132 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
1511eleq2i 2820 . . . . 5 (𝐺 ∈ 𝑋 ↔ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
1615biimpi 215 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝑋 β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
17163ad2ant3 1133 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
18 eqid 2727 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
198eqcomi 2736 . . . . . 6 (1...𝑁) = 𝐼
2019fveq2i 6894 . . . . 5 (ℝ^β€˜(1...𝑁)) = (ℝ^β€˜πΌ)
2120fveq2i 6894 . . . 4 (distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
2218, 21rrxdsfival 25315 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (𝐹(distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁)))𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
2310, 14, 17, 22mp3an2i 1463 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹(distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁)))𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
247, 23eqtrd 2767 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8834  Fincfn 8953  β„cr 11123  1c1 11125   βˆ’ cmin 11460  2c2 12283  β„•0cn0 12488  ...cfz 13502  β†‘cexp 14044  βˆšcsqrt 15198  Ξ£csu 15650  distcds 17227  β„^crrx 25285  π”Όhilcehl 25286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-rhm 20393  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-drng 20608  df-field 20609  df-staf 20707  df-srng 20708  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-cnfld 21260  df-refld 21517  df-dsmm 21646  df-frlm 21661  df-nm 24465  df-tng 24467  df-tcph 25071  df-rrx 25287  df-ehl 25288
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator