Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehleudisval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehleudisval 24119
 Description: The value of the Euclidean distance function in a real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehleudis.i 𝐼 = (1...𝑁)
ehleudis.e 𝐸 = (𝔼hil𝑁)
ehleudis.x 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
ehleudis.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
ehleudisval ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem ehleudisval
StepHypRef Expression
1 ehleudis.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝐸)
2 ehleudis.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝔼hil𝑁)
32ehlval 24114 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
43fveq2d 6662 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
51, 4syl5eq 2805 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝐷 = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
65oveqd 7167 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺))
763ad2ant1 1130 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺))
8 ehleudis.i . . . 4 𝐼 = (1...𝑁)
9 fzfi 13389 . . . 4 (1...𝑁) ∈ Fin
108, 9eqeltri 2848 . . 3 𝐼 ∈ Fin
11 ehleudis.x . . . . . 6 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
1211eleq2i 2843 . . . . 5 (𝐹𝑋𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
1312biimpi 219 . . . 4 (𝐹𝑋𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
14133ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
1511eleq2i 2843 . . . . 5 (𝐺𝑋𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
1615biimpi 219 . . . 4 (𝐺𝑋𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
17163ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
18 eqid 2758 . . . 4 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
198eqcomi 2767 . . . . . 6 (1...𝑁) = 𝐼
2019fveq2i 6661 . . . . 5 (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘𝐼)
2120fveq2i 6661 . . . 4 (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
2218, 21rrxdsfival 24113 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
2310, 14, 17, 22mp3an2i 1463 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(dist‘(ℝ^‘(1...𝑁)))𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
247, 23eqtrd 2793 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ↑m cmap 8416  Fincfn 8527  ℝcr 10574  1c1 10576   − cmin 10908  2c2 11729  ℕ0cn0 11934  ...cfz 12939  ↑cexp 13479  √csqrt 14640  Σcsu 15090  distcds 16632  ℝ^crrx 24083  𝔼hilcehl 24084 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-sum 15091  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-prds 16779  df-pws 16781  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-cring 19368  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-rnghom 19538  df-drng 19572  df-field 19573  df-subrg 19601  df-staf 19684  df-srng 19685  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-cnfld 20167  df-refld 20370  df-dsmm 20497  df-frlm 20512  df-nm 23284  df-tng 23286  df-tcph 23870  df-rrx 24085  df-ehl 24086 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator