Theorem elpi1 23169

Description: The elements of the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
elpi1	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝑋   𝐵,𝑓   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝑌

Proof of Theorem elpi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpi1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		elpi1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		elpi1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		elpi1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6	1, 2, 3, 5	pi1bas2 23165	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)))
7	6	eleq2d 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽))))
8		elex 3398	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) → 𝐹 ∈ V)
9		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))
10		fvex 6422	. . . . . . 7 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
11		ecexg 7984	. . . . . . 7 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ V
13	9, 12	syl6eqel 2884	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝐹 ∈ V)
14	13	rexlimivw 3208	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝐹 ∈ V)
15		elqsg 8034	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) ↔ ∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)))
16	8, 14, 15	pm5.21nii 370	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) ↔ ∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))
17	1, 2, 3, 5	pi1eluni 23166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)))
18		3anass 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)))
19	17, 18	syl6bb 279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌))))
20	19	anbi1d 624	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
21		anass 461	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
22	20, 21	syl6bb 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)))))
23	22	rexbidv2 3227	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
24	16, 23	syl5bb 275	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
25	7, 24	bitrd 271	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∃wrex 3088  Vcvv 3383  ∪ cuni 4626  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  [cec 7978   / cqs 7979  0cc0 10222  1c1 10223  Basecbs 16181  TopOnctopon 21040   Cn ccn 21354  IIcii 23003   ≃_phcphtpc 23093   π₁ cpi1 23127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300  ax-mulf 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-ec 7982  df-qs 7986  df-map 8095  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-fi 8557  df-sup 8588  df-inf 8589  df-oi 8655  df-card 9049  df-cda 9276  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-q 12030  df-rp 12071  df-xneg 12189  df-xadd 12190  df-xmul 12191  df-ioo 12424  df-icc 12427  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-seq 13052  df-exp 13111  df-hash 13367  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-hom 16288  df-cco 16289  df-rest 16395  df-topn 16396  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-topgen 16416  df-pt 16417  df-prds 16420  df-xrs 16474  df-qtop 16479  df-imas 16480  df-qus 16481  df-xps 16482  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-mulg 17854  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060  df-mopn 20061  df-cnfld 20066  df-top 21024  df-topon 21041  df-topsp 21063  df-bases 21076  df-cld 21149  df-cn 21357  df-cnp 21358  df-tx 21691  df-hmeo 21884  df-xms 22450  df-ms 22451  df-tms 22452  df-ii 23005  df-htpy 23094  df-phtpy 23095  df-phtpc 23116  df-om1 23130  df-pi1 23132

This theorem is referenced by:  elpi1i  23170  sconnpi1  31730