Theorem elpi1 25001

Description: The elements of the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
elpi1	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝑋   𝐵,𝑓   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝑌

Proof of Theorem elpi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpi1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		elpi1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		elpi1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		elpi1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6	1, 2, 3, 5	pi1bas2 24997	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)))
7	6	eleq2d 2821	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽))))
8		elex 3485	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) → 𝐹 ∈ V)
9		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))
10		fvex 6894	. . . . . . 7 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
11		ecexg 8728	. . . . . . 7 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ V
13	9, 12	eqeltrdi 2843	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝐹 ∈ V)
14	13	rexlimivw 3138	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝐹 ∈ V)
15		elqsg 8787	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) ↔ ∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)))
16	8, 14, 15	pm5.21nii 378	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) ↔ ∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))
17	1, 2, 3, 5	pi1eluni 24998	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)))
18		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)))
19	17, 18	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌))))
20	19	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
21		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
22	20, 21	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)))))
23	22	rexbidv2 3161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
24	16, 23	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
25	7, 24	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061  Vcvv 3464  ∪ cuni 4888  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  [cec 8722   / cqs 8723  0cc0 11134  1c1 11135  Basecbs 17233  TopOnctopon 22853   Cn ccn 23167  IIcii 24824   ≃_phcphtpc 24924   π₁ cpi1 24959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-qus 17528  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-ii 24826  df-htpy 24925  df-phtpy 24926  df-phtpc 24947  df-om1 24962  df-pi1 24964

This theorem is referenced by:  elpi1i  25002  sconnpi1  35266