MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1inv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1inv 25040
Description: An inverse in the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1grp.2 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1inv.n 𝑁 = (invg𝐺)
pi1inv.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1inv.y (𝜑𝑌𝑋)
pi1inv.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1inv.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
pi1inv.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
pi1inv.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
pi1inv (𝜑 → (𝑁‘[𝐹]( ≃ph𝐽)) = [𝐼]( ≃ph𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem pi1inv
StepHypRef Expression
1 pi1grp.2 . . . 4 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2 eqid 2725 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3 pi1inv.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4 pi1inv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑋)
5 eqid 2725 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6 pi1inv.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7 pi1inv.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
87pcorevcl 25013 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
96, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
109simp1d 1139 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
119simp2d 1140 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
12 pi1inv.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
1311, 12eqtrd 2765 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘0) = 𝑌)
149simp3d 1141 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
15 pi1inv.0 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
1614, 15eqtrd 2765 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘1) = 𝑌)
172a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
181, 3, 4, 17pi1eluni 25030 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 (Base‘𝐺) ↔ (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = 𝑌 ∧ (𝐼‘1) = 𝑌)))
1910, 13, 16, 18mpbir3and 1339 . . . 4 (𝜑𝐼 (Base‘𝐺))
201, 3, 4, 17pi1eluni 25030 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 (Base‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)))
216, 15, 12, 20mpbir3and 1339 . . . 4 (𝜑𝐹 (Base‘𝐺))
221, 2, 3, 4, 5, 19, 21pi1addval 25036 . . 3 (𝜑 → ([𝐼]( ≃ph𝐽)(+g𝐺)[𝐹]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)𝐹)]( ≃ph𝐽))
23 phtpcer 24982 . . . . 5 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
25 eqid 2725 . . . . . . 7 ((0[,]1) × {(𝐹‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
267, 25pcorev 25015 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘1)}))
276, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘1)}))
2812sneqd 4642 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝐹‘1)} = {𝑌})
2928xpeq2d 5708 . . . . 5 (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘1)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
3027, 29breqtrd 5175 . . . 4 (𝜑 → (𝐼(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {𝑌}))
3124, 30erthi 8777 . . 3 (𝜑 → [(𝐼(*𝑝𝐽)𝐹)]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽))
32 eqid 2725 . . . . 5 ((0[,]1) × {𝑌}) = ((0[,]1) × {𝑌})
331, 2, 3, 4, 32pi1grplem 25037 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺)))
3433simprd 494 . . 3 (𝜑 → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺))
3522, 31, 343eqtrd 2769 . 2 (𝜑 → ([𝐼]( ≃ph𝐽)(+g𝐺)[𝐹]( ≃ph𝐽)) = (0g𝐺))
3633simpld 493 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
371, 2, 3, 4, 6, 15, 12elpi1i 25034 . . 3 (𝜑 → [𝐹]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘𝐺))
381, 2, 3, 4, 10, 13, 16elpi1i 25034 . . 3 (𝜑 → [𝐼]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘𝐺))
39 eqid 2725 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
40 pi1inv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
412, 5, 39, 40grpinvid2 18973 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ [𝐹]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘𝐺) ∧ [𝐼]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘[𝐹]( ≃ph𝐽)) = [𝐼]( ≃ph𝐽) ↔ ([𝐼]( ≃ph𝐽)(+g𝐺)[𝐹]( ≃ph𝐽)) = (0g𝐺)))
4236, 37, 38, 41syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘[𝐹]( ≃ph𝐽)) = [𝐼]( ≃ph𝐽) ↔ ([𝐼]( ≃ph𝐽)(+g𝐺)[𝐹]( ≃ph𝐽)) = (0g𝐺)))
4335, 42mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑁‘[𝐹]( ≃ph𝐽)) = [𝐼]( ≃ph𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4630   cuni 4909   class class class wbr 5149  cmpt 5232   × cxp 5676  cfv 6549  (class class class)co 7419   Er wer 8722  [cec 8723  0cc0 11145  1c1 11146  cmin 11481  [,]cicc 13367  Basecbs 17199  +gcplusg 17252  0gc0g 17440  Grpcgrp 18914  invgcminusg 18915  TopOnctopon 22873   Cn ccn 23189  IIcii 24856  phcphtpc 24956  *𝑝cpco 24988   π1 cpi1 24991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14334  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-starv 17267  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-ip 17270  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-unif 17275  df-hom 17276  df-cco 17277  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-topgen 17444  df-pt 17445  df-prds 17448  df-xrs 17503  df-qtop 17508  df-imas 17509  df-qus 17510  df-xps 17511  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-mulg 19048  df-cntz 19297  df-cmn 19766  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22857  df-topon 22874  df-topsp 22896  df-bases 22910  df-cld 22984  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-xms 24287  df-ms 24288  df-tms 24289  df-ii 24858  df-htpy 24957  df-phtpy 24958  df-phtpc 24979  df-pco 24993  df-om1 24994  df-pi1 24996
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator