Theorem pi1inv 25180

Description: An inverse in the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1grp.2	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1inv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
pi1inv.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1inv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1inv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1inv.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
pi1inv.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
pi1inv.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
pi1inv	⊢ (𝜑 → (𝑁‘[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [𝐼]( ≃ph‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem pi1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1grp.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		pi1inv.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		pi1inv.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		pi1inv.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7		pi1inv.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8	7	pcorevcl 25153	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
9	6, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
10	9	simp1d 1158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
11	9	simp2d 1159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
12		pi1inv.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
13	11, 12	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘0) = 𝑌)
14	9	simp3d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
15		pi1inv.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
16	14, 15	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = 𝑌)
17	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
18	1, 3, 4, 17	pi1eluni 25170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ∪ (Base‘𝐺) ↔ (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = 𝑌 ∧ (𝐼‘1) = 𝑌)))
19	10, 13, 16, 18	mpbir3and 1359	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ∪ (Base‘𝐺))
20	1, 3, 4, 17	pi1eluni 25170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ∪ (Base‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)))
21	6, 15, 12, 20	mpbir3and 1359	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∪ (Base‘𝐺))
22	1, 2, 3, 4, 5, 19, 21	pi1addval 25176	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([𝐼]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝐺)[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)]( ≃ph‘𝐽))
23		phtpcer 25123	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
25		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐹‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
26	7, 25	pcorev 25155	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘1)}))
27	6, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘1)}))
28	12	sneqd 4606	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘1)} = {𝑌})
29	28	xpeq2d 5692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘1)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
30	27, 29	breqtrd 5141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {𝑌}))
31	24, 30	erthi 8751	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽))
32		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) × {𝑌}) = ((0[,]1) × {𝑌})
33	1, 2, 3, 4, 32	pi1grplem 25177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)))
34	33	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺))
35	22, 31, 34	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝐼]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝐺)[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = (0g‘𝐺))
36	33	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
37	1, 2, 3, 4, 6, 15, 12	elpi1i 25174	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝐹]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝐺))
38	1, 2, 3, 4, 10, 13, 16	elpi1i 25174	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝐼]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝐺))
39		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
40		pi1inv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
41	2, 5, 39, 40	grpinvid2 19059	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ [𝐹]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝐺) ∧ [𝐼]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [𝐼]( ≃ph‘𝐽) ↔ ([𝐼]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝐺)[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = (0g‘𝐺)))
42	36, 37, 38, 41	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [𝐼]( ≃ph‘𝐽) ↔ ([𝐼]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝐺)[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = (0g‘𝐺)))
43	35, 42	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [𝐼]( ≃ph‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594  ∪ cuni 4876   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   Er wer 8691  [cec 8692  0cc0 11100  1c1 11101   − cmin 11441  [,]cicc 13375  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  0_gc0g 17492  Grpcgrp 19000  inv_gcminusg 19001  TopOnctopon 23036   Cn ccn 23350  IIcii 25003   ≃_phcphtpc 25097  *_𝑝cpco 25128   π₁ cpi1 25131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-qus 17563  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-ii 25005  df-htpy 25098  df-phtpy 25099  df-phtpc 25120  df-pco 25133  df-om1 25134  df-pi1 25136

This theorem is referenced by: (None)