Theorem pi1inv 25320

Description: An inverse in the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1grp.2	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1inv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
pi1inv.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1inv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1inv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1inv.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
pi1inv.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
pi1inv.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
pi1inv	⊢ (𝜑 → (𝑁‘[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [𝐼]( ≃ph‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem pi1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1grp.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		pi1inv.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		pi1inv.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		pi1inv.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7		pi1inv.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8	7	pcorevcl 25293	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
9	6, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
10	9	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
11	9	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
12		pi1inv.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
13	11, 12	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘0) = 𝑌)
14	9	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
15		pi1inv.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
16	14, 15	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = 𝑌)
17	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
18	1, 3, 4, 17	pi1eluni 25310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ∪ (Base‘𝐺) ↔ (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = 𝑌 ∧ (𝐼‘1) = 𝑌)))
19	10, 13, 16, 18	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ∪ (Base‘𝐺))
20	1, 3, 4, 17	pi1eluni 25310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ∪ (Base‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)))
21	6, 15, 12, 20	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∪ (Base‘𝐺))
22	1, 2, 3, 4, 5, 19, 21	pi1addval 25316	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([𝐼]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝐺)[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)]( ≃ph‘𝐽))
23		phtpcer 25263	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
25		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐹‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
26	7, 25	pcorev 25295	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘1)}))
27	6, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘1)}))
28	12	sneqd 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘1)} = {𝑌})
29	28	xpeq2d 5678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘1)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
30	27, 29	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {𝑌}))
31	24, 30	erthi 8753	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽))
32		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) × {𝑌}) = ((0[,]1) × {𝑌})
33	1, 2, 3, 4, 32	pi1grplem 25317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)))
34	33	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺))
35	22, 31, 34	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝐼]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝐺)[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = (0g‘𝐺))
36	33	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
37	1, 2, 3, 4, 6, 15, 12	elpi1i 25314	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝐹]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝐺))
38	1, 2, 3, 4, 10, 13, 16	elpi1i 25314	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝐼]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝐺))
39		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
40		pi1inv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
41	2, 5, 39, 40	grpinvid2 19150	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ [𝐹]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝐺) ∧ [𝐼]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [𝐼]( ≃ph‘𝐽) ↔ ([𝐼]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝐺)[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = (0g‘𝐺)))
42	36, 37, 38, 41	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [𝐼]( ≃ph‘𝐽) ↔ ([𝐼]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝐺)[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = (0g‘𝐺)))
43	35, 42	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [𝐼]( ≃ph‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5646  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   Er wer 8693  [cec 8694  0cc0 11157  1c1 11158   − cmin 11498  [,]cicc 13434  Basecbs 17334  +_gcplusg 17375  0_gc0g 17557  Grpcgrp 19091  inv_gcminusg 19092  TopOnctopon 23175   Cn ccn 23489  IIcii 25143   ≃_phcphtpc 25237  *_𝑝cpco 25268   π₁ cpi1 25271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-qus 17628  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cld 23284  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-ii 25145  df-htpy 25238  df-phtpy 25239  df-phtpc 25260  df-pco 25273  df-om1 25274  df-pi1 25276

This theorem is used by: (None)