Theorem pi1inv 25400

Description: An inverse in the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1grp.2	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1inv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
pi1inv.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1inv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1inv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1inv.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
pi1inv.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
pi1inv.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
pi1inv	⊢ (𝜑 → (𝑁‘[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [𝐼]( ≃ph‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem pi1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1grp.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		pi1inv.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4		pi1inv.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		pi1inv.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7		pi1inv.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8	7	pcorevcl 25373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
9	6, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
10	9	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
11	9	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
12		pi1inv.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
13	11, 12	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘0) = 𝑌)
14	9	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
15		pi1inv.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
16	14, 15	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘1) = 𝑌)
17	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
18	1, 3, 4, 17	pi1eluni 25390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ∪ (Base‘𝐺) ↔ (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = 𝑌 ∧ (𝐼‘1) = 𝑌)))
19	10, 13, 16, 18	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ∪ (Base‘𝐺))
20	1, 3, 4, 17	pi1eluni 25390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ∪ (Base‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)))
21	6, 15, 12, 20	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∪ (Base‘𝐺))
22	1, 2, 3, 4, 5, 19, 21	pi1addval 25396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([𝐼]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝐺)[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [(𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)]( ≃ph‘𝐽))
23		phtpcer 25343	. . . . 5 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
25		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐹‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
26	7, 25	pcorev 25375	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘1)}))
27	6, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘1)}))
28	12	sneqd 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘1)} = {𝑌})
29	28	xpeq2d 5685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘1)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
30	27, 29	breqtrd 5134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {𝑌}))
31	24, 30	erthi 8799	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(𝐼(*𝑝‘𝐽)𝐹)]( ≃ph‘𝐽) = [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽))
32		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) × {𝑌}) = ((0[,]1) × {𝑌})
33	1, 2, 3, 4, 32	pi1grplem 25397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺)))
34	33	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph‘𝐽) = (0g‘𝐺))
35	22, 31, 34	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ([𝐼]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝐺)[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = (0g‘𝐺))
36	33	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
37	1, 2, 3, 4, 6, 15, 12	elpi1i 25394	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝐹]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝐺))
38	1, 2, 3, 4, 10, 13, 16	elpi1i 25394	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝐼]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝐺))
39		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
40		pi1inv.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
41	2, 5, 39, 40	grpinvid2 19229	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ [𝐹]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝐺) ∧ [𝐼]( ≃ph‘𝐽) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [𝐼]( ≃ph‘𝐽) ↔ ([𝐼]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝐺)[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = (0g‘𝐺)))
42	36, 37, 38, 41	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [𝐼]( ≃ph‘𝐽) ↔ ([𝐼]( ≃ph‘𝐽)(+g‘𝐺)[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = (0g‘𝐺)))
43	35, 42	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘[𝐹]( ≃ph‘𝐽)) = [𝐼]( ≃ph‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   Er wer 8739  [cec 8740  0cc0 11224  1c1 11225   − cmin 11565  [,]cicc 13503  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  0_gc0g 17636  Grpcgrp 19170  inv_gcminusg 19171  TopOnctopon 23255   Cn ccn 23569  IIcii 25223   ≃_phcphtpc 25317  *_𝑝cpco 25348   π₁ cpi1 25351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-ec 8744  df-qs 8748  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-qus 17707  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-ii 25225  df-htpy 25318  df-phtpy 25319  df-phtpc 25340  df-pco 25353  df-om1 25354  df-pi1 25356

This theorem is used by: (None)