Theorem hdmapf1oN 42672

Description: Part 12 in [Baer] p. 49. The map from vectors to functionals with closed kernels maps one-to-one onto. Combined with hdmapadd 42650, this shows the map is an automorphism from the additive group of vectors to the additive group of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 30-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapf1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapf1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapf1o.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapf1o.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapf1o.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapf1o.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapf1o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hdmapf1oN	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝑉–1-1-onto→𝐷)

Proof of Theorem hdmapf1oN

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapf1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapf1o.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapf1o.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmapf1o.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmapf1o.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	hdmapfnN 42636	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Fn 𝑉)
7		hdmapf1o.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmapf1o.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9	1, 7, 8, 4, 5	hdmaprnN 42671	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 = 𝐷)
10	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
12		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
13	1, 2, 3, 4, 10, 11, 12	hdmap11 42655	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
14	13	biimpd 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
15	14	ralrimivva 3210	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
16		dff1o6 7279	. 2 ⊢ (𝑆:𝑉–1-1-onto→𝐷 ↔ (𝑆 Fn 𝑉 ∧ ran 𝑆 = 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
17	6, 9, 15, 16	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝑉–1-1-onto→𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ran crn 5664   Fn wfn 6535  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  Basecbs 17287  HLchlt 40157  LHypclh 40791  DVecHcdvh 41885  LCDualclcd 42393  HDMapchdma 42599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-riotaBAD 39760

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-0g 17512  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-proset 18368  df-poset 18387  df-plt 18402  df-lub 18418  df-glb 18419  df-join 18420  df-meet 18421  df-p0 18497  df-p1 18498  df-lat 18506  df-clat 18573  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-subg 19213  df-cntz 19411  df-oppg 19440  df-lsm 19730  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-dvr 20509  df-nzr 20640  df-rlreg 20823  df-domn 20824  df-drng 20859  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123  df-lvec 21254  df-lsatoms 39783  df-lshyp 39784  df-lcv 39826  df-lfl 39865  df-lkr 39893  df-ldual 39931  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-llines 40305  df-lplanes 40306  df-lvols 40307  df-lines 40308  df-psubsp 40310  df-pmap 40311  df-padd 40603  df-lhyp 40795  df-laut 40796  df-ldil 40911  df-ltrn 40912  df-trl 40966  df-tgrp 41550  df-tendo 41562  df-edring 41564  df-dveca 41810  df-disoa 41836  df-dvech 41886  df-dib 41946  df-dic 41980  df-dih 42036  df-doch 42155  df-djh 42202  df-lcdual 42394  df-mapd 42432  df-hvmap 42564  df-hdmap1 42600  df-hdmap 42601

This theorem is used by: (None)