Theorem hgmapvv 42732

Description: Value of a double involution. Part 1.2 of [Baer] p. 110 line 37. (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapvv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapvv.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvv.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapvv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapvv.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvv.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapvv.j	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapvv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem hgmapvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6890	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑅) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))))
2		id 23	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑅) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
3	1, 2	eqeq12d 2782	. 2 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑅) → ((𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋 ↔ (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅)))
4		hgmapvv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		eqid 2766	. . 3 ⊢ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
6		eqid 2766	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		hgmapvv.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
9		eqid 2766	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
10		hgmapvv.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
11		hgmapvv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2766	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2766	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14		eqid 2766	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
15		eqid 2766	. . 3 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
16		eqid 2766	. . 3 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
17		hgmapvv.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
18		hgmapvv.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
20		hgmapvv.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	20	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)))
22		eldifsn 4756	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)))
23	21, 22	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
24	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 23	hgmapvvlem3 42731	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)
25	4, 7, 10, 13, 17, 18	hgmapval0 42698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
26	25	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))) = (𝐺‘(0g‘𝑅)))
27	26, 25	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
28	3, 24, 27	pm2.61ne 3046	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∖ cdif 3905  {csn 4592  ⟨cop 4598   I cid 5558   ↾ cres 5666  ‘cfv 6540  Basecbs 17279  ._rcmulr 17321  Scalarcsca 17323   ·_𝑠 cvsca 17324  0_gc0g 17502  1_rcur 20273  inv_rcinvr 20480  HLchlt 40156  LHypclh 40790  LTrncltrn 40907  DVecHcdvh 41884  ocHcoch 42153  HDMapchdma 42598  HGMapchg 42689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 39759

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-fz 13546  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-mulr 17334  df-sca 17336  df-vsca 17337  df-0g 17504  df-mre 17648  df-mrc 17649  df-acs 17651  df-proset 18360  df-poset 18379  df-plt 18394  df-lub 18410  df-glb 18411  df-join 18412  df-meet 18413  df-p0 18489  df-p1 18490  df-lat 18498  df-clat 18565  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-submnd 18852  df-grp 19013  df-minusg 19014  df-sbg 19015  df-subg 19199  df-cntz 19397  df-oppg 19426  df-lsm 19716  df-cmn 19862  df-abl 19863  df-mgp 20227  df-rng 20241  df-ur 20274  df-ring 20327  df-oppr 20430  df-dvdsr 20450  df-unit 20451  df-invr 20481  df-dvr 20494  df-nzr 20625  df-rlreg 20808  df-domn 20809  df-drng 20844  df-lmod 20998  df-lss 21068  df-lsp 21108  df-lvec 21239  df-lsatoms 39782  df-lshyp 39783  df-lcv 39825  df-lfl 39864  df-lkr 39892  df-ldual 39930  df-oposet 39982  df-ol 39984  df-oml 39985  df-covers 40072  df-ats 40073  df-atl 40104  df-cvlat 40128  df-hlat 40157  df-llines 40304  df-lplanes 40305  df-lvols 40306  df-lines 40307  df-psubsp 40309  df-pmap 40310  df-padd 40602  df-lhyp 40794  df-laut 40795  df-ldil 40910  df-ltrn 40911  df-trl 40965  df-tgrp 41549  df-tendo 41561  df-edring 41563  df-dveca 41809  df-disoa 41835  df-dvech 41885  df-dib 41945  df-dic 41979  df-dih 42035  df-doch 42154  df-djh 42201  df-lcdual 42393  df-mapd 42431  df-hvmap 42563  df-hdmap1 42599  df-hdmap 42600  df-hgmap 42690

This theorem is used by:  hdmapglem7  42735  hlhilsrnglem  42759