Theorem hgmapvv 37940

Description: Value of a double involution. Part 1.2 of [Baer] p. 110 line 37. (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapvv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapvv.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvv.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapvv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapvv.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvv.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapvv.j	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapvv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem hgmapvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6415	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑅) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑅) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
3	1, 2	eqeq12d 2813	. 2 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑅) → ((𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋 ↔ (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅)))
4		hgmapvv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		eqid 2798	. . 3 ⊢ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
6		eqid 2798	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		hgmapvv.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
9		eqid 2798	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
10		hgmapvv.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
11		hgmapvv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2798	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2798	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14		eqid 2798	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
15		eqid 2798	. . 3 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
16		eqid 2798	. . 3 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
17		hgmapvv.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
18		hgmapvv.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19	18	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
20		hgmapvv.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	20	anim1i 609	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)))
22		eldifsn 4505	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)))
23	21, 22	sylibr 226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
24	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 23	hgmapvvlem3 37939	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)
25	4, 7, 10, 13, 17, 18	hgmapval0 37906	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
26	25	fveq2d 6414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))) = (𝐺‘(0g‘𝑅)))
27	26, 25	eqtrd 2832	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
28	3, 24, 27	pm2.61ne 3055	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2970   ∖ cdif 3765  {csn 4367  ⟨cop 4373   I cid 5218   ↾ cres 5313  ‘cfv 6100  Basecbs 16181  ._rcmulr 16265  Scalarcsca 16267   ·_𝑠 cvsca 16268  0_gc0g 16412  1_rcur 18814  inv_rcinvr 18984  HLchlt 35364  LHypclh 35998  LTrncltrn 36115  DVecHcdvh 37092  ocHcoch 37361  HDMapchdma 37806  HGMapchg 37897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-riotaBAD 34967

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-ot 4376  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-iin 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-tpos 7589  df-undef 7636  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-4 11375  df-5 11376  df-6 11377  df-n0 11578  df-z 11664  df-uz 11928  df-fz 12578  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-0g 16414  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-proset 17240  df-poset 17258  df-plt 17270  df-lub 17286  df-glb 17287  df-join 17288  df-meet 17289  df-p0 17351  df-p1 17352  df-lat 17358  df-clat 17420  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-subg 17901  df-cntz 18059  df-oppg 18085  df-lsm 18361  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-unit 18955  df-invr 18985  df-dvr 18996  df-drng 19064  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-lsp 19290  df-lvec 19421  df-lsatoms 34990  df-lshyp 34991  df-lcv 35033  df-lfl 35072  df-lkr 35100  df-ldual 35138  df-oposet 35190  df-ol 35192  df-oml 35193  df-covers 35280  df-ats 35281  df-atl 35312  df-cvlat 35336  df-hlat 35365  df-llines 35512  df-lplanes 35513  df-lvols 35514  df-lines 35515  df-psubsp 35517  df-pmap 35518  df-padd 35810  df-lhyp 36002  df-laut 36003  df-ldil 36118  df-ltrn 36119  df-trl 36173  df-tgrp 36757  df-tendo 36769  df-edring 36771  df-dveca 37017  df-disoa 37043  df-dvech 37093  df-dib 37153  df-dic 37187  df-dih 37243  df-doch 37362  df-djh 37409  df-lcdual 37601  df-mapd 37639  df-hvmap 37771  df-hdmap1 37807  df-hdmap 37808  df-hgmap 37898

This theorem is referenced by:  hdmapglem7  37943  hlhilsrnglem  37967