Theorem hgmapvv 42386

Description: Value of a double involution. Part 1.2 of [Baer] p. 110 line 37. (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapvv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapvv.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvv.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapvv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapvv.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvv.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapvv.j	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapvv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem hgmapvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6839	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑅) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑅) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
3	1, 2	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑅) → ((𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋 ↔ (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅)))
4		hgmapvv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		hgmapvv.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
9		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
10		hgmapvv.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
11		hgmapvv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
17		hgmapvv.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
18		hgmapvv.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
20		hgmapvv.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	20	anim1i 616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)))
22		eldifsn 4730	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)))
23	21, 22	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
24	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 23	hgmapvvlem3 42385	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)
25	4, 7, 10, 13, 17, 18	hgmapval0 42352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
26	25	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))) = (𝐺‘(0g‘𝑅)))
27	26, 25	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
28	3, 24, 27	pm2.61ne 3018	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ⟨cop 4574   I cid 5518   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  inv_rcinvr 20358  HLchlt 39810  LHypclh 40444  LTrncltrn 40561  DVecHcdvh 41538  ocHcoch 41807  HDMapchdma 42252  HGMapchg 42343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-riotaBAD 39413

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-undef 8216  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-0g 17395  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-oppg 19312  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-nzr 20481  df-rlreg 20662  df-domn 20663  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lvec 21090  df-lsatoms 39436  df-lshyp 39437  df-lcv 39479  df-lfl 39518  df-lkr 39546  df-ldual 39584  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-llines 39958  df-lplanes 39959  df-lvols 39960  df-lines 39961  df-psubsp 39963  df-pmap 39964  df-padd 40256  df-lhyp 40448  df-laut 40449  df-ldil 40564  df-ltrn 40565  df-trl 40619  df-tgrp 41203  df-tendo 41215  df-edring 41217  df-dveca 41463  df-disoa 41489  df-dvech 41539  df-dib 41599  df-dic 41633  df-dih 41689  df-doch 41808  df-djh 41855  df-lcdual 42047  df-mapd 42085  df-hvmap 42217  df-hdmap1 42253  df-hdmap 42254  df-hgmap 42344

This theorem is referenced by:  hdmapglem7  42389  hlhilsrnglem  42413