Theorem hgmapvv 42678

Description: Value of a double involution. Part 1.2 of [Baer] p. 110 line 37. (Contributed by NM, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapvv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapvv.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvv.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapvv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapvv.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapvv.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hgmapvv.j	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hgmapvv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem hgmapvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6888	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑅) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))))
2		id 23	. . 3 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑅) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
3	1, 2	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑅) → ((𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋 ↔ (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅)))
4		hgmapvv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		hgmapvv.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
10		hgmapvv.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
11		hgmapvv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
15		eqid 2763	. . 3 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((HDMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
17		hgmapvv.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
18		hgmapvv.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19	18	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
20		hgmapvv.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	20	anim1i 626	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)))
22		eldifsn 4754	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)))
23	21, 22	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
24	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 23	hgmapvvlem3 42677	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)
25	4, 7, 10, 13, 17, 18	hgmapval0 42644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
26	25	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))) = (𝐺‘(0g‘𝑅)))
27	26, 25	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
28	3, 24, 27	pm2.61ne 3043	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3903  {csn 4590  ⟨cop 4596   I cid 5557   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17493  1_rcur 20264  inv_rcinvr 20470  HLchlt 40102  LHypclh 40736  LTrncltrn 40853  DVecHcdvh 41830  ocHcoch 42099  HDMapchdma 42544  HGMapchg 42635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-riotaBAD 39705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17495  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-p1 18481  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cntz 19388  df-oppg 19417  df-lsm 19707  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-nzr 20597  df-rlreg 20780  df-domn 20781  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lvec 21205  df-lsatoms 39728  df-lshyp 39729  df-lcv 39771  df-lfl 39810  df-lkr 39838  df-ldual 39876  df-oposet 39928  df-ol 39930  df-oml 39931  df-covers 40018  df-ats 40019  df-atl 40050  df-cvlat 40074  df-hlat 40103  df-llines 40250  df-lplanes 40251  df-lvols 40252  df-lines 40253  df-psubsp 40255  df-pmap 40256  df-padd 40548  df-lhyp 40740  df-laut 40741  df-ldil 40856  df-ltrn 40857  df-trl 40911  df-tgrp 41495  df-tendo 41507  df-edring 41509  df-dveca 41755  df-disoa 41781  df-dvech 41831  df-dib 41891  df-dic 41925  df-dih 41981  df-doch 42100  df-djh 42147  df-lcdual 42339  df-mapd 42377  df-hvmap 42509  df-hdmap1 42545  df-hdmap 42546  df-hgmap 42636

This theorem is referenced by:  hdmapglem7  42681  hlhilsrnglem  42705