Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdsfival Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdsfival 24024
 Description: The value of the Euclidean distance function in a generalized real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxdsfival.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxdsfival.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxdsfival ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem rrxdsfival
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxdsfival.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
2 eqid 2824 . . . . . 6 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
3 rrxdsfival.1 . . . . . 6 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
42, 3rrxdsfi 24022 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
51, 4syl5eq 2871 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
65oveqd 7166 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))𝐺))
763ad2ant1 1130 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))𝐺))
8 eqidd 2825 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
9 fveq1 6660 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐹 → (𝑥𝑘) = (𝐹𝑘))
10 fveq1 6660 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐺 → (𝑦𝑘) = (𝐺𝑘))
119, 10oveqan12d 7168 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
1211oveq1d 7164 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
1312sumeq2sdv 15061 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
1413fveq2d 6665 . . . 4 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
1514adantl 485 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
16 simp2 1134 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹𝑋)
17 simp3 1135 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺𝑋)
18 fvexd 6676 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ V)
198, 15, 16, 17, 18ovmpod 7295 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
207, 19eqtrd 2859 1 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151   ↑m cmap 8402  Fincfn 8505  ℝcr 10534   − cmin 10868  2c2 11689  ↑cexp 13434  √csqrt 14592  Σcsu 15042  distcds 16574  ℝ^crrx 23994 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-rnghom 19470  df-drng 19504  df-field 19505  df-subrg 19533  df-staf 19616  df-srng 19617  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-cnfld 20099  df-refld 20301  df-dsmm 20428  df-frlm 20443  df-nm 23196  df-tng 23198  df-tcph 23781  df-rrx 23996 This theorem is referenced by:  ehleudisval  24030
 Copyright terms: Public domain W3C validator