MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxdsfival Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdsfival 25296
Description: The value of the Euclidean distance function in a generalized real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxdsfival.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxdsfival.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxdsfival ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem rrxdsfival
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxdsfival.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
2 eqid 2726 . . . . . 6 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
3 rrxdsfival.1 . . . . . 6 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
42, 3rrxdsfi 25294 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
51, 4eqtrid 2778 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
65oveqd 7422 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))𝐺))
763ad2ant1 1130 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))𝐺))
8 eqidd 2727 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
9 fveq1 6884 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐹 → (𝑥𝑘) = (𝐹𝑘))
10 fveq1 6884 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐺 → (𝑦𝑘) = (𝐺𝑘))
119, 10oveqan12d 7424 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
1211oveq1d 7420 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
1312sumeq2sdv 15656 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
1413fveq2d 6889 . . . 4 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
1514adantl 481 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
16 simp2 1134 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹𝑋)
17 simp3 1135 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺𝑋)
18 fvexd 6900 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ V)
198, 15, 16, 17, 18ovmpod 7556 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
207, 19eqtrd 2766 1 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  cfv 6537  (class class class)co 7405  cmpo 7407  m cmap 8822  Fincfn 8941  cr 11111  cmin 11448  2c2 12271  cexp 14032  csqrt 15186  Σcsu 15638  distcds 17215  ℝ^crrx 25266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-refld 21498  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-nm 24446  df-tng 24448  df-tcph 25052  df-rrx 25268
This theorem is referenced by:  ehleudisval  25302
  Copyright terms: Public domain W3C validator