Theorem hgmapf1oN 39925

Description: The scalar sigma map is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapf1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapf1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapf1o.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapf1o.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapf1o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hgmapf1oN	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem hgmapf1oN

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapf1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapf1o.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hgmapf1o.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
4		hgmapf1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		hgmapf1o.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
6		hgmapf1o.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	hgmapfnN 39910	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	hgmaprnN 39923	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = 𝐵)
9	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		simprl 768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11		simprr 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11	hgmap11 39924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
13	12	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
14	13	ralrimivva 3115	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
15		dff1o6 7139	. 2 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ ran 𝐺 = 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16	7, 8, 14, 15	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ran crn 5585   Fn wfn 6421  –1-1-onto→wf1o 6425  ‘cfv 6426  Basecbs 16922  Scalarcsca 16975  HLchlt 37372  LHypclh 38006  DVecHcdvh 39100  HGMapchg 39905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-riotaBAD 36975

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-tpos 8029  df-undef 8076  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-fz 13250  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-0g 17162  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-proset 18023  df-poset 18041  df-plt 18058  df-lub 18074  df-glb 18075  df-join 18076  df-meet 18077  df-p0 18153  df-p1 18154  df-lat 18160  df-clat 18227  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-subg 18762  df-cntz 18933  df-oppg 18960  df-lsm 19251  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-oppr 19872  df-dvdsr 19893  df-unit 19894  df-invr 19924  df-dvr 19935  df-drng 20003  df-lmod 20135  df-lss 20204  df-lsp 20244  df-lvec 20375  df-lsatoms 36998  df-lshyp 36999  df-lcv 37041  df-lfl 37080  df-lkr 37108  df-ldual 37146  df-oposet 37198  df-ol 37200  df-oml 37201  df-covers 37288  df-ats 37289  df-atl 37320  df-cvlat 37344  df-hlat 37373  df-llines 37520  df-lplanes 37521  df-lvols 37522  df-lines 37523  df-psubsp 37525  df-pmap 37526  df-padd 37818  df-lhyp 38010  df-laut 38011  df-ldil 38126  df-ltrn 38127  df-trl 38181  df-tgrp 38765  df-tendo 38777  df-edring 38779  df-dveca 39025  df-disoa 39051  df-dvech 39101  df-dib 39161  df-dic 39195  df-dih 39251  df-doch 39370  df-djh 39417  df-lcdual 39609  df-mapd 39647  df-hvmap 39779  df-hdmap1 39815  df-hdmap 39816  df-hgmap 39906

This theorem is referenced by: (None)