Theorem hgmapf1oN 39041

Description: The scalar sigma map is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgmapf1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapf1o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapf1o.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapf1o.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapf1o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hgmapf1oN	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem hgmapf1oN

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgmapf1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hgmapf1o.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hgmapf1o.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
4		hgmapf1o.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		hgmapf1o.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
6		hgmapf1o.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	hgmapfnN 39026	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	hgmaprnN 39039	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = 𝐵)
9	6	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11	hgmap11 39040	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
13	12	biimpd 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
14	13	ralrimivva 3193	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
15		dff1o6 7034	. 2 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ ran 𝐺 = 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16	7, 8, 14, 15	syl3anbrc 1339	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ran crn 5558   Fn wfn 6352  –1-1-onto→wf1o 6356  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  Scalarcsca 16570  HLchlt 36488  LHypclh 37122  DVecHcdvh 38216  HGMapchg 39021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-riotaBAD 36091

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-ot 4578  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-undef 7941  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-oppg 18476  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877  df-lsatoms 36114  df-lshyp 36115  df-lcv 36157  df-lfl 36196  df-lkr 36224  df-ldual 36262  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638  df-lines 36639  df-psubsp 36641  df-pmap 36642  df-padd 36934  df-lhyp 37126  df-laut 37127  df-ldil 37242  df-ltrn 37243  df-trl 37297  df-tgrp 37881  df-tendo 37893  df-edring 37895  df-dveca 38141  df-disoa 38167  df-dvech 38217  df-dib 38277  df-dic 38311  df-dih 38367  df-doch 38486  df-djh 38533  df-lcdual 38725  df-mapd 38763  df-hvmap 38895  df-hdmap1 38931  df-hdmap 38932  df-hgmap 39022

This theorem is referenced by: (None)