Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmapf1oN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgmapf1oN 39071
Description: The scalar sigma map is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 7-Jun-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmapf1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hgmapf1o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hgmapf1o.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hgmapf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hgmapf1o.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hgmapf1o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
hgmapf1oN (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem hgmapf1oN
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmapf1o.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hgmapf1o.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hgmapf1o.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
4 hgmapf1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 hgmapf1o.g . . 3 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
6 hgmapf1o.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
71, 2, 3, 4, 5, 6hgmapfnN 39056 . 2 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6hgmaprnN 39069 . 2 (𝜑 → ran 𝐺 = 𝐵)
96adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
11 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
121, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11hgmap11 39070 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1312biimpd 231 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1413ralrimivva 3178 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
15 dff1o6 7005 . 2 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵 ↔ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ ran 𝐺 = 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝐺𝑥) = (𝐺𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
167, 8, 14, 15syl3anbrc 1339 1 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  ran crn 5528   Fn wfn 6322  1-1-ontowf1o 6326  cfv 6327  Basecbs 16458  Scalarcsca 16543  HLchlt 36518  LHypclh 37152  DVecHcdvh 38246  HGMapchg 39051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-riotaBAD 36121
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-ot 4548  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-of 7383  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-tpos 7866  df-undef 7913  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-oadd 8080  df-er 8263  df-map 8382  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-5 11678  df-6 11679  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-fz 12873  df-struct 16460  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-mulr 16554  df-sca 16556  df-vsca 16557  df-0g 16690  df-mre 16832  df-mrc 16833  df-acs 16835  df-proset 17513  df-poset 17531  df-plt 17543  df-lub 17559  df-glb 17560  df-join 17561  df-meet 17562  df-p0 17624  df-p1 17625  df-lat 17631  df-clat 17693  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-submnd 17932  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-sbg 18083  df-subg 18251  df-cntz 18422  df-oppg 18449  df-lsm 18736  df-cmn 18883  df-abl 18884  df-mgp 19215  df-ur 19227  df-ring 19274  df-oppr 19348  df-dvdsr 19366  df-unit 19367  df-invr 19397  df-dvr 19408  df-drng 19476  df-lmod 19608  df-lss 19676  df-lsp 19716  df-lvec 19847  df-lsatoms 36144  df-lshyp 36145  df-lcv 36187  df-lfl 36226  df-lkr 36254  df-ldual 36292  df-oposet 36344  df-ol 36346  df-oml 36347  df-covers 36434  df-ats 36435  df-atl 36466  df-cvlat 36490  df-hlat 36519  df-llines 36666  df-lplanes 36667  df-lvols 36668  df-lines 36669  df-psubsp 36671  df-pmap 36672  df-padd 36964  df-lhyp 37156  df-laut 37157  df-ldil 37272  df-ltrn 37273  df-trl 37327  df-tgrp 37911  df-tendo 37923  df-edring 37925  df-dveca 38171  df-disoa 38197  df-dvech 38247  df-dib 38307  df-dic 38341  df-dih 38397  df-doch 38516  df-djh 38563  df-lcdual 38755  df-mapd 38793  df-hvmap 38925  df-hdmap1 38961  df-hdmap 38962  df-hgmap 39052
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator