Theorem mbfimaopn 25641

Description: The preimage of any open set (in the complex topology) under a measurable function is measurable. (See also cncombf 25643, which explains why 𝐴 ∈ dom vol is too weak a condition for this theorem.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mbfimaopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
mbfimaopn	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)

Proof of Theorem mbfimaopn

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfimaopn.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2		oveq1 7363	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑤)))
3		oveq2 7364	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (i · 𝑤) = (i · 𝑦))
4	3	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
5	2, 4	cbvmpov 7451	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ, 𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑡 + (i · 𝑤))) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
6		eqid 2739	. 2 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) = ((,) “ (ℚ × ℚ))
7		eqid 2739	. 2 ⊢ ran (𝑥 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)), 𝑦 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ↦ (𝑥 × 𝑦)) = ran (𝑥 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)), 𝑦 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ↦ (𝑥 × 𝑦))
8	1, 5, 6, 7	mbfimaopnlem 25640	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   × cxp 5616  ^◡ccnv 5617  dom cdm 5618  ran crn 5619   “ cima 5621  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  ℝcr 11028  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034  ℚcq 12889  (,)cioo 13289  TopOpenctopn 17375  ℂ_fldccnfld 21347  volcvol 25448  MblFncmbf 25599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5040  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-ovol 25449  df-vol 25450  df-mbf 25604

This theorem is referenced by:  mbfimaopn2  25642