Theorem minplyelirng 33681

Description: If the minimial polynomial 𝐹 of an element 𝑋 of a field 𝑅 has nonnegative degree, then 𝑋 is integral. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
minplyelirng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
minplyelirng.m	⊢ 𝑀 = (𝑅 minPoly 𝑆)
minplyelirng.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
minplyelirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
minplyelirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))
minplyelirng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplyelirng.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
minplyelirng	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))

Proof of Theorem minplyelirng

Dummy variables 𝑚 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minplyelirng.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		fveq2 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → ((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚) = ((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴)))
3	2	fveq1d 6828	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴))
4	3	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → ((((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅) ↔ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = (0g‘𝑅)))
5		minplyelirng.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
7		minplyelirng.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
8		minplyelirng.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))
9		minplyelirng.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 minPoly 𝑆)
10		sdrgsubrg 20694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
12		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
13	12	subrgring 20477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝑆) = (𝑅 evalSub1 𝑆)
16		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
17		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ dom (𝑅 evalSub1 𝑆) ∣ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝑅)} = {𝑞 ∈ dom (𝑅 evalSub1 𝑆) ∣ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝑅)}
19		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (RSpan‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
20		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (idlGen1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (idlGen1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))
21	15, 16, 5, 7, 8, 1, 17, 18, 19, 20, 9	minplycl 33672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
22		minplyelirng.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
23		minplyelirng.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
24		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
25		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
26	23, 16, 24, 25	deg1nn0clb 26011	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) → ((𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ↔ (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0))
27	26	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) ∧ (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
28	14, 21, 22, 27	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
29		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
30	29, 12, 16, 25, 11, 6	ressply10g 33512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
31	28, 30	neeqtrrd 2999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
32		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))
33	5, 6, 7, 8, 9, 1, 31, 32	minplynzm1p 33680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
34	15, 16, 5, 7, 8, 1, 17, 9	minplyann 33675	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = (0g‘𝑅))
35	4, 33, 34	rspcedvdw 3582	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))(((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅))
36	7	fldcrngd 20645	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
37	15, 12, 5, 17, 36, 11	elirng 33657	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))(((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅))))
38	1, 35, 37	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3396  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  0_gc0g 17361  Ringcrg 20136  SubRingcsubrg 20472  Fieldcfield 20633  SubDRingcsdrg 20689  RSpancrsp 21132  Poly₁cpl1 22077   evalSub₁ ces1 22216  deg₁cdg1 25975  Monic_1pcmn1 26047  idlGen_1pcig1p 26051   IntgRing cirng 33654   minPoly cminply 33665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-rlreg 20597  df-drng 20634  df-field 20635  df-sdrg 20690  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133  df-rsp 21134  df-cnfld 21280  df-assa 21778  df-asp 21779  df-ascl 21780  df-psr 21834  df-mvr 21835  df-mpl 21836  df-opsr 21838  df-evls 21997  df-evl 21998  df-psr1 22080  df-vr1 22081  df-ply1 22082  df-coe1 22083  df-evls1 22218  df-evl1 22219  df-mdeg 25976  df-deg1 25977  df-mon1 26052  df-uc1p 26053  df-q1p 26054  df-r1p 26055  df-ig1p 26056  df-irng 33655  df-minply 33666

This theorem is referenced by:  constrcon  33740