Theorem minplyelirng 33859

Description: If the minimal polynomial 𝐹 of an element 𝑋 of a field 𝑅 has nonnegative degree, then 𝑋 is integral. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
minplyelirng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
minplyelirng.m	⊢ 𝑀 = (𝑅 minPoly 𝑆)
minplyelirng.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
minplyelirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
minplyelirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))
minplyelirng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplyelirng.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
minplyelirng	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))

Proof of Theorem minplyelirng

Dummy variables 𝑚 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minplyelirng.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → ((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚) = ((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴)))
3	2	fveq1d 6842	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴))
4	3	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → ((((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅) ↔ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = (0g‘𝑅)))
5		minplyelirng.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
7		minplyelirng.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
8		minplyelirng.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))
9		minplyelirng.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 minPoly 𝑆)
10		sdrgsubrg 20768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
12		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
13	12	subrgring 20551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
15		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝑆) = (𝑅 evalSub1 𝑆)
16		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ dom (𝑅 evalSub1 𝑆) ∣ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝑅)} = {𝑞 ∈ dom (𝑅 evalSub1 𝑆) ∣ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝑅)}
19		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (RSpan‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
20		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (idlGen1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (idlGen1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))
21	15, 16, 5, 7, 8, 1, 17, 18, 19, 20, 9	minplycl 33850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
22		minplyelirng.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
23		minplyelirng.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
24		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
25		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
26	23, 16, 24, 25	deg1nn0clb 26055	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) → ((𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ↔ (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0))
27	26	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) ∧ (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
28	14, 21, 22, 27	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
29		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
30	29, 12, 16, 25, 11, 6	ressply10g 33627	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
31	28, 30	neeqtrrd 3006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
32		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))
33	5, 6, 7, 8, 9, 1, 31, 32	minplynzm1p 33858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
34	15, 16, 5, 7, 8, 1, 17, 9	minplyann 33853	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = (0g‘𝑅))
35	4, 33, 34	rspcedvdw 3567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))(((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅))
36	7	fldcrngd 20719	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
37	15, 12, 5, 17, 36, 11	elirng 33830	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))(((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅))))
38	1, 35, 37	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  {crab 3389  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  Ringcrg 20214  SubRingcsubrg 20546  Fieldcfield 20707  SubDRingcsdrg 20763  RSpancrsp 21205  Poly₁cpl1 22140   evalSub₁ ces1 22278  deg₁cdg1 26019  Monic_1pcmn1 26091  idlGen_1pcig1p 26095   IntgRing cirng 33827   minPoly cminply 33843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-srg 20168  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-rlreg 20671  df-drng 20708  df-field 20709  df-sdrg 20764  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-rsp 21207  df-cnfld 21353  df-assa 21833  df-asp 21834  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-evls 22052  df-evl 22053  df-psr1 22143  df-vr1 22144  df-ply1 22145  df-coe1 22146  df-evls1 22280  df-evl1 22281  df-mdeg 26020  df-deg1 26021  df-mon1 26096  df-uc1p 26097  df-q1p 26098  df-r1p 26099  df-ig1p 26100  df-irng 33828  df-minply 33844

This theorem is referenced by:  constrcon  33918