Theorem minplyelirng 34266

Description: If the minimal polynomial 𝐹 of an element 𝑋 of a field 𝑅 has nonnegative degree, then 𝑋 is integral. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
minplyelirng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
minplyelirng.m	⊢ 𝑀 = (𝑅 minPoly 𝑆)
minplyelirng.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
minplyelirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
minplyelirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))
minplyelirng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplyelirng.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
minplyelirng	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))

Proof of Theorem minplyelirng

Dummy variables 𝑚 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minplyelirng.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		fveq2 6874	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → ((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚) = ((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴)))
3	2	fveq1d 6876	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴))
4	3	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → ((((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅) ↔ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = (0g‘𝑅)))
5		minplyelirng.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
7		minplyelirng.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
8		minplyelirng.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))
9		minplyelirng.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 minPoly 𝑆)
10		sdrgsubrg 20995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	8, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
12		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
13	12	subrgring 20773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
14	11, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
15		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝑆) = (𝑅 evalSub1 𝑆)
16		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
17		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ dom (𝑅 evalSub1 𝑆) ∣ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝑅)} = {𝑞 ∈ dom (𝑅 evalSub1 𝑆) ∣ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝑅)}
19		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (RSpan‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
20		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (idlGen1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (idlGen1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))
21	15, 16, 5, 7, 8, 1, 17, 18, 19, 20, 9	minplycl 34257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
22		minplyelirng.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
23		minplyelirng.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
24		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
25		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
26	23, 16, 24, 25	deg1nn0clb 26355	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) → ((𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ↔ (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0))
27	26	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) ∧ (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
28	14, 21, 22, 27	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
29		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
30	29, 12, 16, 25, 11, 6	ressply10g 34018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
31	28, 30	neeqtrrd 3029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
32		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))
33	5, 6, 7, 8, 9, 1, 31, 32	minplynzm1p 34265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
34	15, 16, 5, 7, 8, 1, 17, 9	minplyann 34260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = (0g‘𝑅))
35	4, 33, 34	rspcedvdw 3579	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))(((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅))
36	7	fldcrngd 20942	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
37	15, 12, 5, 17, 36, 11	elirng 34237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))(((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅))))
38	1, 35, 37	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412  dom cdm 5648  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℕ₀cn0 12561  Basecbs 17334   ↾_s cress 17355  0_gc0g 17557  Ringcrg 20406  SubRingcsubrg 20768  Fieldcfield 20928  SubDRingcsdrg 20990  RSpancrsp 21432  Poly₁cpl1 22442   evalSub₁ ces1 22578  deg₁cdg1 26319  Monic_1pcmn1 26391  idlGen_1pcig1p 26395   IntgRing cirng 34234   minPoly cminply 34250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-hash 14428  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-prds 17565  df-pws 17567  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-ghm 19375  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-srg 20360  df-ring 20408  df-cring 20409  df-oppr 20514  df-dvdsr 20534  df-unit 20535  df-invr 20565  df-rhm 20649  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-rlreg 20893  df-drng 20929  df-field 20930  df-sdrg 20991  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-lsp 21194  df-sra 21395  df-rgmod 21396  df-lidl 21433  df-rsp 21434  df-cnfld 21626  df-assa 22108  df-asp 22109  df-ascl 22110  df-psr 22164  df-mvr 22165  df-mpl 22166  df-opsr 22168  df-evls 22330  df-evl 22331  df-psr1 22445  df-vr1 22446  df-ply1 22447  df-coe1 22448  df-evls1 22580  df-evl1 22581  df-mdeg 26320  df-deg1 26321  df-mon1 26396  df-uc1p 26397  df-q1p 26398  df-r1p 26399  df-ig1p 26400  df-irng 34235  df-minply 34251

This theorem is used by:  constrcon  34325