Theorem minplyelirng 34071

Description: If the minimal polynomial 𝐹 of an element 𝑋 of a field 𝑅 has nonnegative degree, then 𝑋 is integral. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
minplyelirng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
minplyelirng.m	⊢ 𝑀 = (𝑅 minPoly 𝑆)
minplyelirng.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
minplyelirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
minplyelirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))
minplyelirng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplyelirng.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
minplyelirng	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))

Proof of Theorem minplyelirng

Dummy variables 𝑚 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minplyelirng.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → ((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚) = ((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴)))
3	2	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴))
4	3	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → ((((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅) ↔ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = (0g‘𝑅)))
5		minplyelirng.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
7		minplyelirng.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
8		minplyelirng.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))
9		minplyelirng.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 minPoly 𝑆)
10		sdrgsubrg 20873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	8, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
12		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
13	12	subrgring 20658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
14	11, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
15		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝑆) = (𝑅 evalSub1 𝑆)
16		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
17		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ dom (𝑅 evalSub1 𝑆) ∣ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝑅)} = {𝑞 ∈ dom (𝑅 evalSub1 𝑆) ∣ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝑅)}
19		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (RSpan‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
20		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (idlGen1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (idlGen1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))
21	15, 16, 5, 7, 8, 1, 17, 18, 19, 20, 9	minplycl 34062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
22		minplyelirng.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
23		minplyelirng.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
24		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
25		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
26	23, 16, 24, 25	deg1nn0clb 26226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) → ((𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ↔ (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0))
27	26	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) ∧ (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
28	14, 21, 22, 27	syl21anc 850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
29		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
30	29, 12, 16, 25, 11, 6	ressply10g 33823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
31	28, 30	neeqtrrd 3030	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
32		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))
33	5, 6, 7, 8, 9, 1, 31, 32	minplynzm1p 34070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
34	15, 16, 5, 7, 8, 1, 17, 9	minplyann 34065	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = (0g‘𝑅))
35	4, 33, 34	rspcedvdw 3583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))(((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅))
36	7	fldcrngd 20827	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
37	15, 12, 5, 17, 36, 11	elirng 34042	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))(((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅))))
38	1, 35, 37	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {crab 3414  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  0_gc0g 17491  Ringcrg 20314  SubRingcsubrg 20653  Fieldcfield 20813  SubDRingcsdrg 20868  RSpancrsp 21310  Poly₁cpl1 22316   evalSub₁ ces1 22452  deg₁cdg1 26190  Monic_1pcmn1 26262  idlGen_1pcig1p 26266   IntgRing cirng 34039   minPoly cminply 34055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-srg 20268  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-rlreg 20778  df-drng 20814  df-field 20815  df-sdrg 20869  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312  df-cnfld 21502  df-assa 21982  df-asp 21983  df-ascl 21984  df-psr 22038  df-mvr 22039  df-mpl 22040  df-opsr 22042  df-evls 22204  df-evl 22205  df-psr1 22319  df-vr1 22320  df-ply1 22321  df-coe1 22322  df-evls1 22454  df-evl1 22455  df-mdeg 26191  df-deg1 26192  df-mon1 26267  df-uc1p 26268  df-q1p 26269  df-r1p 26270  df-ig1p 26271  df-irng 34040  df-minply 34056

This theorem is referenced by:  constrcon  34130