Theorem minplyelirng 33909

Description: If the minimal polynomial 𝐹 of an element 𝑋 of a field 𝑅 has nonnegative degree, then 𝑋 is integral. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
minplyelirng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
minplyelirng.m	⊢ 𝑀 = (𝑅 minPoly 𝑆)
minplyelirng.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
minplyelirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
minplyelirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))
minplyelirng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
minplyelirng.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
minplyelirng	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))

Proof of Theorem minplyelirng

Dummy variables 𝑚 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minplyelirng.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		fveq2 6830	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → ((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚) = ((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴)))
3	2	fveq1d 6832	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴))
4	3	eqeq1d 2743	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑀‘𝐴) → ((((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅) ↔ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = (0g‘𝑅)))
5		minplyelirng.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
7		minplyelirng.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
8		minplyelirng.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))
9		minplyelirng.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 minPoly 𝑆)
10		sdrgsubrg 20766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
12		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
13	12	subrgring 20549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
15		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝑆) = (𝑅 evalSub1 𝑆)
16		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
17		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ dom (𝑅 evalSub1 𝑆) ∣ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝑅)} = {𝑞 ∈ dom (𝑅 evalSub1 𝑆) ∣ (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑞)‘𝐴) = (0g‘𝑅)}
19		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (RSpan‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
20		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (idlGen1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (idlGen1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))
21	15, 16, 5, 7, 8, 1, 17, 18, 19, 20, 9	minplycl 33900	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
22		minplyelirng.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
23		minplyelirng.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
24		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
25		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
26	23, 16, 24, 25	deg1nn0clb 26076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) → ((𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))) ↔ (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0))
27	26	biimpar 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆)))) ∧ (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
28	14, 21, 22, 27	syl21anc 844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
29		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
30	29, 12, 16, 25, 11, 6	ressply10g 33660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))))
31	28, 30	neeqtrrd 3010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
32		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))
33	5, 6, 7, 8, 9, 1, 31, 32	minplynzm1p 33908	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
34	15, 16, 5, 7, 8, 1, 17, 9	minplyann 33903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 evalSub1 𝑆)‘(𝑀‘𝐴))‘𝐴) = (0g‘𝑅))
35	4, 33, 34	rspcedvdw 3564	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))(((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅))
36	7	fldcrngd 20717	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
37	15, 12, 5, 17, 36, 11	elirng 33880	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑚 ∈ (Monic1p‘(𝑅 ↾s 𝑆))(((𝑅 evalSub1 𝑆)‘𝑚)‘𝐴) = (0g‘𝑅))))
38	1, 35, 37	mpbir2and 720	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065  {crab 3393  dom cdm 5620  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  0_gc0g 17397  Ringcrg 20208  SubRingcsubrg 20544  Fieldcfield 20705  SubDRingcsdrg 20761  RSpancrsp 21203  Poly₁cpl1 22165   evalSub₁ ces1 22302  deg₁cdg1 26040  Monic_1pcmn1 26112  idlGen_1pcig1p 26116   IntgRing cirng 33877   minPoly cminply 33893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-addf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-ofr 7624  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-rhm 20446  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-rlreg 20669  df-drng 20706  df-field 20707  df-sdrg 20762  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lsp 20965  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-lidl 21204  df-rsp 21205  df-cnfld 21351  df-assa 21831  df-asp 21832  df-ascl 21833  df-psr 21887  df-mvr 21888  df-mpl 21889  df-opsr 21891  df-evls 22053  df-evl 22054  df-psr1 22168  df-vr1 22169  df-ply1 22170  df-coe1 22171  df-evls1 22304  df-evl1 22305  df-mdeg 26041  df-deg1 26042  df-mon1 26117  df-uc1p 26118  df-q1p 26119  df-r1p 26120  df-ig1p 26121  df-irng 33878  df-minply 33894

This theorem is referenced by:  constrcon  33968