Theorem relogbcld 42843

Description: Closure of the general logarithm with a positive real base on positive reals, a deduction version. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relogbcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
relogbcld.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
relogbcld.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
relogbcld.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
relogbcld.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 1)

Assertion

Ref	Expression
relogbcld	⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogbcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogbcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		relogbcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
3	1, 2	elrpd 13086	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4		relogbcld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		relogbcld.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
6	4, 5	elrpd 13086	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
7		relogbcld.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 1)
8	3, 6, 7	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1))
9		relogbcl 27013	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11270  ℝ⁺crp 13045   log_b clogb 27004

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-ioc 13406  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129  df-fac 14341  df-bc 14370  df-hash 14398  df-shft 15143  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-limsup 15561  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-ef 16156  df-sin 16158  df-cos 16159  df-pi 16161  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-mulg 19194  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-fbas 21585  df-fg 21586  df-cnfld 21589  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cld 23247  df-ntr 23248  df-cls 23249  df-nei 23326  df-lp 23364  df-perf 23365  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-haus 23543  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-fil 24075  df-fm 24167  df-flim 24168  df-flf 24169  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551  df-cncf 25109  df-limc 26096  df-dv 26097  df-log 26796  df-logb 27005

This theorem is used by:  3lexlogpow5ineq2  42924  3lexlogpow5ineq4  42925  3lexlogpow5ineq3  42926  3lexlogpow2ineq1  42927  3lexlogpow2ineq2  42928  3lexlogpow5ineq5  42929  aks4d1lem1  42931  aks4d1p1p3  42938  aks4d1p1p2  42939  aks4d1p1p4  42940  aks4d1p1p6  42942  aks4d1p1p7  42943  aks4d1p1p5  42944  aks4d1p1  42945  aks4d1p2  42946  aks4d1p3  42947  aks4d1p5  42949  aks4d1p6  42950  aks4d1p7d1  42951  aks4d1p7  42952  aks4d1p8  42956  aks4d1p9  42957  aks6d1c3  42992  aks6d1c6lem4  43042  aks6d1c7lem1  43049  aks6d1c7lem2  43050