Theorem relogbcld 41499

Description: Closure of the general logarithm with a positive real base on positive reals, a deduction version. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relogbcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
relogbcld.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
relogbcld.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
relogbcld.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
relogbcld.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 1)

Assertion

Ref	Expression
relogbcld	⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)

Proof of Theorem relogbcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogbcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		relogbcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
3	1, 2	elrpd 13045	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4		relogbcld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		relogbcld.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
6	4, 5	elrpd 13045	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
7		relogbcld.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 1)
8	3, 6, 7	3jca 1125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1))
9		relogbcl 26723	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278  ℝ⁺crp 13006   log_b clogb 26714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-logb 26715

This theorem is referenced by:  3lexlogpow5ineq2  41582  3lexlogpow5ineq4  41583  3lexlogpow5ineq3  41584  3lexlogpow2ineq1  41585  3lexlogpow2ineq2  41586  3lexlogpow5ineq5  41587  aks4d1lem1  41589  aks4d1p1p3  41596  aks4d1p1p2  41597  aks4d1p1p4  41598  aks4d1p1p6  41600  aks4d1p1p7  41601  aks4d1p1p5  41602  aks4d1p1  41603  aks4d1p2  41604  aks4d1p3  41605  aks4d1p5  41607  aks4d1p6  41608  aks4d1p7d1  41609  aks4d1p7  41610  aks4d1p8  41614  aks4d1p9  41615  aks6d1c3  41650  aks6d1c6lem4  41701  aks6d1c7lem1  41708  aks6d1c7lem2  41709