Theorem chpscmat0 21445

Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed with its diagonal element. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chpscmat.d	⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))}
chpscmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpscmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpscmat0	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐼𝑀𝐼))) → (𝐶‘𝑀) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,𝑚   𝐷,𝑛   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚,𝑛   𝑁,𝑐,𝑚,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,𝑚,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝑃(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   ↑ (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   − (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmat0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chp0mat.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2		chp0mat.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		chp0mat.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		chp0mat.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		chp0mat.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
6		chp0mat.m	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
7		chpscmat.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))}
8		chpscmat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
9		chpscmat.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	chpscmat 21444	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐼𝑀𝐼))) → (𝐶‘𝑀) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142  ifcif 4466  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  ♯chash 13684  Basecbs 16477  0_gc0g 16707  -_gcsg 18099  ._gcmg 18218  mulGrpcmgp 19233  CRingccrg 19292  algSccascl 20078  var₁cv1 20338  Poly₁cpl1 20339   Mat cmat 21010   CharPlyMat cchpmat 21428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1501  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-ot 4569  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-word 13856  df-lsw 13909  df-concat 13917  df-s1 13944  df-substr 13997  df-pfx 14027  df-splice 14106  df-reverse 14115  df-s2 14204  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-efmnd 18028  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-gim 18393  df-cntz 18441  df-oppg 18468  df-symg 18490  df-pmtr 18564  df-psgn 18613  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-rnghom 19461  df-drng 19498  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-ascl 20081  df-psr 20130  df-mvr 20131  df-mpl 20132  df-opsr 20134  df-psr1 20342  df-vr1 20343  df-ply1 20344  df-cnfld 20540  df-zring 20612  df-zrh 20645  df-dsmm 20870  df-frlm 20885  df-mamu 20989  df-mat 21011  df-mdet 21188  df-mat2pmat 21309  df-chpmat 21429

This theorem is referenced by:  chpscmatgsumbin  21446