Theorem chpscmat0 22753

Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed with its diagonal element. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chpscmat.d	⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))}
chpscmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpscmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpscmat0	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐼𝑀𝐼))) → (𝐶‘𝑀) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,𝑚   𝐷,𝑛   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚,𝑛   𝑁,𝑐,𝑚,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,𝑚,𝑛   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝑃(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   ↑ (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   − (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmat0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chp0mat.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2		chp0mat.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		chp0mat.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		chp0mat.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		chp0mat.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
6		chp0mat.m	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
7		chpscmat.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))}
8		chpscmat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
9		chpscmat.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	chpscmat 22752	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐼𝑀𝐼))) → (𝐶‘𝑀) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  ifcif 4470  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  ♯chash 14232  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  -_gcsg 18843  ._gcmg 18975  mulGrpcmgp 20053  CRingccrg 20147  algSccascl 21784  var₁cv1 22083  Poly₁cpl1 22084   Mat cmat 22317   CharPlyMat cchpmat 22736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-addf 11080  ax-mulf 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-ot 4580  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-ofr 7606  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-word 14416  df-lsw 14465  df-concat 14473  df-s1 14499  df-substr 14544  df-pfx 14574  df-splice 14652  df-reverse 14661  df-s2 14750  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-prds 17346  df-pws 17348  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-efmnd 18772  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-gim 19166  df-cntz 19224  df-oppg 19253  df-symg 19277  df-pmtr 19349  df-psgn 19398  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-dvr 20314  df-rhm 20385  df-subrng 20456  df-subrg 20480  df-drng 20641  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-cnfld 21287  df-zring 21379  df-zrh 21435  df-dsmm 21664  df-frlm 21679  df-ascl 21787  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22087  df-vr1 22088  df-ply1 22089  df-mamu 22301  df-mat 22318  df-mdet 22495  df-mat2pmat 22617  df-chpmat 22737

This theorem is referenced by:  chpscmatgsumbin  22754