MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramerlem2 20819
Description: Lemma 2 for cramer 20822. (Contributed by AV, 21-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramer.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramer.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
cramer.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramer.q / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
cramerlem2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ∀𝑧𝑉 ((𝑋 · 𝑧) = 𝑌𝑧 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   · ,𝑖   / ,𝑖   𝑧,𝐵   𝑧,𝐷   𝑧,𝑁,𝑖   𝑧,𝑅   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑖)   / (𝑧)   · (𝑧)

Proof of Theorem cramerlem2
StepHypRef Expression
1 simpll1 1270 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑧) = 𝑌) → 𝑅 ∈ CRing)
2 simpll2 1272 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑧) = 𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝑉))
3 simpll3 1274 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑧) = 𝑌) → (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
4 simplr 786 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑧) = 𝑌) → 𝑧𝑉)
5 simpr 478 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑧) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑧) = 𝑌)
6 cramer.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 cramer.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
8 cramer.v . . . . 5 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
9 cramer.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
10 cramer.x . . . . 5 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
11 cramer.q . . . . 5 / = (/r𝑅)
126, 7, 8, 9, 10, 11cramerlem1 20818 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑧) = 𝑌)) → 𝑧 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))))
131, 2, 3, 4, 5, 12syl113anc 1502 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑧𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑧) = 𝑌) → 𝑧 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))))
1413ex 402 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑧𝑉) → ((𝑋 · 𝑧) = 𝑌𝑧 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))))
1514ralrimiva 3145 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ∀𝑧𝑉 ((𝑋 · 𝑧) = 𝑌𝑧 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087  cop 4372  cmpt 4920  cfv 6099  (class class class)co 6876  𝑚 cmap 8093  Basecbs 16181  CRingccrg 18861  Unitcui 18952  /rcdvr 18995   Mat cmat 20535   maVecMul cmvmul 20669   matRepV cmatrepV 20686   maDet cmdat 20713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-addf 10301  ax-mulf 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-xor 1635  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-ot 4375  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-tpos 7588  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-sup 8588  df-oi 8655  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-xnn0 11649  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-rp 12071  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-seq 13052  df-exp 13111  df-hash 13367  df-word 13531  df-lsw 13579  df-concat 13587  df-s1 13612  df-substr 13662  df-pfx 13711  df-splice 13818  df-reverse 13836  df-s2 13930  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-hom 16288  df-cco 16289  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-prds 16420  df-pws 16422  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-mhm 17647  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-mulg 17854  df-subg 17901  df-ghm 17968  df-gim 18011  df-cntz 18059  df-oppg 18085  df-symg 18107  df-pmtr 18171  df-psgn 18220  df-evpm 18221  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-srg 18819  df-ring 18862  df-cring 18863  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-unit 18955  df-invr 18985  df-dvr 18996  df-rnghom 19030  df-drng 19064  df-subrg 19093  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-sra 19492  df-rgmod 19493  df-cnfld 20066  df-zring 20138  df-zrh 20171  df-dsmm 20398  df-frlm 20413  df-mamu 20512  df-mat 20536  df-mvmul 20670  df-marrep 20687  df-marepv 20688  df-subma 20706  df-mdet 20714  df-minmar1 20764
This theorem is referenced by:  cramerlem3  20820
  Copyright terms: Public domain W3C validator