Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem12 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hdmap14lem12 41240
Description: Lemma for proof of part 14 in [Baer] p. 50. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap14lem12.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem12.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hdmap14lem12.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem12.e βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
hdmap14lem12.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem12.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap14lem12.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
hdmap14lem12.p 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ)
hdmap14lem12.a 𝐴 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
hdmap14lem12.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap14lem12.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem12 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦, βˆ™   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦, 0   𝑦,𝑆   𝑦, Β·   𝑦,π‘ˆ   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑦)   𝐢(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐻(𝑦)   𝐾(𝑦)   π‘Š(𝑦)
Proof of Theorem hdmap14lem12
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem12.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap14lem12.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap14lem12.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 hdmap14lem12.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
5 hdmap14lem12.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6 hdmap14lem12.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
7 hdmap14lem12.c . . . . . 6 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hdmap14lem12.e . . . . . 6 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
9 eqid 2724 . . . . . 6 (LSpanβ€˜πΆ) = (LSpanβ€˜πΆ)
10 hdmap14lem12.p . . . . . 6 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ)
11 hdmap14lem12.a . . . . . 6 𝐴 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
12 hdmap14lem12.s . . . . . 6 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 hdmap14lem12.k . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
14133ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15 simp3 1135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1615eldifad 3952 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
17 hdmap14lem12.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
18173ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 18hdmap14lem2a 41228 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)))
20 simp3 1135 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)))
21 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
22 hdmap14lem12.o . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
23 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘ˆ) = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
24 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΆ) = (+gβ€˜πΆ)
25 simp11 1200 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))) β†’ πœ‘)
2625, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
27 hdmap14lem12.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2825, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
29 simp13 1202 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))) β†’ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3025, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
31 hdmap14lem12.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
3225, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
33 simp2 1134 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐴)
34 simp12 1201 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)))
351, 2, 3, 21, 4, 22, 23, 5, 6, 7, 24, 8, 10, 11, 12, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 20hdmap14lem11 41239 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))) β†’ 𝐺 = 𝑔)
3635oveq1d 7416 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))) β†’ (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)))
3720, 36eqtr4d 2767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) ∧ 𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)))
3837rexlimdv3a 3151 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))))
3919, 38mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)))
40393expia 1118 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹))) β†’ (𝑦 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))))
4140ralrimiv 3137 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)))
42 oveq2 7409 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝐹 Β· 𝑦) = (𝐹 Β· 𝑋))
4342fveq2d 6885 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)))
44 fveq2 6881 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 β†’ (π‘†β€˜π‘¦) = (π‘†β€˜π‘‹))
4544oveq2d 7417 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)))
4643, 45eqeq12d 2740 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 β†’ ((π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) ↔ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹))))
4746rspcv 3600 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹))))
4827, 47syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹))))
4948imp 406 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)))
5041, 49impbida 798 1 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   βˆ– cdif 3937  {csn 4620  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384  LSpanclspn 20808  HLchlt 38710  LHypclh 39345  DVecHcdvh 40439  LCDualclcd 40947  HDMapchdma 41153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 38313
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lvec 20941  df-lsatoms 38336  df-lshyp 38337  df-lcv 38379  df-lfl 38418  df-lkr 38446  df-ldual 38484  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520  df-tgrp 40104  df-tendo 40116  df-edring 40118  df-dveca 40364  df-disoa 40390  df-dvech 40440  df-dib 40500  df-dic 40534  df-dih 40590  df-doch 40709  df-djh 40756  df-lcdual 40948  df-mapd 40986  df-hvmap 41118  df-hdmap1 41154  df-hdmap 41155
This theorem is referenced by:  hdmap14lem13  41241
  Copyright terms: Public domain W3C validator