Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapval2 41361
Description: Value of map from vectors to functionals with a specific auxiliary vector. TODO: Would shorter proofs result if the .ne hypothesis were changed to two β‰  hypothesis? Consider hdmaplem1 41300 through hdmaplem4 41303, which would become obsolete. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmapval2.e 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
hdmapval2.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmapval2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmapval2.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmapval2.j 𝐽 = ((HVMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval2.i 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval2.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval2.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmapval2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
hdmapval2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapval2.ne (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})))
Assertion
Ref Expression
hdmapval2 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‹βŸ©), π‘‡βŸ©))

Proof of Theorem hdmapval2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2726 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (π‘†β€˜π‘‡))
2 hdmapval2.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 hdmapval2.e . . . 4 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
4 hdmapval2.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 hdmapval2.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
6 hdmapval2.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
7 hdmapval2.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hdmapval2.d . . . 4 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
9 hdmapval2.j . . . 4 𝐽 = ((HVMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 hdmapval2.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 hdmapval2.s . . . 4 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 hdmapval2.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 hdmapval2.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
142, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13hdmapcl 41359 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‡) ∈ 𝐷)
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14hdmapval2lem 41360 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘‡) = (π‘†β€˜π‘‡) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
161, 15mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
17 hdmapval2.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
18 hdmapval2.ne . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})))
19 eleq1 2813 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 β†’ (𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) ↔ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇}))))
2019notbid 317 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) ↔ Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇}))))
21 oteq1 4878 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 β†’ βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘§βŸ©), π‘‡βŸ© = βŸ¨π‘‹, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)
22 oteq3 4880 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 β†’ ⟨𝐸, (π½β€˜πΈ), π‘§βŸ© = ⟨𝐸, (π½β€˜πΈ), π‘‹βŸ©)
2322fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘§βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‹βŸ©))
2423oteq2d 4882 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 β†’ βŸ¨π‘‹, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘§βŸ©), π‘‡βŸ© = βŸ¨π‘‹, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‹βŸ©), π‘‡βŸ©)
2521, 24eqtrd 2765 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑋 β†’ βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘§βŸ©), π‘‡βŸ© = βŸ¨π‘‹, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‹βŸ©), π‘‡βŸ©)
2625fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‹βŸ©), π‘‡βŸ©))
2726eqeq2d 2736 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 β†’ ((π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ↔ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‹βŸ©), π‘‡βŸ©)))
2820, 27imbi12d 343 . . 3 (𝑧 = 𝑋 β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) ↔ (Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‹βŸ©), π‘‡βŸ©))))
2928rspccv 3598 . 2 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‹βŸ©), π‘‡βŸ©))))
3016, 17, 18, 29syl3c 66 1 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‹βŸ©), π‘‡βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βˆͺ cun 3937  {csn 4624  βŸ¨cop 4630  βŸ¨cotp 4632   I cid 5569   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6543  Basecbs 17179  LSpanclspn 20859  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  DVecHcdvh 40607  LCDualclcd 41115  HVMapchvm 41285  HDMap1chdma1 41320  HDMapchdma 41321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lsatoms 38504  df-lshyp 38505  df-lcv 38547  df-lfl 38586  df-lkr 38614  df-ldual 38652  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tgrp 40272  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-dveca 40532  df-disoa 40558  df-dvech 40608  df-dib 40668  df-dic 40702  df-dih 40758  df-doch 40877  df-djh 40924  df-lcdual 41116  df-mapd 41154  df-hvmap 41286  df-hdmap1 41322  df-hdmap 41323
This theorem is referenced by:  hdmapval0  41362  hdmapeveclem  41363  hdmapval3lemN  41366  hdmap10lem  41368  hdmap11lem1  41370
  Copyright terms: Public domain W3C validator