Theorem hdmapval2 42278

Description: Value of map from vectors to functionals with a specific auxiliary vector. TODO: Would shorter proofs result if the .ne hypothesis were changed to two ≠ hypothesis? Consider hdmaplem1 42217 through hdmaplem4 42220, which would become obsolete. (Contributed by NM, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapval2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval2.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval2.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval2.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
hdmapval2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapval2.ne	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))

Assertion

Ref	Expression
hdmapval2	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝑆‘𝑇))
2		hdmapval2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hdmapval2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
4		hdmapval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmapval2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		hdmapval2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		hdmapval2.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmapval2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		hdmapval2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapval2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmapval2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12		hdmapval2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		hdmapval2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
14	2, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13	hdmapcl 42276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ 𝐷)
15	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	hdmapval2lem 42277	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇) = (𝑆‘𝑇) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
16	1, 15	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
17		hdmapval2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		hdmapval2.ne	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
19		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ↔ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))))
20	19	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))))
21		oteq1 4825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩)
22		oteq3 4827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩ = ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩)
23	22	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩))
24	23	oteq2d 4829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩)
25	21, 24	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩)
26	25	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))
27	26	eqeq2d 2747	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩) ↔ (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩)))
28	20, 27	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ (¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))))
29	28	rspccv 3561	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩)) → (𝑋 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))))
30	16, 17, 18, 29	syl3c 66	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∪ cun 3887  {csn 4567  ⟨cop 4573  ⟨cotp 4575   I cid 5525   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  LSpanclspn 20966  HLchlt 39796  LHypclh 40430  LTrncltrn 40547  DVecHcdvh 41524  LCDualclcd 42032  HVMapchvm 42202  HDMap1chdma1 42237  HDMapchdma 42238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-undef 8223  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-oppg 19321  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-nzr 20490  df-rlreg 20671  df-domn 20672  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lsatoms 39422  df-lshyp 39423  df-lcv 39465  df-lfl 39504  df-lkr 39532  df-ldual 39570  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946  df-lines 39947  df-psubsp 39949  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-lhyp 40434  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551  df-trl 40605  df-tgrp 41189  df-tendo 41201  df-edring 41203  df-dveca 41449  df-disoa 41475  df-dvech 41525  df-dib 41585  df-dic 41619  df-dih 41675  df-doch 41794  df-djh 41841  df-lcdual 42033  df-mapd 42071  df-hvmap 42203  df-hdmap1 42239  df-hdmap 42240

This theorem is referenced by:  hdmapval0  42279  hdmapeveclem  42280  hdmapval3lemN  42283  hdmap10lem  42285  hdmap11lem1  42287