Theorem hdmapval2 39825

Description: Value of map from vectors to functionals with a specific auxiliary vector. TODO: Would shorter proofs result if the .ne hypothesis were changed to two ≠ hypothesis? Consider hdmaplem1 39764 through hdmaplem4 39767, which would become obsolete. (Contributed by NM, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapval2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval2.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval2.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval2.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
hdmapval2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapval2.ne	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))

Assertion

Ref	Expression
hdmapval2	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝑆‘𝑇))
2		hdmapval2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hdmapval2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
4		hdmapval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmapval2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		hdmapval2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		hdmapval2.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmapval2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		hdmapval2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapval2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmapval2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12		hdmapval2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		hdmapval2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
14	2, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13	hdmapcl 39823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ 𝐷)
15	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	hdmapval2lem 39824	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇) = (𝑆‘𝑇) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
16	1, 15	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
17		hdmapval2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		hdmapval2.ne	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
19		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ↔ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))))
20	19	notbid 317	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))))
21		oteq1 4818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩)
22		oteq3 4820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩ = ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩)
23	22	fveq2d 6772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩))
24	23	oteq2d 4822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩)
25	21, 24	eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩)
26	25	fveq2d 6772	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))
27	26	eqeq2d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩) ↔ (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩)))
28	20, 27	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ (¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))))
29	28	rspccv 3557	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩)) → (𝑋 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))))
30	16, 17, 18, 29	syl3c 66	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3065   ∪ cun 3889  {csn 4566  ⟨cop 4572  ⟨cotp 4574   I cid 5487   ↾ cres 5590  ‘cfv 6430  Basecbs 16893  LSpanclspn 20214  HLchlt 37343  LHypclh 37977  LTrncltrn 38094  DVecHcdvh 39071  LCDualclcd 39579  HVMapchvm 39749  HDMap1chdma1 39784  HDMapchdma 39785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-riotaBAD 36946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-tpos 8026  df-undef 8073  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-0g 17133  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-proset 17994  df-poset 18012  df-plt 18029  df-lub 18045  df-glb 18046  df-join 18047  df-meet 18048  df-p0 18124  df-p1 18125  df-lat 18131  df-clat 18198  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-subg 18733  df-cntz 18904  df-oppg 18931  df-lsm 19222  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-oppr 19843  df-dvdsr 19864  df-unit 19865  df-invr 19895  df-dvr 19906  df-drng 19974  df-lmod 20106  df-lss 20175  df-lsp 20215  df-lvec 20346  df-lsatoms 36969  df-lshyp 36970  df-lcv 37012  df-lfl 37051  df-lkr 37079  df-ldual 37117  df-oposet 37169  df-ol 37171  df-oml 37172  df-covers 37259  df-ats 37260  df-atl 37291  df-cvlat 37315  df-hlat 37344  df-llines 37491  df-lplanes 37492  df-lvols 37493  df-lines 37494  df-psubsp 37496  df-pmap 37497  df-padd 37789  df-lhyp 37981  df-laut 37982  df-ldil 38097  df-ltrn 38098  df-trl 38152  df-tgrp 38736  df-tendo 38748  df-edring 38750  df-dveca 38996  df-disoa 39022  df-dvech 39072  df-dib 39132  df-dic 39166  df-dih 39222  df-doch 39341  df-djh 39388  df-lcdual 39580  df-mapd 39618  df-hvmap 39750  df-hdmap1 39786  df-hdmap 39787

This theorem is referenced by:  hdmapval0  39826  hdmapeveclem  39827  hdmapval3lemN  39830  hdmap10lem  39832  hdmap11lem1  39834