Theorem hdmapval2 43081

Description: Value of map from vectors to functionals with a specific auxiliary vector. TODO: Would shorter proofs result if the .ne hypothesis were changed to two ≠ hypothesis? Consider hdmaplem1 43020 through hdmaplem4 43023, which would become obsolete. (Contributed by NM, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapval2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval2.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval2.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval2.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
hdmapval2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmapval2.ne	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))

Assertion

Ref	Expression
hdmapval2	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝑆‘𝑇))
2		hdmapval2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hdmapval2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
4		hdmapval2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmapval2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		hdmapval2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		hdmapval2.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmapval2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		hdmapval2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapval2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmapval2.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
12		hdmapval2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		hdmapval2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
14	2, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13	hdmapcl 43079	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ 𝐷)
15	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	hdmapval2lem 43080	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇) = (𝑆‘𝑇) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩))))
16	1, 15	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩)))
17		hdmapval2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		hdmapval2.ne	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
19		eleq1 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ↔ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))))
20	19	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇}))))
21		oteq1 4863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩)
22		oteq3 4865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩ = ⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩)
23	22	fveq2d 6912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩))
24	23	oteq2d 4867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩)
25	21, 24	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩ = ⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩)
26	25	fveq2d 6912	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))
27	26	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩) ↔ (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩)))
28	20, 27	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩)) ↔ (¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))))
29	28	rspccv 3577	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑇⟩)) → (𝑋 ∈ 𝑉 → (¬ 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))))
30	16, 17, 18, 29	syl3c 67	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑋, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑋⟩), 𝑇⟩))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ∪ cun 4152  {csn 4588  ⟨cop 4838  ⟨cotp 4861   I cid 5549   ↾ cres 5657  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  LSpanclspn 21276  HLchlt 40599  LHypclh 41233  LTrncltrn 41350  DVecHcdvh 42327  LCDualclcd 42835  HVMapchvm 43005  HDMap1chdma1 43040  HDMapchdma 43041

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-riotaBAD 40202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-undef 8318  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-0g 17641  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-p1 18627  df-lat 18635  df-clat 18702  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cntz 19561  df-oppg 19590  df-lsm 19880  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-dvr 20661  df-nzr 20793  df-rlreg 20976  df-domn 20977  df-drng 21012  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-lvec 21408  df-lsatoms 40225  df-lshyp 40226  df-lcv 40268  df-lfl 40307  df-lkr 40335  df-ldual 40373  df-oposet 40425  df-ol 40427  df-oml 40428  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600  df-llines 40747  df-lplanes 40748  df-lvols 40749  df-lines 40750  df-psubsp 40752  df-pmap 40753  df-padd 41045  df-lhyp 41237  df-laut 41238  df-ldil 41353  df-ltrn 41354  df-trl 41408  df-tgrp 41992  df-tendo 42004  df-edring 42006  df-dveca 42252  df-disoa 42278  df-dvech 42328  df-dib 42388  df-dic 42422  df-dih 42478  df-doch 42597  df-djh 42644  df-lcdual 42836  df-mapd 42874  df-hvmap 43006  df-hdmap1 43042  df-hdmap 43043

This theorem is used by:  hdmapval0  43082  hdmapeveclem  43083  hdmapval3lemN  43086  hdmap10lem  43088  hdmap11lem1  43090