Theorem hdmapnzcl 40585

Description: Nonzero vector closure of map from vectors to functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 27-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapnzcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapnzcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapnzcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapnzcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmapnzcl.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapnzcl.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmapnzcl.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapnzcl.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapnzcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapnzcl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hdmapnzcl	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))

Proof of Theorem hdmapnzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapnzcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapnzcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapnzcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmapnzcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmapnzcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
6		hdmapnzcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmapnzcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		hdmapnzcl.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	hdmapcl 40570	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ 𝐷)
11		eldifsni 4787	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑇 ≠ 0 )
12	8, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0 )
13		hdmapnzcl.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14		hdmapnzcl.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
15	1, 2, 3, 13, 4, 14, 6, 7, 9	hdmapeq0 40584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇) = 𝑄 ↔ 𝑇 = 0 ))
16	15	necon3bid 2985	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇) ≠ 𝑄 ↔ 𝑇 ≠ 0 ))
17	12, 16	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ≠ 𝑄)
18		eldifsn 4784	. 2 ⊢ ((𝑆‘𝑇) ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}) ↔ ((𝑆‘𝑇) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆‘𝑇) ≠ 𝑄))
19	10, 17, 18	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3942  {csn 4623  ‘cfv 6533  Basecbs 17128  0_gc0g 17369  HLchlt 38089  LHypclh 38724  DVecHcdvh 39818  LCDualclcd 40326  HDMapchdma 40532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-riotaBAD 37692

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8195  df-undef 8242  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-map 8807  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-fz 13469  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-0g 17371  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-proset 18232  df-poset 18250  df-plt 18267  df-lub 18283  df-glb 18284  df-join 18285  df-meet 18286  df-p0 18362  df-p1 18363  df-lat 18369  df-clat 18436  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-submnd 18650  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-sbg 18801  df-subg 18977  df-cntz 19149  df-oppg 19176  df-lsm 19470  df-cmn 19616  df-abl 19617  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-ring 20018  df-oppr 20104  df-dvdsr 20125  df-unit 20126  df-invr 20156  df-dvr 20167  df-drng 20269  df-lmod 20424  df-lss 20494  df-lsp 20534  df-lvec 20665  df-lsatoms 37715  df-lshyp 37716  df-lcv 37758  df-lfl 37797  df-lkr 37825  df-ldual 37863  df-oposet 37915  df-ol 37917  df-oml 37918  df-covers 38005  df-ats 38006  df-atl 38037  df-cvlat 38061  df-hlat 38090  df-llines 38238  df-lplanes 38239  df-lvols 38240  df-lines 38241  df-psubsp 38243  df-pmap 38244  df-padd 38536  df-lhyp 38728  df-laut 38729  df-ldil 38844  df-ltrn 38845  df-trl 38899  df-tgrp 39483  df-tendo 39495  df-edring 39497  df-dveca 39743  df-disoa 39769  df-dvech 39819  df-dib 39879  df-dic 39913  df-dih 39969  df-doch 40088  df-djh 40135  df-lcdual 40327  df-mapd 40365  df-hvmap 40497  df-hdmap1 40533  df-hdmap 40534

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3N  40590  hdmap14lem3  40610  hdmap14lem4a  40611  hdmap14lem6  40613  hdmap14lem9  40616