Theorem hdmapnzcl 41172

Description: Nonzero vector closure of map from vectors to functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 27-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapnzcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapnzcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapnzcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapnzcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmapnzcl.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapnzcl.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmapnzcl.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapnzcl.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapnzcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapnzcl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hdmapnzcl	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))

Proof of Theorem hdmapnzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapnzcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapnzcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapnzcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmapnzcl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		hdmapnzcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
6		hdmapnzcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmapnzcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		hdmapnzcl.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3952	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	hdmapcl 41157	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ 𝐷)
11		eldifsni 4785	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑇 ≠ 0 )
12	8, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0 )
13		hdmapnzcl.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14		hdmapnzcl.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
15	1, 2, 3, 13, 4, 14, 6, 7, 9	hdmapeq0 41171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇) = 𝑄 ↔ 𝑇 = 0 ))
16	15	necon3bid 2977	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇) ≠ 𝑄 ↔ 𝑇 ≠ 0 ))
17	12, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ≠ 𝑄)
18		eldifsn 4782	. 2 ⊢ ((𝑆‘𝑇) ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}) ↔ ((𝑆‘𝑇) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆‘𝑇) ≠ 𝑄))
19	10, 17, 18	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3937  {csn 4620  ‘cfv 6533  Basecbs 17142  0_gc0g 17383  HLchlt 38676  LHypclh 39311  DVecHcdvh 40405  LCDualclcd 40913  HDMapchdma 41119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-riotaBAD 38279

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-0g 17385  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-proset 18249  df-poset 18267  df-plt 18284  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-p0 18379  df-p1 18380  df-lat 18386  df-clat 18453  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20578  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-lsp 20808  df-lvec 20940  df-lsatoms 38302  df-lshyp 38303  df-lcv 38345  df-lfl 38384  df-lkr 38412  df-ldual 38450  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486  df-tgrp 40070  df-tendo 40082  df-edring 40084  df-dveca 40330  df-disoa 40356  df-dvech 40406  df-dib 40466  df-dic 40500  df-dih 40556  df-doch 40675  df-djh 40722  df-lcdual 40914  df-mapd 40952  df-hvmap 41084  df-hdmap1 41120  df-hdmap 41121

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3N  41177  hdmap14lem3  41197  hdmap14lem4a  41198  hdmap14lem6  41200  hdmap14lem9  41203