Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1eq 39009
 Description: The defining equation for h(x,x',y)=y' in part (2) in [Baer] p. 45 line 24. (Contributed by NM, 16-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1val2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1val2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val2.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1val2.s = (-g𝑈)
hdmap1val2.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1val2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1val2.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val2.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1val2.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1val2.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1val2.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val2.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1eq.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eq.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1eq.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eq.g (𝜑𝐺𝐷)
hdmap1eq.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
hdmap1eq.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
Assertion
Ref Expression
hdmap1eq (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))

Proof of Theorem hdmap1eq
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap1val2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1val2.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1val2.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap1val2.s . . . 4 = (-g𝑈)
5 hdmap1val2.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
6 hdmap1val2.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 hdmap1val2.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap1val2.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 hdmap1val2.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
10 hdmap1val2.l . . . 4 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
11 hdmap1val2.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
12 hdmap1val2.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap1val2.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
14 hdmap1eq.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1514eldifad 3931 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
16 hdmap1eq.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
17 hdmap1eq.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17hdmap1val2 39008 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)}))))
1918eqeq1d 2826 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)}))) = 𝐺))
20 hdmap1eq.e . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
21 hdmap1eq.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
221, 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 17, 16, 20, 21mapdpg 38914 . . 3 (𝜑 → ∃!𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)})))
23 nfv 1916 . . . 4 𝜑
24 nfcvd 2983 . . . 4 (𝜑𝐺)
25 nfvd 1917 . . . 4 (𝜑 → Ⅎ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
26 hdmap1eq.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐷)
27 sneq 4560 . . . . . . . 8 ( = 𝐺 → {} = {𝐺})
2827fveq2d 6663 . . . . . . 7 ( = 𝐺 → (𝐿‘{}) = (𝐿‘{𝐺}))
2928eqeq2d 2835 . . . . . 6 ( = 𝐺 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺})))
30 oveq2 7154 . . . . . . . . 9 ( = 𝐺 → (𝐹𝑅) = (𝐹𝑅𝐺))
3130sneqd 4562 . . . . . . . 8 ( = 𝐺 → {(𝐹𝑅)} = {(𝐹𝑅𝐺)})
3231fveq2d 6663 . . . . . . 7 ( = 𝐺 → (𝐿‘{(𝐹𝑅)}) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
3332eqeq2d 2835 . . . . . 6 ( = 𝐺 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
3429, 33anbi12d 633 . . . . 5 ( = 𝐺 → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)})) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
3534adantl 485 . . . 4 ((𝜑 = 𝐺) → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)})) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
3623, 24, 25, 26, 35riota2df 7127 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃!𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)}))) → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})) ↔ (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)}))) = 𝐺))
3722, 36mpdan 686 . 2 (𝜑 → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})) ↔ (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅)}))) = 𝐺))
3819, 37bitr4d 285 1 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∃!wreu 3135   ∖ cdif 3916  {csn 4550  ⟨cotp 4558  ‘cfv 6344  ℩crio 7103  (class class class)co 7146  Basecbs 16481  0gc0g 16711  -gcsg 18103  LSpanclspn 19738  HLchlt 36558  LHypclh 37192  DVecHcdvh 38286  LCDualclcd 38794  mapdcmpd 38832  HDMap1chdma1 38999 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-riotaBAD 36161 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-0g 16713  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-proset 17536  df-poset 17554  df-plt 17566  df-lub 17582  df-glb 17583  df-join 17584  df-meet 17585  df-p0 17647  df-p1 17648  df-lat 17654  df-clat 17716  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-submnd 17955  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-subg 18274  df-cntz 18445  df-oppg 18472  df-lsm 18759  df-cmn 18906  df-abl 18907  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-oppr 19371  df-dvdsr 19389  df-unit 19390  df-invr 19420  df-dvr 19431  df-drng 19499  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-lsp 19739  df-lvec 19870  df-lsatoms 36184  df-lshyp 36185  df-lcv 36227  df-lfl 36266  df-lkr 36294  df-ldual 36332  df-oposet 36384  df-ol 36386  df-oml 36387  df-covers 36474  df-ats 36475  df-atl 36506  df-cvlat 36530  df-hlat 36559  df-llines 36706  df-lplanes 36707  df-lvols 36708  df-lines 36709  df-psubsp 36711  df-pmap 36712  df-padd 37004  df-lhyp 37196  df-laut 37197  df-ldil 37312  df-ltrn 37313  df-trl 37367  df-tgrp 37951  df-tendo 37963  df-edring 37965  df-dveca 38211  df-disoa 38237  df-dvech 38287  df-dib 38347  df-dic 38381  df-dih 38437  df-doch 38556  df-djh 38603  df-lcdual 38795  df-mapd 38833  df-hdmap1 39001 This theorem is referenced by:  hdmap1l6lem1  39015  hdmap1l6lem2  39016  hdmap1l6a  39017  hdmapval3lemN  39045  hdmap10lem  39047  hdmap11lem1  39049
 Copyright terms: Public domain W3C validator