Theorem hdmap1eq 40610

Description: The defining equation for h(x,x',y)=y' in part (2) in [Baer] p. 45 line 24. (Contributed by NM, 16-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap1val2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1val2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1val2.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmap1val2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap1val2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1val2.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1val2.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
hdmap1val2.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1val2.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val2.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1val2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap1eq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1eq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1eq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
hdmap1eq.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
hdmap1eq.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))

Assertion

Ref	Expression
hdmap1eq	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))

Proof of Theorem hdmap1eq

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap1val2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap1val2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap1val2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap1val2.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		hdmap1val2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hdmap1val2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		hdmap1val2.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap1val2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		hdmap1val2.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		hdmap1val2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
11		hdmap1val2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
12		hdmap1val2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmap1val2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14		hdmap1eq.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15	14	eldifad 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
16		hdmap1eq.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
17		hdmap1eq.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17	hdmap1val2 40609	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅ℎ)}))))
19	18	eqeq1d 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅ℎ)}))) = 𝐺))
20		hdmap1eq.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
21		hdmap1eq.mn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
22	1, 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 17, 16, 20, 21	mapdpg 40515	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅ℎ)})))
23		nfv 1918	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ𝜑
24		nfcvd 2905	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎℎ𝐺)
25		nfvd 1919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎℎ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
26		hdmap1eq.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
27		sneq 4637	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝐺 → {ℎ} = {𝐺})
28	27	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝐺 → (𝐿‘{ℎ}) = (𝐿‘{𝐺}))
29	28	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐺 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{ℎ}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺})))
30		oveq2 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝐺 → (𝐹𝑅ℎ) = (𝐹𝑅𝐺))
31	30	sneqd 4639	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝐺 → {(𝐹𝑅ℎ)} = {(𝐹𝑅𝐺)})
32	31	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝐺 → (𝐿‘{(𝐹𝑅ℎ)}) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
33	32	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐺 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅ℎ)}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
34	29, 33	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐺 → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅ℎ)})) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
35	34	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐺) → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅ℎ)})) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
36	23, 24, 25, 26, 35	riota2df 7384	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃!ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅ℎ)}))) → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})) ↔ (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅ℎ)}))) = 𝐺))
37	22, 36	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})) ↔ (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅ℎ)}))) = 𝐺))
38	19, 37	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃!wreu 3375   ∖ cdif 3944  {csn 4627  ⟨cotp 4635  ‘cfv 6540  ℩crio 7359  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  -_gcsg 18817  LSpanclspn 20570  HLchlt 38158  LHypclh 38793  DVecHcdvh 39887  LCDualclcd 40395  mapdcmpd 40433  HDMap1chdma1 40600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37761

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19203  df-lsm 19497  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lvec 20702  df-lsatoms 37784  df-lshyp 37785  df-lcv 37827  df-lfl 37866  df-lkr 37894  df-ldual 37932  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309  df-lines 38310  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914  df-trl 38968  df-tgrp 39552  df-tendo 39564  df-edring 39566  df-dveca 39812  df-disoa 39838  df-dvech 39888  df-dib 39948  df-dic 39982  df-dih 40038  df-doch 40157  df-djh 40204  df-lcdual 40396  df-mapd 40434  df-hdmap1 40602

This theorem is referenced by:  hdmap1l6lem1  40616  hdmap1l6lem2  40617  hdmap1l6a  40618  hdmapval3lemN  40646  hdmap10lem  40648  hdmap11lem1  40650