Theorem 2sqr3nconstr 34080

Description: Doubling the cube is an impossible construction, i.e. the cube root of 2 is not constructible with straightedge and compass. Given a cube of edge of length one, a cube of double volume would have an edge of length (2↑_𝑐(1 / 3)), however that number is not constructible. This is the first part of Metamath 100 proof #8. Theorem 7.13 of [Stewart] p. 99. (Contributed by Thierry Arnoux and Saveliy Skresanov, 26-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2sqr3nconstr	⊢ (2↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr

Proof of Theorem 2sqr3nconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))
2		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (ℂfld minPoly ℚ) = (ℂfld minPoly ℚ)
3		2cnd 12298	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
4		3cn 12301	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		3ne0 12329	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
6	4, 5	reccli 11923	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
8	3, 7	cxpcld 26775	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
9		eqidd 2765	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3))) = ((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3))))
10		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
11		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
12		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))
13		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))
14		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
15		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (var1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (var1‘(ℂfld ↾s ℚ))
16		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2)) = ((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2))
17		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑𝑐(1 / 3)) = (2↑𝑐(1 / 3))
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 1, 16, 17, 2	2sqr3minply 34079	. . . . . . . . 9 ⊢ (((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2)) = ((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3))) ∧ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2))) = 3)
19	18	simpli 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2)) = ((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))
20	19	fveq2i 6872	. . . . . . 7 ⊢ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2))) = ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3))))
21	18	simpri 489	. . . . . . 7 ⊢ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2))) = 3
22	20, 21	eqtr3i 2789	. . . . . 6 ⊢ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) = 3
23		3nn0 12501	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	22, 23	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) ∈ ℕ0)
26	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) = 3)
27		3z 12606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
28		iddvds 16305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∥ 3
30		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 = (2↑𝑛)) → 3 = (2↑𝑛))
31	29, 30	breqtrid 5139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 = (2↑𝑛)) → 3 ∥ (2↑𝑛))
32		3prm 16730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℙ
33		2prm 16728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℙ
34		prmdvdsexpr 16754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (3 ∥ (2↑𝑛) → 3 = 2))
35	32, 33, 34	mp3an12 1474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 ∥ (2↑𝑛) → 3 = 2))
36	35	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ (2↑𝑛)) → 3 = 2)
37	31, 36	syldan 600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 = (2↑𝑛)) → 3 = 2)
38		2re 12294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
39		2lt3 12393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
40	38, 39	gtneii 11297	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 2
41	40	neii 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 3 = 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 = (2↑𝑛)) → ¬ 3 = 2)
43	37, 42	pm2.65da 826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ¬ 3 = (2↑𝑛))
44	43	neqned 2966	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 3 ≠ (2↑𝑛))
45	26, 44	eqnetrd 3026	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) ≠ (2↑𝑛))
46	45	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) ≠ (2↑𝑛))
47	1, 2, 8, 9, 25, 46	constrcon 34073	. . 3 ⊢ (⊤ → ¬ (2↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr)
48	47	mptru 1569	. 2 ⊢ ¬ (2↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr
49	48	nelir 3066	1 ⊢ (2↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562  ⊤wtru 1563   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   ∉ wnel 3063   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  1c1 11076   / cdiv 11846  2c2 12274  3c3 12275  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  ℚcq 12951  ↑cexp 14076   ∥ cdvds 16288  ℙcprime 16707   ↾_s cress 17268  -_gcsg 18979  ._gcmg 19111  mulGrpcmgp 20188  ℂ_fldccnfld 21426  algSccascl 21906  var₁cv1 22240  Poly₁cpl1 22241  deg₁cdg1 26116  ↑_𝑐ccxp 26622   minPoly cminply 33998  Constrcconstr 34028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-reg 9542  ax-inf2 9598  ax-ac2 10422  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-ofr 7663  df-rpss 7708  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-er 8680  df-ec 8682  df-qs 8686  df-map 8812  df-pm 8813  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-r1 9724  df-rank 9725  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10074  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14289  df-bc 14318  df-hash 14346  df-word 14529  df-lsw 14578  df-concat 14586  df-s1 14612  df-substr 14657  df-pfx 14687  df-shft 15082  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-limsup 15500  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16289  df-gcd 16531  df-prm 16708  df-numer 16772  df-denom 16773  df-pc 16875  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ocomp 17309  df-ds 17310  df-unif 17311  df-hom 17312  df-cco 17313  df-rest 17453  df-topn 17454  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-topgen 17474  df-pt 17475  df-prds 17478  df-pws 17480  df-xrs 17534  df-qtop 17539  df-imas 17540  df-qus 17541  df-xps 17542  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-mri 17618  df-acs 17619  df-proset 18328  df-drs 18329  df-poset 18347  df-ipo 18562  df-chn 18640  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-nsg 19168  df-eqg 19169  df-ghm 19256  df-gim 19301  df-cntz 19359  df-oppg 19388  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-srg 20239  df-ring 20287  df-cring 20288  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-irred 20410  df-invr 20439  df-dvr 20452  df-rhm 20523  df-nzr 20565  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-rlreg 20746  df-domn 20747  df-idom 20748  df-drng 20783  df-field 20784  df-sdrg 20838  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-lmhm 21091  df-lmim 21092  df-lmic 21093  df-lbs 21144  df-lvec 21172  df-sra 21242  df-rgmod 21243  df-lidl 21280  df-rsp 21281  df-2idl 21322  df-lpidl 21394  df-lpir 21395  df-pid 21409  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-fbas 21423  df-fg 21424  df-cnfld 21427  df-dsmm 21786  df-frlm 21801  df-uvc 21837  df-lindf 21860  df-linds 21861  df-assa 21907  df-asp 21908  df-ascl 21909  df-psr 21963  df-mvr 21964  df-mpl 21965  df-opsr 21967  df-evls 22129  df-evl 22130  df-psr1 22244  df-vr1 22245  df-ply1 22246  df-coe1 22247  df-evls1 22380  df-evl1 22381  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-cld 23081  df-ntr 23082  df-cls 23083  df-nei 23160  df-lp 23198  df-perf 23199  df-cn 23289  df-cnp 23290  df-haus 23377  df-tx 23624  df-hmeo 23817  df-fil 23908  df-fm 24000  df-flim 24001  df-flf 24002  df-xms 24382  df-ms 24383  df-tms 24384  df-cncf 24942  df-limc 25930  df-dv 25931  df-mdeg 26117  df-deg1 26118  df-mon1 26193  df-uc1p 26194  df-q1p 26195  df-r1p 26196  df-ig1p 26197  df-log 26623  df-cxp 26624  df-fldgen 33500  df-mxidl 33650  df-dim 33899  df-fldext 33940  df-extdg 33941  df-irng 33983  df-minply 33999  df-constr 34029

This theorem is referenced by: (None)