Theorem 2sqr3nconstr 34180

Description: Doubling the cube is an impossible construction, i.e. the cube root of 2 is not constructible with straightedge and compass. Given a cube of edge of length one, a cube of double volume would have an edge of length (2↑_𝑐(1 / 3)), however that number is not constructible. This is the first part of Metamath 100 proof #8. Theorem 7.13 of [Stewart] p. 99. (Contributed by Thierry Arnoux and Saveliy Skresanov, 26-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2sqr3nconstr	⊢ (2↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr

Proof of Theorem 2sqr3nconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (ℂfld minPoly ℚ) = (ℂfld minPoly ℚ)
3		2cnd 12325	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
4		3cn 12328	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		3ne0 12356	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
6	4, 5	reccli 11951	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
8	3, 7	cxpcld 26884	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
9		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3))) = ((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3))))
10		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
11		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
12		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))
13		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))
14		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
15		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (var1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (var1‘(ℂfld ↾s ℚ))
16		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2)) = ((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2))
17		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑𝑐(1 / 3)) = (2↑𝑐(1 / 3))
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 1, 16, 17, 2	2sqr3minply 34179	. . . . . . . . 9 ⊢ (((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2)) = ((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3))) ∧ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2))) = 3)
19	18	simpli 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2)) = ((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))
20	19	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2))) = ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3))))
21	18	simpri 490	. . . . . . 7 ⊢ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2))) = 3
22	20, 21	eqtr3i 2787	. . . . . 6 ⊢ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) = 3
23		3nn0 12528	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	22, 23	eqeltri 2858	. . . . 5 ⊢ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) ∈ ℕ0)
26	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) = 3)
27		3z 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
28		iddvds 16333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∥ 3
30		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 = (2↑𝑛)) → 3 = (2↑𝑛))
31	29, 30	breqtrid 5147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 = (2↑𝑛)) → 3 ∥ (2↑𝑛))
32		3prm 16758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℙ
33		2prm 16756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℙ
34		prmdvdsexpr 16782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (3 ∥ (2↑𝑛) → 3 = 2))
35	32, 33, 34	mp3an12 1479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 ∥ (2↑𝑛) → 3 = 2))
36	35	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ (2↑𝑛)) → 3 = 2)
37	31, 36	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 = (2↑𝑛)) → 3 = 2)
38		2re 12321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
39		2lt3 12420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
40	38, 39	gtneii 11328	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 2
41	40	neii 2959	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 3 = 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 = (2↑𝑛)) → ¬ 3 = 2)
43	37, 42	pm2.65da 828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ¬ 3 = (2↑𝑛))
44	43	neqned 2964	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 3 ≠ (2↑𝑛))
45	26, 44	eqnetrd 3024	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) ≠ (2↑𝑛))
46	45	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) ≠ (2↑𝑛))
47	1, 2, 8, 9, 25, 46	constrcon 34173	. . 3 ⊢ (⊤ → ¬ (2↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr)
48	47	mptru 1576	. 2 ⊢ ¬ (2↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr
49	48	nelir 3066	1 ⊢ (2↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∉ wnel 3063   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  1c1 11107   / cdiv 11877  2c2 12301  3c3 12302  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ℚcq 12978  ↑cexp 14104   ∥ cdvds 16316  ℙcprime 16735   ↾_s cress 17296  -_gcsg 19008  ._gcmg 19139  mulGrpcmgp 20222  ℂ_fldccnfld 21533  algSccascl 22013  var₁cv1 22347  Poly₁cpl1 22348  deg₁cdg1 26222  ↑_𝑐ccxp 26731   minPoly cminply 34098  Constrcconstr 34128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-reg 9552  ax-inf2 9608  ax-ac2 10453  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-rpss 7722  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-ec 8694  df-qs 8698  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-r1 9734  df-rank 9735  df-scott 9856  df-dju 9894  df-card 9932  df-acn 9935  df-ac 10107  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-word 14558  df-lsw 14607  df-concat 14615  df-s1 14641  df-substr 14686  df-pfx 14716  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-pi 16132  df-dvds 16317  df-gcd 16559  df-prm 16736  df-numer 16800  df-denom 16801  df-pc 16903  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ocomp 17337  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-pws 17508  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-qus 17569  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-mri 17646  df-acs 17647  df-proset 18356  df-drs 18357  df-poset 18375  df-ipo 18590  df-chn 18668  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-nsg 19196  df-eqg 19197  df-ghm 19290  df-gim 19335  df-cntz 19393  df-oppg 19422  df-lsm 19712  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-srg 20275  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-irred 20448  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-rhm 20561  df-nzr 20621  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-rlreg 20804  df-domn 20805  df-idom 20806  df-drng 20840  df-field 20841  df-sdrg 20901  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-lmhm 21154  df-lmim 21155  df-lmic 21156  df-lbs 21207  df-lvec 21235  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344  df-2idl 21400  df-lpidl 21501  df-lpir 21502  df-pid 21516  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-dsmm 21893  df-frlm 21908  df-uvc 21944  df-lindf 21967  df-linds 21968  df-assa 22014  df-asp 22015  df-ascl 22016  df-psr 22070  df-mvr 22071  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-evls 22236  df-evl 22237  df-psr1 22351  df-vr1 22352  df-ply1 22353  df-coe1 22354  df-evls1 22486  df-evl1 22487  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037  df-mdeg 26223  df-deg1 26224  df-mon1 26299  df-uc1p 26300  df-q1p 26301  df-r1p 26302  df-ig1p 26303  df-log 26732  df-cxp 26733  df-fldgen 33641  df-mxidl 33752  df-dim 33999  df-fldext 34040  df-extdg 34041  df-irng 34083  df-minply 34099  df-constr 34129

This theorem is used by: (None)