Theorem 2sqr3nconstr 34137

Description: Doubling the cube is an impossible construction, i.e. the cube root of 2 is not constructible with straightedge and compass. Given a cube of edge of length one, a cube of double volume would have an edge of length (2↑_𝑐(1 / 3)), however that number is not constructible. This is the first part of Metamath 100 proof #8. Theorem 7.13 of [Stewart] p. 99. (Contributed by Thierry Arnoux and Saveliy Skresanov, 26-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2sqr3nconstr	⊢ (2↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr

Proof of Theorem 2sqr3nconstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (ℂfld minPoly ℚ) = (ℂfld minPoly ℚ)
3		2cnd 12318	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
4		3cn 12321	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		3ne0 12349	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
6	4, 5	reccli 11944	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
8	3, 7	cxpcld 26849	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
9		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3))) = ((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3))))
10		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
11		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
12		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))
13		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))
14		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))) = (algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))
15		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (var1‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (var1‘(ℂfld ↾s ℚ))
16		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2)) = ((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2))
17		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑𝑐(1 / 3)) = (2↑𝑐(1 / 3))
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 1, 16, 17, 2	2sqr3minply 34136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2)) = ((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3))) ∧ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2))) = 3)
19	18	simpli 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2)) = ((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))
20	19	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2))) = ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3))))
21	18	simpri 490	. . . . . . 7 ⊢ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((3(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ))))(var1‘(ℂfld ↾s ℚ)))(-g‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))((algSc‘(Poly1‘(ℂfld ↾s ℚ)))‘2))) = 3
22	20, 21	eqtr3i 2786	. . . . . 6 ⊢ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) = 3
23		3nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
24	22, 23	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) ∈ ℕ0
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) ∈ ℕ0)
26	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) = 3)
27		3z 12626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
28		iddvds 16326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∥ 3
30		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 = (2↑𝑛)) → 3 = (2↑𝑛))
31	29, 30	breqtrid 5147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 = (2↑𝑛)) → 3 ∥ (2↑𝑛))
32		3prm 16751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℙ
33		2prm 16749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℙ
34		prmdvdsexpr 16775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (3 ∥ (2↑𝑛) → 3 = 2))
35	32, 33, 34	mp3an12 1478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 ∥ (2↑𝑛) → 3 = 2))
36	35	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ (2↑𝑛)) → 3 = 2)
37	31, 36	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 = (2↑𝑛)) → 3 = 2)
38		2re 12314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
39		2lt3 12413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
40	38, 39	gtneii 11321	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 2
41	40	neii 2958	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 3 = 2
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 = (2↑𝑛)) → ¬ 3 = 2)
43	37, 42	pm2.65da 828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ¬ 3 = (2↑𝑛))
44	43	neqned 2963	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 3 ≠ (2↑𝑛))
45	26, 44	eqnetrd 3023	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) ≠ (2↑𝑛))
46	45	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((deg1‘(ℂfld ↾s ℚ))‘((ℂfld minPoly ℚ)‘(2↑𝑐(1 / 3)))) ≠ (2↑𝑛))
47	1, 2, 8, 9, 25, 46	constrcon 34130	. . 3 ⊢ (⊤ → ¬ (2↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr)
48	47	mptru 1575	. 2 ⊢ ¬ (2↑𝑐(1 / 3)) ∈ Constr
49	48	nelir 3065	1 ⊢ (2↑𝑐(1 / 3)) ∉ Constr

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568  ⊤wtru 1569   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∉ wnel 3062   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  1c1 11100   / cdiv 11870  2c2 12294  3c3 12295  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℚcq 12971  ↑cexp 14096   ∥ cdvds 16309  ℙcprime 16728   ↾_s cress 17289  -_gcsg 19001  ._gcmg 19132  mulGrpcmgp 20215  ℂ_fldccnfld 21501  algSccascl 21981  var₁cv1 22315  Poly₁cpl1 22316  deg₁cdg1 26190  ↑_𝑐ccxp 26696   minPoly cminply 34055  Constrcconstr 34085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9553  ax-inf2 9609  ax-ac2 10446  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-rpss 7720  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-r1 9735  df-rank 9736  df-dju 9886  df-card 9924  df-acn 9927  df-ac 10099  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-word 14550  df-lsw 14599  df-concat 14607  df-s1 14633  df-substr 14678  df-pfx 14708  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-prm 16729  df-numer 16793  df-denom 16794  df-pc 16896  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ocomp 17330  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-pws 17501  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-qus 17562  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-mri 17639  df-acs 17640  df-proset 18349  df-drs 18350  df-poset 18368  df-ipo 18583  df-chn 18661  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-nsg 19189  df-eqg 19190  df-ghm 19283  df-gim 19328  df-cntz 19386  df-oppg 19415  df-lsm 19705  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-srg 20268  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-irred 20440  df-invr 20469  df-dvr 20482  df-rhm 20553  df-nzr 20595  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-rlreg 20778  df-domn 20779  df-idom 20780  df-drng 20814  df-field 20815  df-sdrg 20869  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-lmhm 21122  df-lmim 21123  df-lmic 21124  df-lbs 21175  df-lvec 21203  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312  df-2idl 21368  df-lpidl 21469  df-lpir 21470  df-pid 21484  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-dsmm 21861  df-frlm 21876  df-uvc 21912  df-lindf 21935  df-linds 21936  df-assa 21982  df-asp 21983  df-ascl 21984  df-psr 22038  df-mvr 22039  df-mpl 22040  df-opsr 22042  df-evls 22204  df-evl 22205  df-psr1 22319  df-vr1 22320  df-ply1 22321  df-coe1 22322  df-evls1 22454  df-evl1 22455  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005  df-mdeg 26191  df-deg1 26192  df-mon1 26267  df-uc1p 26268  df-q1p 26269  df-r1p 26270  df-ig1p 26271  df-log 26697  df-cxp 26698  df-fldgen 33598  df-mxidl 33709  df-dim 33956  df-fldext 33997  df-extdg 33998  df-irng 34040  df-minply 34056  df-constr 34086

This theorem is referenced by: (None)